第6章
如何求已知轨道上物体的运动

命题30　问题22

求在任意给定时刻，运动物体在抛物线轨道上所处的位置。 （如图6-1）

设 S 点为抛物线的焦点， A 为顶点，设4 AS × M 等于被截下的部分抛物线面积 APS ，其中， APS 既可是以半径 SP 在物体离开顶点后所划过的面积，也可是物体到达那里 （顶点） 之前划过的部分。现在，我们知道这块截取的面积的量与它的时间成正比。 G 为 AS 中点，作垂线 GH 等于3 M ，再以点 H 为圆心、 HS 为半径作一圆，这个圆与抛物线的交点 P 即为所求质量。作 PO 垂直于横轴，再作 PH ，则：

AG ² ＋ GH ² ＝ HP ² ＝（ AO - AG ） ² ＋（ PO - GH ） ² ＝ AO ² ＋ PO ² -2 AO × AG -2 GH × PO ＋ AG ² ＋ GH ² ，所以，2 GH × PO ＝ AO ² ＋ PO ² -2 AO × AG ＝ AO ² ＋ PO ² 用 代替 AO ² ，再将等式除以3 PO 、乘以2 AS ，可得到： GH × AS ＝ AO × PO ＋ AS × PO ＝ × PO ＝ × PO ＝面积 APO -面积 SPO ＝面积 APS 。由于 GH ＝3 M ，因此， GH × AS ＝4 AS × M 。所以，被切割的面积 APS 与给定面积4 AS × M 相等。

证明完毕。

推论1 因此， GH 与 AS 的比，等于物体划过弧 AP 所需时间与物体由顶点 A 到焦点 S 处主轴垂线所截的一段弧所需时间之比。

推论2 假设一圆周 ASP 连续穿过运动物体 P ，且物体在点 H 处的速度与在顶点 A 的速度之比为3∶8，那么，直线 GH 与物体在相同时间以在顶点 A 的速度由 A 运动到 P 所画直线之比也为3∶8。

推论3 用以下方法可求出物体经过任意给定弧 AP 所需的时间。连接 AP ，在它的中点上作一垂线，然后在点 H 与直线 GH 相交。

引理28

通常用任意多有限的项和元的方程，不能求出以任意直线切割的卵形面积。

假如在卵形内任意给定一点，一直线以这点作为极点，绕它做连续、匀速的旋转运动；在该直线上，有一可动点从极点不断向外移动，移动速度等于卵形中直线长的平方。在运动过程中，该点的运动轨迹是旋转数无穷的螺旋线。如果由上述直线所切割的卵形面积可由有限方程求出，那么，与该面积成正比的从动点到极点的距离也可由相同的方程求出，则螺旋线上的所有点都可由有限方程求出，而给定位置的直线与螺旋线的交点也同样可由有限方程求出。但是，每一条无限延伸的直线与螺旋线都相交于无限数量的点，而两线的交点都可由方程解出，即方程有多少个根就有多少个交点，有多少个交点也就应该有相应多的次数。因为，两个圆周相交于两个点，用一个二次方程可以求出一个交点，用这个方程也能求出另一个交点。两个圆锥曲线可以有四个交点，任意一个交点通常只能由四次方程求出，而用四次方程可以求出所有的交点。如果分别去找每一个交点，由于定律和条件都一样，因此，不管在什么情形下，其计算结果也完全一样，这意味着，它必定同时表达了所有的交点。圆锥曲线与三次曲线的交点最多有六个，必须用六次方程才能求出。而当两条三次曲线相交，其交点最多有九个，必须用九元方程才能求出。若非如此，所有的立体问题均可简化为平面问题，包括那些维数高于立体的问题也可简化为立体问题。但是，我在这里所讨论的曲线幂次却不能降低，因为方程幂次是用来表达曲线的，一旦降低，曲线就不是一个完整曲线，而是由两条或者更多条曲线组合而成，它们的交点则可由不同的计算分别求出。同理，直线与圆锥曲线的两个交点也需用二次方程求出，而直线与三次曲线的三个交点则需用三次方程求出，直线与四次曲线的四个交点需用四次方程求出，这样可以推广到无限。由于螺旋线是简单的曲线，不能简化分为更多的曲线，因此直线与螺旋线的无数个交点，就需要用次数和根都是无限多的方程来表达，因为所有的定律和条件都是相同的。如果由极点作相交直线的垂线，且垂线与相交直线均绕极点转动，那么螺旋线的交点会相互转变，在第一次旋转之后，第一个或最近的一个交点将变为第二个，在第二次旋转之后则会变为第三个，以此类推。当螺旋线的交点在进行转变时，方程不会发生任何改变，但它对交点直线位置量的大小及其变化起着决定作用。因此在每一次的转动之后，由于这些量都变为它们初始时的大小，则方程也会变为其最初的形式，而同一个方程可表达出所有的交点，并能表示交点的无数个根。简而言之，有限方程不能求出直线与螺旋线的交点，即由直线任意切割的卵形的面积，不能用有限方程来表示。

根据相同理由，如果螺旋线极点与动点的间距与被切割卵形的边长成正比，由此说明，该边长一般不能用有限方程表示。但是，我在这里所说的卵形并不与向外无限延伸的共轭图形相切。

推论 从焦点到运动物体的半径画出的椭圆面积，不能由给定时间的有限次方程求出，也不能通过几何上的有理曲线来描绘。在这里，我之所以称这些曲线在几何上是有理的，是指上面所有的点均可由长度的方程求出，也可以说是由长度的复合比值确定。其他的曲线如螺旋线、割圆曲线、摆线等，我将它们称做几何上是无理的。它们的长度有的是整数与整数的比，有的则不是（根据欧几里得《几何原本》第十卷），在算术上称为“有理”或“无理”。因此，在接下来的方法中，我将用几何上的无理曲线分割法来对椭圆面积作分割，所分割的面积与时间成正比。

命题31　问题23

找出物体在指定时间、给定的椭圆轨道上运动所处的位置。 （如图6-2）

作一椭圆 APB ，设 A 为椭圆 APB 的主顶点， S 为焦点， O 为中心，以点 P 作为所要求的物体的处所。延长 OA 至点 G ，使 OG ∶ OA ＝ OA ∶ OS 。作长轴的垂线 GH ，再以 O 为圆心、 OG 为半径作圆 GEF 。以直线 GH 为底边，设圆轮 GEF 绕其轴向前转动，同时，由点 A 作摆线 ALI ，完成之后，再以 GK 与圆轮周长 GEFG 的比，等于物体由 A 点前进划出弧 AP 所需的时间与绕椭圆旋转一周的时间之比。作垂线 KL ，交摆线于点 L ，再作 LP 平行于 KG ，交椭圆于点 P ， P 点即为所要求的物体所处的位置。

证明：以点 O 为圆心， OA 为半径作出半圆 AQB ，使 LP 延长之后交弧 AQ 于点 Q ，连接 SQ 、 OQ 。将 OQ 交弧 EFG 于点 F ，作 OQ 上的垂线 SR 。则面积 APS 与面积 AQS 成正比，即与扇形 OQA 和三角形 OQS 的差成正比，或与 OQ × AQ 和 OQ × SR 的差成正比，由于 OQ 已给定，因此，与弧 AQ 与直线 SR 的差也成正比。又因为 SR 与弧 AQ 的矢之比， OS 与 OA 之比， OA 与 OG 之比， AQ 与 GF 之比，以及 AQ - SR 与 GF -弧 AQ 的矢之比都相等，所以面积 APS 与 GF 和弧 AQ 的矢之差成正比。

证明完毕。

附注

由于要作出这条曲线比较困难，因此，在此最好采用近似求解法。（如图6-3）首先，选择一个定角 B ，使其与半径的对应角57.29578˚角的比，等于焦距 SH 与椭圆直径 AB 的比。再找出一个长度 L ，使其与半径的反比也为该比值。然后，用下列分析方法来解答这个问题：

首先，我们假设处所 P 接近物体真正的处所 p 。在椭圆的主轴上作纵标线 PR ，根据椭圆直径的比例，我们可以求出外切圆 AQB 的纵标线 RQ 。以 AO 为半径，与椭圆相交于点 P ，那么，该纵标线就是角 AOQ 的正弦。如果这个角只是由数字的近似计算求得，只要能接近于真实就可以了。假设这个角与时间成正比，那么，它与四个直角的比，则等于物体经过弧 Ap 所需的时间与绕椭圆一周所需时间之比。将该角设为 N ，另取一个角 D ，使其与角 B 的比等于角 AOQ 的正弦与半径的比。取角 E ，使其与角 N - AOQ ＋ D 之比等于长度 L 比 L 与角 AOQ 余弦之差。下一步，取角 F ，使其与角 B 之比等于角 AOQ ＋ E 的正弦与半径之比；再取角 G ，使其与角 N - AOQ - E ＋ F 等于长度 L 比 L 与角 AOQ ＋ E 的余弦之差。第三步，取角 H ，使其与角 B 的比等于角 AOQ ＋ E ＋ G 的正弦与半径的比；再取角 I ，使其与角 N - AOQ - E - G ＋ H 之比等于长度 L 比 L 与角 AOQ ＋ E ＋ G 的余弦之差。这样一直推广到无限。最后，取角 AOq ，使其等于角 AOQ ＋ E ＋ G ＋ I ＋…。由它的余弦 Or 和纵坐标 pr （ pr 与它的正弦 qr 的比等于椭圆短轴与长轴的比），可得出物体的准确处所 p 。当角 N - AOQ ＋ D 为负时，那么角 E 前的“＋”号都应改为“-”号，且“-”号都应改为“＋”号。同样，当角 N - AOQ - E ＋ F 和角 N - AOQ - E - G ＋ H 为负时，角 G 和 I 前的符号也要作相应改变。但是无穷级数 AOQ ＋ E ＋ G ＋ I ＋…，收敛的速度很快，通常几乎不用计算到第二项 E 之后。用这个定理进行计算，面积 APS 等于弧 AQ 和由焦点 S 垂直于半径 OQ 的直线的差。（如图6-4）

用相似的计算方法，也可以解决双曲线中的类似问题。以其中心为 O ，顶点为 A ，焦点为 S ，渐近线为 OK 。设与时间成正比且被分割的面积的量已知，用 A 表示，假设直线 SP 的位置接近于分割面积 APS 。连接 OP ，由 A 和 P 作到渐近线的直线 AI 、 PK ，使它们与另一条渐近线平行。根据对数表，可以确定面积 AIKP ，并可确定面积 OPA 与其相等，面积 OPA 是从三角形 OPS 切下的面积，剩下的面积为 APS 。用2 APS -2 A 或2 A -2 APS ，即被分割的面积 A 与面积 APS 的差的2倍，除以过焦点 S 垂直于切线 TP 的直线 SN ，则可得到弦 PQ 的长度。如果被切割的面积 APS 大于被切下的面积 A ，弦 PQ 则内接于点 A 和 P 之间，如果是其他情形，则指向点 P 的相反一侧，而点 Q 就是物体所在的更准确的处所。不断重复计算，得到的结果就会越来越精确。（如图6-5）

运用上面的计算方法，可以得到解决该问题的一种普遍分析法。但是，接下来的特殊计算更适用于天文学。

设 AO 、 OB 、 OD 为椭圆的半轴， L 为直径， D 为短半轴 OD 与 L 的差，找出一个角 Y ，使其正弦与半径的比等于差 D 和 AO ＋ OD 的乘积与长轴 AB 平方的比。然后，找出角 Z ，使其正弦与半径的比，等于焦距 SH 和差 D 乘积的2倍与半长轴 AO 平方的3倍的比。如果找到这些角，物体的处所也就得以确定。取角 T 正比于画出弧 BP 所需的时间，或者与平均运动相等，取角 V 为平均运动的第一均差，使其与第一最大均差 Y 的比，等于2倍角 T 的正弦与半径的比；再取角 X 为第二差，使其与第二大均差 Z 的比，等于角 T 正弦的立方与半径立方的比。然后取角 BHP 为平均运动，如果角 T 小于直角，则使其等于角 T 、 V 、 X 的和 T ＋ X ＋ V ；如果角 T 大于一个直角而小于两个直角，则使其等于角 T 、 V 、 X 的差 T ＋ X - V ；如果 HP 交椭圆于点 P ，作出 SP ，则 SP 分割的面积 BSP 接近正比于时间。

这个方法非常简单，因为所取的角 V 和 X 的角度非常小，通常只需求到它们第一个数字前的两三位就足够了。与此相类似的是，我们还可以用这个方法来解答行星运动的问题。因为，即使是火星在轨道上的运动，其误差很少超过一秒。因此，一旦求出平均运动角 BHP 之后，真实运动角 BSP 以及距离 SP 也较易通过这个方法求出。

在此，我们讨论的全都是有关物体在曲线中的运动。但是，在实际生活中，我们也会遇到运动物体沿直线上升或下落的情况，现在，我接着讨论与这类运动相关的问题。 YIwYmgDtinUgm+LgZYA1sRdnfIv6s3AuGchLG0s1rW4atmxwr41Lpjwba9QJTqXb