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你肯定知道日本的折纸艺术，星星、纸鹤、天鹅这些通常像变戏法一样从正方形的纸中折出。即使是数学家也对这种高超的折纸技术感兴趣，因为它可以实现仅靠圆规和直尺无法实现的几何特技。人们给灵感源于数学的折纸创造了一个词——折纸几何学（Origamics）。它是日语的折纸（Origami）和英语的数学（Mathematics）的混合体。
我会在本章最后向你介绍一些这样的几何折叠技巧。现在让我们从正五边形开始，它也可以被折出来，而我们需要的仅是一张狭长的纸条。例如，你可以从A4纸的长边剪下3~4厘米宽的一个纸条，但一定要确保它的宽度上下一致。
请你拿起纸条，将它的一端打个环，然后将另一端穿过这个环，也就是你用纸条打了一个简单的结。现在，到考验你的时候了：一点一点地把纸结拉紧。在这个过程中，纸条绝对不能折叠，也不能有压痕。只要你稍微注意，最后就会出现一个108°的角，即正五边形的一个内角的大小。
从纸结到正五边形
此时五边形的三条边已经清晰可见。现在你只需要用剪刀把纸条两端多余的部分剪掉，然后将剩余的部分整齐地折起来，这样正五边形就做好了！
作为一个数学爱好者，这时你可能会问：“它是正五边形吗？它的所有内角和所有边长都一样吗？”如果你愿意，可以试着自己证明一下。
或者我也可以给你解释。不过，要证明上面的问题并不容易。下图展示了一个纸结——与上图（参见第44页）不同的是它旋转了180°。五边形的五个角分别标记为 A 、 B 、 C 、 D 和 E ，不过现在我们还不知道它是不是正五边形。
在上图的五边形中有几条线段相互平行，比如 DE 和 AC 。我们之所以说它们是平行的，是因为它们是由打结纸带的边缘构成的。除此之外，我们还可以确定的是纸结一定是对称的。如果我们互换它的正反面，也就是把纸结翻到另一面，纸结本身不会发生任何变化。因此，我们可以画一条对称轴，即上图中那条垂直的虚线。由于它的对称性，所以我们可以确定的是对角线BE一定平行于线段 CD 。
现在我们标记出五边形中的众多角，在其中我们会充分利用当一条直线与其他两条平行直线相交时，同位角相等的规律。例如，角 ACE 和角 BAC 相等，我们用 α 表示两个角。出于对称性的原因，内角 C 、 D 、 B 和 E 的各自的三个小内角分别与它们相对的角相等。因此，我们用三个不同的角 α 、 β 、 γ 标记所有内角——一共15个。例如，角 ECD （等于 β ）和角 BEC 是相等的，因为线段 CE 与两条平行线段 CD 和 BE 相交，所以角 BEC 等于 β 。如此一来，我们便可以推导出剩余的内角。但现在我们需要证明的是，这些角都相等（ α = β = γ ），且五边形的所有边长相等。
首先，我们看一下角 A 的外角，它的大小为2 β ，它与角 DBA 互为平行线 BD 和 AE 的内错角。右上方的纸带在这里被折叠，线段 AB 就是折叠的位置。折后的纸带一直延伸至线段 CD 的边缘并在这里再次折叠，随后向右折到边缘 AE ，紧接着从那里转向左上角。
折叠边缘的作用就像镜子一样：入射角等于反射角，所以 α + γ 一定等于角 A 的外角。这样我们就知道了外角的大小：由于线段 AB 与 CE 平行，所以外角为 β + β 。由此，我们又可以推导出 α + γ = β + β 。反过来，这意味着三角形 ACE 和 ABD 是等腰三角形。由于 ACD 也是等腰三角形，所以四条对角线 AC 、 AD 、 BD 和 CE 的长度相等。
我们现在来看对角线 AC 。从左上方延伸出的纸带的宽度为sin（ α ）× AC 。折叠后，纸带朝线段 CD 的方向延伸，其宽度可以用sin（ γ ）× AC 来计算。由于纸带的宽度不变，所以角 α 和角 γ 的大小一定是相同的。于是，我们便可以得出： α = β = γ 。
同理，我们还可以推导出对角线BE与其余四条对角线的长度相等。因此，最终得出结论：在上图（参见第45页）的五边形中，所有的内角和边长都相等。由此可见，它确实是一个正五边形，这样我们就完成了这个不那么简单的证明。