第4章
通过已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线的轨道

引理15

如果由椭圆或双曲线的两个焦点 S 、 H ，分别作直线 SV 和 HV 与任意第三点 V 相交，其中， HV 是图形的主轴，即与焦点所在的轴。另一条直线 SV 被它的垂线 TR 分为两等份，交点为 T ，那么，垂线 TR 将与圆锥曲线相切。反之亦然，如果相切，那么 HV 为图形主轴。 （如图4-1）

将垂线 TR 与直线 HV 相交于点 R ，连接 SR 。因为 TS ＝ TV ，所以，直线 SR ＝ VR ，角 TRS ＝角 TRV ，因此点 R 在圆锥曲线上，且垂线 TR 也将与该圆锥曲线相切。反之亦然。

证明完毕。

命题18　问题10

由给定的焦点和主轴，作出椭圆或双曲线轨道，使轨道穿过给定点，并与给定的直线相切。 （如图4-2）

以 S 点为图形的公共焦点， AB 为任意轨道的主轴长度， P 为轨道应该穿过的点， TR 为轨道应该和它相切的直线。围绕中心 P ，如果轨道是椭圆，以 AB - SP 为半径，或者如果轨道是双曲线，以 AB ＋ SP 为半径，画出圆周 HG 。在切线 TR 上作垂线 ST 并延长到 V 点，使 TV ＝ ST ，然后作出以 V 为中心， AB 为半径的圆周 FH 。按相同方法，无论给定的是两个点 P 和 p ，或者两条切线 TR 和 tr ，还是一个点 P 和一条切线 TR ，均可作出两个圆周。设 H 为它们的公共交点，由焦点 S 、 H 和给定的轴可作出曲线轨道，则问题得以解决。因为椭圆中的 PH ＋ SP 或双曲线中的 PH - SP 都与主轴相等，所以，该轨道穿过点 P ，且与直线 TR 相切。同理，曲线轨道或穿过两个点 P 和 p ，或与两直线 TR 和 tr 相切。

证明完毕。

命题19　问题11

根据一给定焦点作抛物线轨道，并使该轨道穿过给定点，且与给定直线相切。 （如图4-3）

设 S 为焦点， P 为已知点， TR 为所求轨道的切线。以 P 为中心， PS 为半径，作出圆周 FG 。过焦点作切线的垂线段 ST ，延伸到 V 点，使 TV ＝ ST 。若已知另一点 p ，则对于另一点 p ，按上述方法得到另一圆周 fg ；若已知另一切线 tr ，则对另一切线 tr ，按上述方法得到另一点 v 。若已知点 P 和切线 TR ，则作直线 IF ，使其过点 V ，并与圆周 FG 相切；若已知两点 P 和 p ，则作直线 IF ，使其与圆周 FG 和 fg 都相切；若已知二切线 TR 和 tr ，则作直线 IF ，使其过点 V 和 v 。

作 FI 的垂线段 SI ， K 为 SI 中点，若以 SK 为轴、 K 为顶点作出抛物线，则问题得以解决。因为 SK ＝ IK ， SP ＝ FP ，而抛物线将通过 P 点，根据引理14中的推论3， ST ＝ TV ， STR 是直角，因此，将与直线 TR 相切。

证明完毕。

命题20　问题12

根据一个焦点和轨道类型，作出轨道，使该轨道通过已知点，并与已知直线相切。

情形1 由焦点 S 求出穿过点 B 和 C 的曲线轨道 ABC 。 （如图4-4）

由于轨道类型已给定，则主轴与焦点距离的比值也将给定，使 和 与该比值相等。以 B 、 C 为圆心， BK 、 CL 为半径作两个圆周，使直线 KL 与圆相切于点 K 和 L ，再作直线 KL 上的垂线 SG ，在 SG 上确定点 A 和 a ，使得 。因此，以 Aa 为轴、 A 和 a 为顶点作出曲线轨道，则问题得以解决。因为，若 H 点为图形的另一焦点，又 ，所以 ，因此，图形主轴与焦点间距离的比是给定比值，即所画出的图形与之前所要求的图形类型一样。由于 为给定比值，所以，由圆锥曲线性质可知，图形将通过点 B 和 C 。

情形2 由焦点 S 求出与直线 TR 和 tr 相切的曲线轨道。 （如图4-5）

过焦点作切线的垂线 ST 和 St ，并将它们分别延伸到点 V 和 v ，使 TV ＝ TS ， tv ＝ tS 。 O 为 Vv 中点，作 OH 垂直于 Vv ，并与无限延伸的直线 VS 相交。在直线 VS 上取点 K 和 k ，使 和 等于所求轨道主轴与焦点间距的比。以 Kk 为直径作一圆周，并与 OH 交于点 H ；再以 S 、 H 为焦点， VH 为主轴，即可作出曲线轨道，则问题得以解决。因为， X 点将 Kk 平分，连接 HX 、 HS 、 HV 和 Hv ，由于 ，因此，等于合比 ，等于分比 ，从而 ，因此 ，于是三角形 VXH 和 HXS 相似，因此 ，所作曲线主轴 VH 与焦距 SH 的比值，与所求的曲线的主轴与其焦距的比值相等，从而两曲线的类型完全相同。另外，由于 VH 和 vH 与主轴相等，且 VS 和 vS 分别被直线 TR 和 tr 垂直平分，所以根据引理15，这些直线与所作曲线相切。

证明完毕。

情形3 由焦点 S 求出与直线 TR 在给定点 R 相切的曲线轨道 （如图4-6） 。作直线 TR 上的垂线段 ST ，延伸到点 V ，使 TV ＝ ST 。连接 VR ，并与无限延长的直线 VS 相交，在直线 VS 上取点 K 和 k ，使 和 等于主轴与焦点间的距离的比。以 Kk 为直径作圆周，与直线 VR 相交于点 H ，然后，以 S 和 H 点为焦点， VH 为主轴，作出曲线轨道，则问题得以解决。根据情形2中的证明，由于 ，即等于所求曲线主轴与其焦点间的距离之比。因此，所作的图形与之前所要求的图形类型完全相同。根据圆锥曲线的性质可知，等分角 VRS 的直线 TR 必定在点 R 与曲线相切。

证明完毕。

情形4 由焦点 S 求曲线轨道 APB （如图4-7） ，使之与直线 TR 相切，穿过切线外任意一给定点 P ，并与以 ab 为主轴、 s 和 h 为焦点的图形 apb 相似。

作切线 TR 的垂线段 ST ，再延伸到点 V ，使 TV ＝ ST ，作角 hsq 和 shq ，使它们分别与角 VSP 和角 SVP 相等。再以 q 为中心，以与 ab 之比等于 的值为半径作圆周，交图形 apb 于点 p ，连接 sp ，作出 SH ，使 ，再作角 PSH 与角 psh 相等，角 VSH 与 psq 相等。再以 S 、 H 为焦点，与距离 VH 相等的 AB 为主轴作出圆锥曲线，则问题得以解决。 （如图4-8）

因为，若作 sv 并使 、角 vsp 等于角 hsq 、角 vsh 等于角 psq ，则三角形 svh 与 spq 相似，那么， 。由于三角形 VSP 和三角形 hsq 相似，因此， vh ＝ ab 。因三角形 VSH 和 vsh 相似，那么 ，因此，所作圆锥曲线的主轴与焦点间距离之比等于主轴 ab 与焦点间距离 sh 的比，所作图形与图形 apb 相似。另外，由于三角形 PSH 与 psh 相似，因此图形将通过点 P 。因为 VH 与主轴相等，且 VS 被直线 TR 垂直平分，因此，所作图形与直线 TR 相切。

证明完毕。

引理16

由三个已知点向第四个点作三条直线，使它们的差要么为给定值，要么值为零。 （如图4-9）

情形1 A 、 B 、 C 是已知的三个点， Z 是按要求所作的第四个点，由于直线 AZ 和 BZ 的差是给定值，因此，点 Z 的轨迹是一双曲线， A 和 B 是双曲线的焦点，且主轴为给定差。若主轴为 MN ，作点 P 使 ，作 PR 垂直于 AB ， ZR 垂直于 PR ，根据双曲线的性质， 。同理，点 Z 位于另一条双曲线上，该双曲线焦点为 A 、 C ，主轴是 AZ 与 CZ 的差。作 QS 垂直于 AC ，若用这条双曲线上任意一点 Z 作 QS 的垂线段 ZS ，则 ＝ 。因此，可得到 ZR 和 ZS 与 AZ 的比值，并且可确定 ZR 与 ZS 的比值。若直线 RP 和 SQ 在 T 点相交，只要作出 TZ 和 TA ，则可知图形 TRZS 的类型，并能确定 Z 所在的直线 TZ 的位置。由于直线 TA 和角 ATZ 是给定值，且已得到 AZ 和 TZ 与 ZS 的比值，那么，它们相互间的比可以确定，因此，角 ATZ 也可确定，其一个顶点为 Z 。

证明完毕。

情形2 若三条直线中的任意两条 （如 AZ 和 BZ ） 是相等的，作直线 TZ ，使之平分直线 AB ，那么，用以上方法就可求出三角形 ATZ 。

证明完毕。

情形3 若三条直线都相等，则点 Z 位于过点 A 、 B 、 C 的圆的中心。

证明完毕。

另外，在维也特所修订的阿波罗尼奥斯的《切触》一书中，对该引理也作了证明。

命题21　问题13

通过一给定焦点，作出过给定点并与给定直线相切的曲线轨道。 （如图4-10）

设焦点 S 、点 P 和切线 TR 为给定值，求出另一焦点 H 。在切线上作垂线段 ST ，延伸到点 Y ，使 TY ＝ ST ，那么， YH 与主轴相等。连接 SP 、 HP ，且 SP 为 HP 与主轴的差。同样，如果更多的切线 TR 均已给定，或者已知更多的点 P ，那么，从点 Y 或 P 到焦点的直线 YH 或 PH 则可确定，要么直线与主轴相等，要么直线为主轴和给定长度 SP 的差，因此，它们要么是相等的，要么是有给定的差。根据前一引理，另一焦点 H 即可确定。如果已知焦点和主轴长度，它们或等于 YH ，或轨道为椭圆时等于 PH ＋ SP ，或为双曲线时等于 PH - SP ，曲线轨道则可确定。

证明完毕。

附注

当我所指的曲线轨道是双曲线时，并不包括双曲线的另一支，因为，当物体以连续运动前进时，必定不会脱离双曲线的一支而进入双曲线的另一支运动。（如图4-11）

如果三个点均已给定，其解答方法则更为简便。以 B 、 C 、 D 为给定点，连接 BC 和 CD ，并将它们延伸到点 E 和 F ，使得 ， 。在直线 EF 上作垂线段 SG 、 BH ，并将 GS 无限延伸，在上面截取点 A 和 a ，使 ，那么， A 将为轨道顶点，而 Aa 为曲线主轴。通过 GA 大于、等于或小于 AS 的不同情况，该曲线可为椭圆、抛物线或双曲线。在第一个情形中，点 a 与点 A 均位于直线 GF 同一侧；在第二个情形中，点 a 位于无限远处；在第三个情形中，点 a 位于 GF 的另一侧。因为，若作 GF 上的垂线段 CI 和 DK ，则 。再整理排列有： ，或等于 ；同理可证 也等于该比值。因此，点 B 、 C 、 D 均位于由焦点 S 作出的圆锥曲线上，且由焦点作出的到曲线上各点的所有线段，与过该点垂直于 GF 的线段的比值均为给定值。

著名几何学家德拉希尔在他的著作《圆锥曲线》第八卷命题25中，也用类似方法对这个问题作了证明。 xqINEzQNYirfxP7IhN9+YOdOFibD+uvBKj7k9Fr+C4hTumgPwAhoLUjdSeibG7kK