1.14　球面三角形的论证

我们将凸面三角形视为球面上三条圆弧构成的图形。以该图形任意一点为顶点，画出大圆，图形的每一个角的大小可用所画大圆的弧长表示。这些弧与整个圆周的比等于相交角与直角之比。

一

如果球面上有三段弧，并且其中任意两段之和长于第三段，那么，它们就能形成一个球面三角形。

这在欧几里得的《几何原本》中已经被论证过。因为角与角之比等于弧与弧之比，完整的大圆面又必定通过球心，成为弧的三段大圆就形成了一个立体角，因此本定理成立。

二

三角形的任意一边小于半圆。

半圆的球心不能单独构成角度，只能成为一直线。如果三角形的一条边与球心连接，那么，另外两条边在球心就不能构成一个立体角，因此不能形成球面三角形。我认为，这就是为什么托勒密在论证这类三角形时规定各边均不能大于半圆。

三

在直角球面三角形中，直角对边的二倍弧所对弦同它的一邻边与对边所夹角的二倍弧之比，与球直径同另一邻边与其对边所夹角的2倍在大圆上所对弦之比相等 （见图1.20） 。

证明：

令：在球面三角形 ABC 中，∠ C 是直角。两倍 AB 所对的弦同两倍 BC 所对的弦之比，等于球的直径同两倍∠ BAC 在大圆上所对的弦之比。

令 A 为顶点，画出大圆弧 ，形成 ABD 和 ACE 两个象限。再从球心 F 画出各圆面的交线：

与 的交线为 FA ， 与 的交线为 FE ， 与 为 FD ， 的交线与 BC 两圆面的交线为 FC 。

作直线 BG ⊥直线 FA ，直线 BI ⊥直线 FC ，直线 DK ⊥直线 FE ，连接 GI 。

如果一圆与另一圆相交并通过对方两个顶点，则两圆相交成直角。

因此，∠ AED ＝90°，同理，∠ ACB ＝90°。

可知，平面 EDF ⊥平面 AEF 。在 EF 直线上 K 点作直线 KD ⊥直线 FKE 。根据欧几里得《几何原本》， KD 也垂直于 AEF 。同理，作线 BI 垂直于同一平面， DK 平行于 BI 。

又∵∠ FGB ＝∠ GFD ＝90°， GB ∥ FD 。

根据欧几里得《几何原本》，∠ FDK ＝∠ GBI ，∠ FKD ＝90°，根据垂线定义，∠ GIB ＝90°。

且相似三角形的边长成比例。

∴ DF ∶ BG ＝ DK ∶ BI 。

又：线 BI ⊥线 CF ， BI 是 的倍弧所对的半弦。可知， BG 是 的倍边所对的半弦。 是 的倍边或 A 的倍角所对的半弦，而 DF 是球的半径。

因此， 的倍边所对弦与 的倍边所对弦的比等于直径与∠ A 的倍角或 DE 的倍弧所对的弦之比。

这个结论在后面还会用到。

四

在任意直角三角形中，若任一角和任一边已知，则其余的角和边都可求得。

令：△ ABC 中，∠ A ＝90°，∠ B 为已知角，已知边分别是：与两已知角相邻，为 AB ；只与直线相邻，为 AC ；为直角的对边即 BC （见图1.21） 。

①若已知边 AB ：

以 C 点为顶点，作大圆的 ，连接象限 CAD 和 CBE ，延长 和 ， 交 于 F 点。

∠ A ＝∠ D ＝90°， F 是 的顶点。如果球面上的两个大圆相交成直角 ，那么， ABF 和 DEF 都是象限。

又∵　边 AB 已知，象限的其余部分 也可知，且∠ EBF ＝∠ ABC ，而∠ ABC 是已知角。按前面的定理，两倍 所对的弦与两倍 所对弦之比，等于球的直径与两倍∠ EBF 所对的弦之比，可见，这组数据中的直径、 和∠ EBF 这三个量已知。

∵根据欧几里得《几何原本》，与 的倍弧所对的半弦可知。根据前表， 也可知。那么，象限的其余部分 DE 即为可知，∠ C 可知。

反过来，同样可得 和 的倍弧所对弦之比等于∠ EBC 与 之比。因为已有三个量（ 、 和象限 CBE ）已知，因此，第四个量即两倍 所对应的弦也可知，那么，边 CB 同样可知。

就倍弧所对弦来说， CB ∶ CA ＝ BF ∶ EF ，这两个比值也等于球直径与两倍∠ CBA 所对弦的比，两个比值都等于相同比值，那么，它们彼此也相等。

因此，当 BF 、 EF 和 CB 等三个量已知，第四个量，即△ ABC 的第三边 CA 也能求得。

②若已知边 AC ：

求边 AB 、边 BC 和∠ C 。

如果作反论证，两倍 所对弦与两倍 所对弦之比，等于两倍∠ ABC 所对弦与直径之比。由此可求出边 CB 、 AD 、 BE 。那么，即可求得两倍 AD 所对弦与两倍 BE 所对弦之比，等于两倍∠ ABF 所对弦（即直径）与两倍 BF 所对弦之比。

同理，已知两倍 、 和∠ FBE 所对的弦，即可求得两倍 DE 所对的弦，即∠ C 。

进而言之，如果 已知，如前所述，即可求得 、 和 。使用这些量并通过所对直线与直径，可求得弧 BF 和边 AB 。根据前面的定理，由于 、 和∠ CBE 已知，可得 ，即我们要求的∠ C 。

因此，在△ ABC 中，∠ A 和∠ B 已知，且∠ A ＝90°，三角形的一边已知，则第三角与其他两边可求得，得证。

五

如果三角形的角都已知，且其中一个角为直角，则各边均可求出。

证明：

继上图1.21，∠ C 已知，则弧 DE 可知，象限的其余部分 EF 也可知。

∵∠ BEF 为直角，∠ EBF 为一个已知角的对顶角。

∴△ BEF 中，∠ E 为直角，∠ B 和边 EF 已知，则它的边和角都可知。于是， BF 可知，象限剩余部分 AB 也可知。

同理，在△ ABC 中，同样可以证明其余的边 AC 和 BC 可知。

六

在同一球面上有两个直角三角形，它们各有一组对应角和一组对应边相等，则无论该边与相等角的位置关系如何，其余的两条对应边和一个对应角也相等 （见图1.22） 。

令：在半球 ABC 上有△ ABD 和△ CEF ，且∠ A ＝∠ C ＝90°。

再令：∠ ADB ＝∠ CEF ，且两个三角形各有一边相等。

令：相等边是相等角的邻边，即 ＝ 。且 ＝ ， ＝ ，∠ ABD ＝∠ CFE 。

以 B 和 F 为顶点，画大圆的象限 GHI 和 IKL ，连接 和 相交于 I 点。

＝ ，它们的余边也应相等，即 DI ＝ IE 。对顶角∠ IDH ＝∠ IEK 。且∠ H ＝∠ K ＝90°。

等于同一比值的两个比值应当相等，两倍 所对弦与两倍 所对弦的比值，与两倍 所对弦与两倍 所对弦的比值也应该相等。根据上述的定理三，这些比值都等于球的直径与两倍∠ IDH 所对弦的比。两倍 弧所对的弦等于两倍 所对的弦。

根据欧几里得《几何原本》，两倍 和 所对弦相等。在相等的圆中，相等的直线截出的弧也相同，但分数与相同因子的乘积不变。 与 相等，象限剩余部分 GH 跟 KL 也相等，于是，∠ B ＝∠ F 。

由于两倍 所对弦与两倍 所对弦的比等于两倍 所对弦与两倍 所对弦的比，也等于两倍 所对弦与两倍 所对弦的比。根据定理三的逆定理，这两组比值都等于两倍 所对弦与两倍 所对弦的比。因此，根据欧几里得《几何原本》可知，通过两倍 BD 和 EF 所对直线，可证明这两段弧相等。

既知 ＝ ，那么，我们采用同样的方法即可证明剩余的边和角也全部相等。如果把 和 设为相等边，结果不变。

七

假设球面上没有直角三角形，但相等角的邻边等于相应边，以上结论同样成立 （见图1.23） 。

证明：在△ ABD 和△ CEF 中，设任意角∠ B ＝∠ F ，∠ D ＝∠ E 。

令：与相等角相邻的边 BD ＝ EF ，即两个三角形的各边和角都相等。

以 B 点和 F 点为端点，画出大圆的 和 。延长 和 相交于 N ，延长 和 相交于 M 。

因此，在△ HDN 和△ EKM 中，∠ HDN ＝∠ KEM ， H 点和 K 点都通过端点。那么，∠ HDN ＝∠ KEM ＝90°，且 ＝ 。按上述定理，这两个三角形的角和边都相等。

假设：∠ B ＝∠ F ，且 ＝ ，经过相等量的加减运算后，这两组量仍相等，可知 GHN ＝ MKL 。

那么，在△ AGN 和△ MCL 中， GN ＝ ML ，∠ ANG ＝∠ CML ，且∠ G ＝∠ L ＝90°。

综上所述，这两个三角形的各边与角都相等，在进行相应的等量加减运算后，结果不变。

因此，证得： ＝ ， ＝ ，∠ BAD ＝∠ ECF 。

八

进一步说，如果两个三角形有两条相应的边相等，且有任意一个角相等，那么，这两个三角形的底边相等，其余两个相应角也相等。

令：边 AB ＝ CF ， AD ＝ CE ，且相等边的夹角∠ A ＝∠ C ，求证： BD ＝ EF ，∠ B ＝∠ F ，∠ BDA ＝∠ CEF 。

在△ AGN 和△ CLM 中，∠ G ＝∠ L ＝90°，∠ BAD ＝∠ ECF ，∠ GAN ＝∠ MCL ，且 GA ＝ LC 。

因此，两三角形相对应的边和角都相等。

又： AD ＝ CE ， DN ＝ ME 。

∵已证明∠ DNH ＝∠ EMK ，且∠ H ＝∠ K ＝90°。

∴△ DHN 和△ EMK 相对应的各边和角也相等。

由此可知， BD ＝ EF ， GH ＝ KL ，∠ B ＝∠ F ，∠ ADB ＝∠ FEC 。

如果我们所取的边不是 AD 和 EC ，而其他的条件不变，同样可以得到以上结果。作为对等角的补角，∠ GAN ＝∠ MCL ，∠ G ＝∠ L ＝90°。

因此，△ AGN 与△ MCL 相对应的边和角都相等。对于△ DHN 和△ MEK 来说，情况也一样。

九

在球面上的等腰三角形两底边上的角相等 （见图1.24） 。

令△ ABC 的两边 AB ＝ AC 。求证：∠ B ＝∠ C 。

以 A 为顶点画与底边垂直的大圆 AD ，在△ ABD 和△ ADC 中， BA ＝ AC ， AD 是两三角形的公共边， AD ⊥ BC ，因此，∠ B ＝∠ C 。

推论：根据本定理及其论证过程可知，过等腰三角形顶点且与底边垂直的直线平分三角形，且底边上两角相等。

该推论的逆命题同样成立。

十

相应边均相等的两个任意三角形的相应角也相等。

在这种情况下，三段大圆形成一个圆锥体，顶点位于球心，该锥体的底是两个由弧所对直线构成的三角形。根据立体图形相等或相似的定义，具有相似结构的两个图形的角相等，因此这两个三角形相等。由此可以看出，相应边和相应角相等的两个球面三角形相等，这同平面三角形的规则一样。

十一

已知三角形的两边和一角，其余各边和角可知。

如果已知边相等，那么，可证明两底角相等。根据上文的定理九，从直角顶点作一条垂直于底边的弧线，即可证明 （见图1.25） 。

但在△ ABC 中，已知边可以不相等。

若∠ A 和任意两边已知。

令：∠ A 是已知边 AB 和 AC 的夹角。

以 C 为顶点，画大圆弧 DEF 。构成象限 CAD 和 CBE ，延长 AB ，与 DE 相交于 F 点。在△ ADF 中，已知边 AD 是象限减去 AC 的剩余部分。∠ BAD ＝180°-∠ CAB ，∠ BAD 已知。

∵角度的比值与直线到平面的距离比值相同，且∠ E ＝90°。

∴根据定理四，△ ADF 的各边和角都可知。

在△ BEF 中，∠ F 已知，∠ E 的两边都通过顶点，因此，∠ E ＝90°。

边 BF 是 ABF 超出 AB 的部分，也是已知的。因此，△ BEF 的各边与角也都可知。

根据 BE ，可求出 BC 的值。根据 EF ，可得 DE 的值和∠ C 的值，根据∠ EBF ，可得∠ ABC 的值，即所求角的值。

如果我们假定的已知边不是 AB ，而是 BC ，其结论仍然相同。

按照这个论证，△ ADF 和△ BEF 的各边和角都可知。从而可求出主题三角形 ABC 的各边和角。

十二

如果任意两角和一边已知，则三角形的各边和角都可知 （见图1.25） 。

令：在△ ABC 中，∠ ACB 和∠ BAC 和一条边 AC 已知。

若已知角中有一角是直角，则直接根据上面定理四，求出三角形的各边和角。

若已知角中没有直角，那么，象限 CAD 减去 AC 即可得 AD 的值，∠ BAD ＝180°-∠ BAC ，根据定理四，△ AFD 的角与边均可知。

另一种情况是，已知角中的一个角与已知边相对。如：已知角不是∠ ACB ，而是∠ ABC ，其他条件不变。则△ ADF 的各边和角可知。而对于△ BEF ，∠ F 是两个三角形的公共角，∠ EBF 是已知角的对顶角，∠ E ＝90°。

因此，正如前文所论证的，该三角形的各边和角都可知。

十三

如果三角形各边已知，则各角可知 （见图1.26） 。

令：△ ABC 的各边已知。

三角形的边可以相等或不等。

令： AB ＝ AC 。

与两倍 AB 和 AC 相对的半弦显然相等。设这两段半弦分别为 BE 和 CE ，且相交于 E 点。

根据欧几里得《几何原本》，∠ DEB 是平面 ABD 上的一个直角，∠ DEC 是平面 ACD 上的一个直角。根据以下方法可求得∠ BEC ：

∠ BEC 与直线 BC 相对，构成△ BEC ，该三角形的边可由已知的弧求得。

然而，如图所示，三角形可能不是等边的。那么，与两倍边相对的半弦就不会相交。

令： ＞ ，且 CF 是与二倍 AC 相对的半弦。

如果 AC ＜ AB ，半弦会显得高一些 （见图1.27） 。

作 FG ∥ BE 。

令： FG 与圆的交线 BD 相交于 G 点。

连接 CG ，∠ EFC ＝∠ AEB ＝90°。

∵ CF 是两倍 AC 所对的半弦。

∴∠ EFC ＝90°。

∠ CFG 是 AB 与 AC 两圆的交角，因此，∠ CFG 可求出。

∵△ DFG 与△ DEB 为相似三角形， DF ∶ FG ＝ DE ∶ EB 。

∴ FG ＝ FC 。

由于 DG 与 DB 也有同一比值。因此，取 DC ＝100000 ^P ， DG 也可由相同的单位表示。

根据平面三角形的定理二，边 GC 可用与平面三角形 GFC 其余各边相同的单位表示。根据平面三角形最后一条定理，可得∠ GFC 和∠ BAC ，并求出其余各角。

十四

将一段弧任意分割成两条短于半圆的弧，若两段弧的两倍所对的半弦之比已知，则可求出每段弦的长 （见图1.28） 。

令： 为已知圆弧， D 为圆心。 被 B 点任意分割成两段短于半圆的弧。

再令：两倍 与两倍 所对半弦之比可用某一长度单位表示。

那么， 和 的长度均可求出。

作直线 AC 与直径相交于 E 点，从端点 A 和 C 向直径作垂线，分别为 AF 和 CG ，它们是两倍 AB 和 BC 所对的半弦。

在△ AEF 和△ CEG 中，三角形的对顶角相等，因此，两个三角形对应的角相等。

作为相似三角形，它们的边和角都成比例，即 AF ∶ CG ＝ AE ∶ EC 。

因此， AE 和 EC 可用与 AF 或 GC 相等的单位表示。

由 AE 和 EC ，可得用相同的单位表示的 AEC ，而 AEC 作为 的所对弦，可用半径 DEB 的单位求出。

连接 DA 和 DK ，它们可用与 DB 相同的单位表示。 DK 是半圆减去 ABC 后的余量弧所对弦长的一半。而这段弧包含在∠ DAK 内。

在△ EDK 中，由于两边已知，∠ EKD ＝90°，因此，∠ EDK 可求得。

十五

如果三角形所有的角都已知，则所有边可知 （见图1.29） 。

令：△ ABC 的各角已知，但均不是直角。

设：∠ A 为任意角，经过 BC 的两端点画 ，与 BC 相交。

除非∠ B 和∠ C 中，一角为钝角，另一角为锐角，否则， AD 将落入三角形内。

以 B 和 C 为端点作 和 。∠ F ＝∠ G ＝90°。

因此，在两个直角三角形中，两倍 和 所对半弦的比等于球的半径与两倍∠ EAF 所对弦的比。

同理，在△ AEG 中，∠ G ＝90°，两倍 和 所对弦的比等于球的半径与两倍∠ EAG 所对弦的比。由于这些比值相等，因此，两倍 和 所对弦的比等于两倍∠ EAF 与∠ EAG 所对半弦的比。 和 作为从直角中减去 B 和 C 的余量，为已知弧，因此，根据 和 ，可得∠ EAF 与∠ EAG 的比，即它们的对顶角∠ BAD 与∠ CAD 的比。

由于∠ BAC 已知，∠ BAD 和∠ CAD 即可求得。

根据定理五，边 AB 、 BD 、 AC 、 CD 及 BC 均可求得。

通过以上的结论，足以满足我们探索目标的需要。这些偏离主题的论证到此为止，如果要更为详尽，就需要再作一部专著了。

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[1] 长度单位，相当于 英里或201.167米。

[2] 哥白尼用的是“ Cathagia ”，可以只代表中国北部地区，也可以表示整个中国。

[3] 索福克勒斯并非在《厄勒克特拉》中称太阳为洞察万物者，而是在他的《科罗努斯的俄狄浦斯》（ Oedipus at Colonus ）一书的第869行，把太阳称为洞察万物者。

[4] BA 与 BC 的比值已知， BC 即可用与 BD 相同的单位表示。 3L4VJbKlyfzJt7hGQjx1bUT5EYzofkUFJXz76vC5z4OnsiyH76mEtU1paG2pKUIS