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下面我将推算天球或地平圈的所有倾角，同时阐明最长和最短的白昼及各次日出的间距，以及白昼之间的余差。冬、夏二至点的日出在地平圈上所截出的弧长，或这两次日出与分点日出之间的距离，即为日出之间的间距 （见图2.6） 。
图2.6
设：子午圈为 ABCD 。
在东半球，令： AEC 为赤道的半圆， BED 为地平圈的半圆。
令 F 为赤道的北极。
假设：夏至日的日出是在
G
点，画大圆弧
。地球绕
F
旋转。
那么， G 和 H 理应一起抵达 ABCD 。
G 和 H 的纬圈是绕相同的两极画出的。
则，通过这些极点的所有大圆都在纬圈上截出类似的圆弧。
的长度等于从点
G
升起到正午的时间，而从午夜到日出的时间，则等于地平圈下边半圆的余下部分，即
CH
的长度。
又： AEC 是一个半圆，且 AE 和 EC 都是从 ABCD 的极点画出的象限。
所以 EH 是最长白昼与分日白昼之差的二分之一。
而 EG 为分日与至日日出之间的距离。
在△
EGH
中，由
可得球的倾角∠
GEH
，∠
GHE
为直角。
那么，边 GH 即为夏至点到赤道的距离。
据球面三角形定理四，可得其余边 [1] 。
说得更具体一点，如果已知边 EH 或 EG ，那么可知球的倾角 E ，于是极点在地平圈上的高度 FD 也可知。
如果黄道上的
G
点并不是一个至点，而是任一其他点，并已知
EG
和
EH
，根据前面所列的赤纬表，可知与该黄道度数相对应的赤纬弧
，而其他一切未知量也可用该证明方法得出。此外，还可得出在黄道上与至点等距的两个分度点，于地平圈上截出与分点日出等距且在一个方向上的圆弧。它们同样使昼夜等长。出现这一情况的原因在于，黄道上的这两个刻度点在一个纬圈上，而且它们的赤纬在一个方向上相等。然而，如果从与赤道的交点向两个方向截出等长的圆弧，日出处的间距仍是相等的，但方向相反，而按相反次序，昼夜是等长的。这是由于它们在两边扫出的纬圈上的弧长是相等的，正如黄道上与一个分点等距的两点从赤道算起的赤纬相等一样
（见图2.7）
。
图2.7
在同一图形中画两条纬圈弧。
设：两条纬圈弧为
和
。且
、
与地平圈
BED
相交于
G
、
K
。
另从南极点 L 画 LKO ，且赤纬 HG 和 KO 相等。
在△ DFG 和△ BLK 中有两边分别与两对应边相等： FG 和 LK 相等， FD 和 LB 相等， B 和 D 都是直角。
第三边 DG 和第三边 BK 相等；余值 GE 和 EK 相等； EG 、 GH 和 EK 、 KO 也相等。
∵ E 点的对顶角相等。
∴ EH 和 EO 也相等。
用
EH
加上
EO
再加上二者之和的相等量，得到的和为整段圆弧
，它与整段圆弧
相等。
通过极点的大圆在平行圆周上截出类似的圆弧。
和
相等。
我们可以用另一种方法来说明 （见图2.8） 。
图2.8
同上画子午圈 ABCD 。
设：子午圈的中心为 E ， AEC 为赤道与子午圈截面的直径， BED 为地平圈的直径， LEM 为球的轴线， L 为可见天极， M 为隐藏的天极。
假定： AF 为夏至点的距离或任一其他赤纬，在这一位置上画纬圈，其直径为 FG ，它同时也是纬圈与子午面的交线。
令： K 为 FG 与轴线的交点， N 为 FG 与子午线的交点。
根据蒲西多尼奥斯定义
，直线
KE
与两倍
AF
弧相对的半弦相等。
同理，如果纬圈的半径为 FK 。
那么： KN 就为分点日与昼夜不等长日之差的圆弧相对的半弦。前提是以这些线为交线，也就是以这些线为直径的任何半圆 [2] 都与圆周 ABCD 的平面相垂直。
根据欧几里得《几何原本》，这些半圆的彼此交线在 E 、 K 、 N 各点垂直于同一平面。
根据《几何原本》定理六，这些垂线又互为平行线。 K 是纬圈的中心， E 为球心。
EN 表示纬圈上日出点与分日日出点之差的两倍地平圈弧相对的半弦。
已知：赤纬 AF 和象限的余下部分 FL ，令 AE ＝100000 P ，可得两倍 AF 和 FL 相对的半弦 KE 和 FK 。此外，在直角三角形 EKN 中，∠ KEN 可由 DL 得出，余角∠ KNE 和∠ AEB 相等。
斜球上的纬圈与地平圈的倾角相等。
各边皆能以球半径为100000 P 求得。以纬圈半径 FK 为100000 P 也可求出 KN ，另外， KN 还能以纬圈圆周为360°得出。
显然， FK 与 KN 之比包含两个比值，这就是两倍 FL 和两倍 AF 所对弦之比及两倍 AB 和两倍 DL 所对弦之比 [3] 。后一比值中， EK 是 FK 与 KN 的比例中项。同样，从 BE 与 EK 的比值及 KE 与 EN 的比值可知 BE 和 EN 的比值。托勒密在《天文学大成》里，用球面弧段对此作了深入研究。对于昼夜之差，我认为用这一方法也可求得。不过对月球或其他恒星来说，假定纬度已知，那么它们在地平圈上面由周日旋转所扫出的弧段是能够与地平圈下面的弧段相区分的。从这些弧段即可得知它们的出没 （见《斜球经度差值表》） 。
