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1.12 圆周的弦长

按照数学家的普遍做法,我将圆分为360°。但是根据托勒密的《天文学大成》,早期的数学家将直径划分为120等分。但由于弦长大部分是无理数,甚至平方后也是,因此,为了避免弦长在运算中出现分数,后人采用了1200000等分,也有人采用了2000000等分。印度数码通行后,又出现了更多的适用型直径体系。运用这些体系做快速运算,显然比希腊人或拉丁人建立的体系更为精确。因此,我采用了直径的200000等分。这种等分法完全可以排除较大的误差,如果出现数量比不是整数比的情况,我们只能取一个近似值。下面,我将严格仿照托勒密的方法,用六条定理和一个问题来阐述我的观点。

定理一:

如果知道圆的直径,则内接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的边长均可求得。

直径的一半等于六角形的边长。欧几里得在《几何原本》中证明:三角形边长的平方等于六角形边长平方的3倍,正方形边长的平方等于六角形边长的2倍。因此,如果取六角形边长为100000 P ,那么,正方形的边长为141422 P ;三角形的边长为173205 P 。证明如下 (见图1.5)

图1.5

令:六角形一条边长为 AB

已知:根据《几何原本》第二卷第十题,线 AB C 点被分为平均比值和极端比值两段。我们令较长的一段为 CB ,并将它延伸至相等长度 BD

因此,线 ABD 也被分成了平均比值和极端比值。

延伸部分 BD 是较短的一段,内接于圆内十角形的一边。已知 AB 是六角形的一边。那么,我们可以求出 BD 的长度。

E 点平分线段 AB 。由《几何原本》可知,线段 EBD 的平方是线段 EB 平方的5倍。

已知: EB 的长度为50000 P 。由它的平方的5倍可得 EBD 的长度为111803 P

又得: EBD - BD =111803 P -50000 P =61803 P ,即我们所求的十角形的边长。

同理,五角形边长的平方等于六角形边长与十角形边长平方的和。由此可得五角形边长为117557 P

结论:当圆的直径已知时,内接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的边长均可求得。

推论

当已知任意圆弧的弦时,可求得半圆剩余部分所对的弦长。内接于一个半圆的角为直角。在直角三角形中,与直角相对应的边(即直径)的平方等于另外两边的平方之和。十角形一边所对的弧为36°。定理一已证明它的长度为61803 P ,直径为200000 P 。因此,半圆剩下的144°所对的弦长就是190211 P 。五角形一边的长度为117557 P ,它所对的弧为72°,剩下的108°半圆所对弦长可求得为161803 P

定理二(定理三的预备定理):

在圆的内接四边形中,以对角线为边形成的矩形等于两组对边所作矩形之和 (见图1.6)

图1.6

令:矩形 ABCD 为圆的内接四边形。

∵对角线的乘积 AC × DB AB × DC AD × BC 。取∠ ABE =∠ CBD 。可得出∠ ABD =∠ EBC ,∠ EBD 为两角所共有。且∠ ACB =∠ BDA

∴两个相似三角形(△ BCE 和△ BDA )的相应边长成比例,即 BC BD EC AD

EC × BD BC × AD

∵∠ ABE =∠ CBD ,∠ BAC 与∠ BDC 都因截取同一圆弧而相等。

∴△ ABE ∽△ CBD

同理, AB BD AE CD AB × CD AE × BD ,且 AD × BC BD × EC

BD × AC AD × BC AB × CD 。得证。

定理三:

已知一个半圆中两段不相等弧所对的弦长,则可求得两弧之差所对的弦长 (见图1.7)

图1.7

在半圆 ABCD 中, AD 为直径。令 AB AC 为半圆中两段不相等弧所对的弦长,求弦长 BC 的长度。

根据定理一的推论,我们可求出半圆中弧的弦 BD CD 的长度。在半圆中形成四边形 ABCD ,对角线 AC BD ,以及 AB AD CD 这三条边都已知。

根据定理二,在四边形 ABCD 中, AC × BD AB × CD AD × BC

AC × BD - AB × CD AD × BC 。如果该数值除以 AD 的长度(这是可行的),即可得到弦 BC 的长度。

假设:五角形和六角形的边长已知,二者之差为72°-60°=12°。

那么:用这个方法求得弦长为20905 P

定理四:

已知任意弧所对的弦,可求其半弧所对的弦长 (见图1.8)

图1.8

令:圆为 ABC AC 为直径, BC 是给定的弧。

过圆心 E 作直线 EF BC 垂直。根据《几何原本》, EF BC 等分于 F 。延长 EF ,将弧 BDC 等分于 D 。作弦 AB BD 。△ ABC 和△ EFC 为直角三角形。

∵∠ ECF 为△ ABC 和△ EFC 的公共角,且△ ABC ∽△ EFC BFC =2 CF

AB =2 EF ,弦 AB 的长度可由定理一的推论求得,从而求出 EF DF 的长度。

作直径 DEG ,连接 BG 。在△ BDG 中,从直角顶点 B 向斜边作垂直线段 BF

GD × DF BD 2 ,于是可求出弧 BDG 的一半所对的弦 BD 的长度。

根据定理三,已求得对应于12°的弦长,那么,对应于6°的弦长也可求出为10467 P ;3°为5235 P 为2618 P 为1309 P

定理五:

已知两弧所对的弦,可求出两弧之和所对的弦长 (见图1.9)

图1.9

令:圆内已知的两段弦为 AB BC ,求对应于整条 ABC 弧的弦长。

作直径 AFD BFE 及直线 BD CE

AB BC 已知,且 DE AB ,由定理一可推论出这些弦长。

连接 CD ,构成四边形 BCDE 。该四边形的对角线 BD CE 以及三条边 BC DE BE 都可求得。剩余的一边 CD 可由定理二求出。

因此,我们可以得到与半圆余下部分所对的弦,即整个 所对的弦 CA 的长度。

至此,与3°、 相对的弦长都已求得。取这样的间距和数值,可以制作精确的图表。如果要增加1°或 ,使两段弦相加,或作其他运算,那么所求得的弦长是否正确就值得怀疑了。因为目前还找不到它们之间的图形关系。但另一种方法可以做到这一点,并且不会产生较大的误差,只是需要使用一组非常精确的数字。托勒密也计算过1°和 的弦长。他最先指出这个问题。

定理六:

大弧与小弧之比大于所对应两弦长之比 (见图1.10)

图1.10

令: 为圆内两段相邻的弧,且 BC AB (需要说明的是, BC AB 的比值大于构成 B 角的弦的比值 BC AB )。直线 BD 等分 B 角。

连接 AC ,该线段与 BD 相交于 E 点。再连接 AD CD 。由于它们所对的弧相等,因此, AD CD

∵在△ ABC 中,角等分线 BE AC 相交于 E 点。

EC AE BC AB ,且 BC AB EC EA

DF AC DF 等分线段 AC F 点(此点应在 EC 内)。

在每个三角形中,大角对长边。

因此,在△ DEF 中, DE 边长于 DF 边。 AD 边长于 DE 边。以 D 为中心、 DE 为半径画的圆弧,与 AD 相交并超出 DF

令:此 AD 相交于 H ,并与 DF 的延长线相交于 I

由此可知,扇形 EDI >△ EDF 。△ DEA >扇形 DEH

∵△ DEF ∶△ DEA <扇形 EDI ∶扇形 DEH 。但扇形与其弧或中心角成正比,而顶点相同的三角形与其底边成正比。

∴用 EDF ADE 表示的角度之比大于用 EF AE 表示的顶边之比。并能进一步证明,∠ FDA ∶∠ ADE 的角度比大于 AF AE 的边长比。

同理可证,∠ CDA ∶∠ ADE AC AE CE EA <∠ CDE ∶∠ EDA ,∠ CDE ∶∠ EDA CB AB CE AE BC AB

由此得证:弧长之比 CB AB 大于弦长之比 BC AB

由于两点之间直线最短,弧线总是长于其所对的弦。但随着弧线弯曲程度的不断减小,不等于符号便趋近于等号,最终直线和圆弧同时在圆上的切点处消失。在这种情况出现之前,它们的差必定小到无法计算。我们来看 (见图1.11)

图1.11

令:

设:直径 AB 长200000 P ,按定理四可得, 所对弦长为5235 P 所对弦长为2618 P 的两倍,但 AB 弦不到 AC 弦的两倍,后者比2617只大一个单位。

可得: AB 弦为2618 P AC 为1309 P 。虽然 AC 弦应当大于 AB 弦的一半,但似乎又是一样大,两弧之比与两弦之比趋于一致。由此可知,趋近于直线的弧线之差根本无法察觉,它们似乎已化为同一条线。

因此,我可以毫不犹豫地把 和1309 P 这两个数值同样用于1°或某些分度所对弦的计算。那么, 相加,可得1°所对弦为1745 P 为582 P

如果需要制一个表,我相信只需录入倍弧所对的半弧就足够了。用这种简化方法,我可以把以前需要在半圆内展开的数值压缩到一个象限之内,因为在证题和计算时,半弦比整弦用得更多。我取 制表,共分三栏。第一栏是圆周的分度和六分度。第二栏是倍弧的半弦数值。第三栏是每隔一度的差额。利用这些差额,可以得到一度内的分数内相应的正比量 (见《圆周弦长表》) DMZx2g2zD/y3urFPJsRRd85DpWsWa86LpBak15EsyC8JA2jjuvjfD4KYFl8t4+vn

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