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这简直是“化圆为方”（德语中引申为“不可能办到的事”）！你可能听过这句话，而且还可能知道它的出处。那可以追溯至古希腊时代，当时古希腊人尝试将一个圆转化成一个面积相等的正方形，但没有成功。直到19世纪，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了“化圆为方”的这一做法是不可能实现的。在这里，提示一下，这一做法无法实现的主要原因是圆周率（Pi）。
将一个角三等分的问题不像“化圆为方”那样为大众所熟知。用圆规和直尺将一条线段三等分几乎没什么困难，但要把一个角三等分，该怎么做呢？
古希腊人也尝试了将角三等分，但也没有成功。大约两千年之后，才有一个数学家公布了他的证明，即皮埃尔·劳伦特·万策尔（Pierre Laurent Wantzel，1814—1884年）指出用尺规作图法无法实现把一个角三等分。
因此，如果你想将一块比萨公平地切成三份，除了用量角器量出角的大小并除以三，然后标出切割线之外，别无他法。
但是，有一个简单的技巧可以将不可能的事（一个角的三等分）成功地实现，你只需在纸上画出那个要平分的角，然后把它巧妙地折叠起来。
在上图中我们可以看到角 PBC ，它的边由线段 PB 和 BC 构成， B 是我们要三等分的角的顶点。
点 A 、 B 、 C 、 D 分别标记了这张纸的四个顶点。我们首先在纸的中间位置画一条水平线 EF 。然后，在线段 EF 和 BC 的正中间——纸的下边缘位置——画第二条线段 GH ，该直线要与纸张的边缘线平行。
现在我们准备折纸：折起纸上的B角，将其在线段 GH 上来回移动，直到点 E 落在线段 BP 上， BP 即是我们要三等分角的上边。当点 B 和 E 落在指定的线段上时，我们将卷起的角折叠压紧，如下图所示。接下来，我们标出点B与线段 GH 接触的位置，并将此点命名为 B '，然后用同样的方法标出 E '。
纸的折叠线与线段 GH 相交于点 I 。如此一来，我们的任务就完成了：线段 BB '和 BI 即是角 PBC 的三等分线（参见下图）。
精确地三等分
人们大概很难相信用如此简单的一个折叠技巧，竟然可以解决数学家用圆规和直尺无法解决的问题。
但是我们真的精确三等分这个角了吗？这并不难证明。由于我们是沿着 A ' I 折叠的，所以出现了许多直角。线段 EE '和 BB '垂直于折叠边缘。折边的起点在点 A '、点 B 和点 B '之间构成了一个等腰三角形。折痕平分了这个等腰三角形的顶角，从而得到两个相等的角，我们将它们称为角 α 。
其实，角 CBB '也与角 α 相等，因为只要观察一下刚才提到的那个等腰三角形的左半部分的内角和，我们就可以得出角 B ' BA =90°- α 。出于对称性的原因，角 BB ' G 与角 IBB '相等。现在我们需要证明的是，角 IBE '——在这里，我们称其为 α '——也与 α 一样大。
由于折叠具有镜面对称的效果，所以线段 BI 的延长线 BD 垂直于 E ' B '。如果两侧的线段 BE '和线段 BB '长度相同，则三角形 BB ' E '是一个等腰三角形，并且垂线将自动成为角平分线，这就意味着 α = α '。
事实上， BE '与 BB '的长度完全相等。因为四个点 E 、 E '、 B 和 B '构成了一个梯形，其对称轴正是折叠线。因此，两条对角线 BE '和 EB '的长度相等。同时， EB '与 BB '的长度也相等，因为 GH 刚好位于 EF 和 BC 的正中间。综上可知，三角形 BB ' E '是一个等腰三角形。由此，我们便证明了线段 BI 和 BB '的确将给定角等分成了三个角。
我仍然对折纸技巧感到惊讶。用折纸可以轻而易举地解决一个无法用尺规作图解决的问题，这难道还不疯狂吗？
我还发现了其他一些令人惊奇的事：像五边形纸结这样很容易操作的事情，如果从数学的角度去思考则非常曲折。因为证明用纸带打结的方法确实可以构成一个正五边形，并不像证明角的三等分那么容易。
不管你是否能明白这个复杂的证明过程，但是只要你掌握了这些几何技能，就再也不用为复活节或切比萨头疼了。
如果矩形的一组边长延长了50%，你需要把另一组边长缩短百分之多少，才能使矩形的面积保持不变？
正 n 角形的每个内角是多少度？
如果时钟的指针指示时间是16∶20，那么此时时针与分针之间的夹角是多少度？
如下图所示，以正方形的每条边为基点，向外各画一个等腰三角形，而且每个三角形的面积都与正方形的面积相同。那么在最后形成的四角星里，两个相对角点之间的距离是多少？
给定一个63°的角（参见下图），请你只使用圆规和直尺将该角三等分，在平分的过程中不可以折叠纸张。
