五边形

事实上，数学家们一直在研究仅用圆规和直尺可以绘出哪些正多边形。卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）早在18世纪末就证明了这一点，尺规作图成功绘出了正十七边形。但也有一些不能用尺规作图绘制的正多边形，比如七边形、九边形和十一边形。这时候，你就只能用量角器了：用360°除以正多边形的内角数量，从而得出每个内角的大小，然后以圆心为顶点分别画出这些角。

不过，对于正五边形来说，用圆规和直尺就足够了，绘出它并不困难。只不过我们需要进一步证明的是，用这种方式的确可以绘出正五边形。

让我们从作图开始吧。先从一个圆开始，和上面一样，我们在圆中画出两条相互垂直的直径。然后将水平方向直径 AC 的左侧半径——线段 AM ——平分，得到中间点 D 。现在我们将圆规尖固定在 D 点，以线段 DB 为半径画圆弧（参见下图）。

这一方式绘出的圆弧与水平直径 AC 相交于 E ，而线段 BE 正好对应于给定圆的正五边形的边长。如果我们用圆规以 B 为圆心，线段 BE 为半径画一个圆，则会在给定圆上得到点 F 。

线段 BF 正是我们要求的正五边形的其中一条边。接下来，你只要用圆规分别以点 B 和点 F 为圆心，线段 BF 为半径画弧线，就可以很容易地找出剩余的三个顶点。

在此我想说的是，通过该作图法的确可以绘制出一个正五边形。由于证明的过程比较长，所以我在这里仅证明了第一部分，第二部分的证明过程你可以在本书的附录中找到。但如果你不太想深入研究这个主题，可以略过下面几段的内容。

首先，我需要计算出五边形的边 BF 相对于给定圆的半径的长度。我们用 r 表示半径（对应于线段 AM ），用 a 表示边长 BF 。

根据毕达哥拉斯定理（勾股定理），我们可以先计算出所绘制的圆弧的半径，也就是线段 DB 和 DE 的长度。计算如下：

现在，我们继续用毕达哥拉斯定理计算三角形 BME 。线段 BE 对应于五边形的边长 a ， BM 对应半径 r ， ME 是 DE 和 DM （半径 r 的二分之一）的差。计算如下：

下一步，我们需要证明上述半径和边长之间的这种关系适用于常规的五边形，关于这一部分的证明你可以在本书的附录（参见第245页）中找到。

正五边形的证明是一个相当复杂的计算，甚至连我都不喜欢它。在计算中，你写错一个符号或算错一个表达式的平方的可能性很大，然后整个计算就全错了。但是，如果我们想证明正五边形实际上可以只用直尺和圆规就可以绘出，那一点计算也没有是办不到的。 RnPRNHvDrz4RUfNenmFYrjSsCLBc9dkw7URp8r531r1sI6wzQQ8QwxHEQrgCJ1rs