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如果由椭圆或双曲线的两个焦点 S 、 H ，分别作直线 SV 和 HV 与任意第三点 V 相交，其中， HV 是图形的主轴，即与焦点所在的轴。另一条直线 SV 被它的垂线 TR 分为两等份，交点为 T ，那么，垂线 TR 将与圆锥曲线相切。反之亦然，如果相切，那么 HV 为图形主轴。 （如图4-1）
（图4-1）
将垂线 TR 与直线 HV 相交于点 R ，连接 SR 。因为 TS ＝ TV ，所以，直线 SR ＝ VR ，角 TRS ＝角 TRV ，因此点 R 在圆锥曲线上，且垂线 TR 也将与该圆锥曲线相切。反之亦然。
证明完毕。
由给定的焦点和主轴，作出椭圆或双曲线轨道，使轨道穿过给定点，并与给定的直线相切。 （如图4-2）
（图4-2）
以 S 点为图形的公共焦点， AB 为任意轨道的主轴长度， P 为轨道应该穿过的点， TR 为轨道应该和它相切的直线。围绕中心 P ，如果轨道是椭圆，以 AB - SP 为半径，或者如果轨道是双曲线，以 AB ＋ SP 为半径，画出圆周 HG 。在切线 TR 上作垂线 ST 并延长到 V 点，使 TV ＝ ST ，然后作出以 V 为中心， AB 为半径的圆周 FH 。按相同方法，无论给定的是两个点 P 和 p ，或者两条切线 TR 和 tr ，还是一个点 P 和一条切线 TR ，均可作出两个圆周。设 H 为它们的公共交点，由焦点 S 、 H 和给定的轴可作出曲线轨道，则问题得以解决。因为椭圆中的 PH ＋ SP 或双曲线中的 PH - SP 都与主轴相等，所以，该轨道穿过点 P ，且与直线 TR 相切。同理，曲线轨道或穿过两个点 P 和 p ，或与两直线 TR 和 tr 相切。
证明完毕。
根据一给定焦点作抛物线轨道，并使该轨道穿过给定点，且与给定直线相切。 （如图4-3）
（图4-3）
设 S 为焦点， P 为已知点， TR 为所求轨道的切线。以 P 为中心， PS 为半径，作出圆周 FG 。过焦点作切线的垂线段 ST ，延伸到 V 点，使 TV ＝ ST 。若已知另一点 p ，则对于另一点 p ，按上述方法得到另一圆周 fg ；若已知另一切线 tr ，则对另一切线 tr ，按上述方法得到另一点 v 。若已知点 P 和切线 TR ，则作直线 IF ，使其过点 V ，并与圆周 FG 相切；若已知两点 P 和 p ，则作直线 IF ，使其与圆周 FG 和 fg 都相切；若已知二切线 TR 和 tr ，则作直线 IF ，使其过点 V 和 v 。
作 FI 的垂线段 SI ， K 为 SI 中点，若以 SK 为轴、 K 为顶点作出抛物线，则问题得以解决。因为 SK ＝ IK ， SP ＝ FP ，而抛物线将通过 P 点，根据引理14中的推论3， ST ＝ TV ， STR 是直角，因此，将与直线 TR 相切。
证明完毕。
根据一个焦点和轨道类型，作出轨道，使该轨道通过已知点，并与已知直线相切。
情形1 由焦点 S 求出穿过点 B 和 C 的曲线轨道 ABC 。 （如图4-4）
（图4-4）
由于轨道类型已给定，则主轴与焦点距离的比值也将给定，使
和
与该比值相等。以
B
、
C
为圆心，
BK
、
CL
为半径作两个圆周，使直线
KL
与圆相切于点
K
和
L
，再作直线
KL
上的垂线
SG
，在
SG
上确定点
A
和
a
，使得
。因此，以
Aa
为轴、
A
和
a
为顶点作出曲线轨道，则问题得以解决。因为，若
H
点为图形的另一焦点，又
，所以
，因此，图形主轴与焦点间距离的比是给定比值，即所画出的图形与之前所要求的图形类型一样。由于
为给定比值，所以，由圆锥曲线性质可知，图形将通过点
B
和
C
。
情形2 由焦点 S 求出与直线 TR 和 tr 相切的曲线轨道。 （如图4-5）
（图4-5）
过焦点作切线的垂线
ST
和
St
，并将它们分别延伸到点
V
和
v
，使
TV
＝
TS
，
tv
＝
tS
。
O
为
Vv
中点，作
OH
垂直于
Vv
，并与无限延伸的直线
VS
相交。在直线
VS
上取点
K
和
k
，使
和
等于所求轨道主轴与焦点间距的比。以
Kk
为直径作一圆周，并与
OH
交于点
H
；再以
S
、
H
为焦点，
VH
为主轴，即可作出曲线轨道，则问题得以解决。因为，
X
点将
Kk
平分，连接
HX
、
HS
、
HV
和
Hv
，由于
，因此，等于合比
，等于分比
，从而
，因此
，于是三角形
VXH
和
HXS
相似，因此
，所作曲线主轴
VH
与焦距
SH
的比值，与所求的曲线的主轴与其焦距的比值相等，从而两曲线的类型完全相同。另外，由于
VH
和
vH
与主轴相等，且
VS
和
vS
分别被直线
TR
和
tr
垂直平分，所以根据引理15，这些直线与所作曲线相切。
证明完毕。
情形3
由焦点
S
求出与直线
TR
在给定点
R
相切的曲线轨道
（如图4-6）
。作直线
TR
上的垂线段
ST
，延伸到点
V
，使
TV
＝
ST
。连接
VR
，并与无限延长的直线
VS
相交，在直线
VS
上取点
K
和
k
，使
和
等于主轴与焦点间的距离的比。以
Kk
为直径作圆周，与直线
VR
相交于点
H
，然后，以
S
和
H
点为焦点，
VH
为主轴，作出曲线轨道，则问题得以解决。根据情形2中的证明，由于
，即等于所求曲线主轴与其焦点间的距离之比。因此，所作的图形与之前所要求的图形类型完全相同。根据圆锥曲线的性质可知，等分角
VRS
的直线
TR
必定在点
R
与曲线相切。
（图4-6）
证明完毕。
情形4 由焦点 S 求曲线轨道 APB （如图4-7） ，使之与直线 TR 相切，穿过切线外任意一给定点 P ，并与以 ab 为主轴、 s 和 h 为焦点的图形 apb 相似。
（图4-7）
作切线
TR
的垂线段
ST
，再延伸到点
V
，使
TV
＝
ST
，作角
hsq
和
shq
，使它们分别与角
VSP
和角
SVP
相等。再以
q
为中心，以与
ab
之比等于
的值为半径作圆周，交图形
apb
于点
p
，连接
sp
，作出
SH
，使
，再作角
PSH
与角
psh
相等，角
VSH
与
psq
相等。再以
S
、
H
为焦点，与距离
VH
相等的
AB
为主轴作出圆锥曲线，则问题得以解决。
（如图4-8）
（图4-8）
因为，若作
sv
并使
、角
vsp
等于角
hsq
、角
vsh
等于角
psq
，则三角形
svh
与
spq
相似，那么，
。由于三角形
VSP
和三角形
hsq
相似，因此，
vh
＝
ab
。因三角形
VSH
和
vsh
相似，那么
，因此，所作圆锥曲线的主轴与焦点间距离之比等于主轴
ab
与焦点间距离
sh
的比，所作图形与图形
apb
相似。另外，由于三角形
PSH
与
psh
相似，因此图形将通过点
P
。因为
VH
与主轴相等，且
VS
被直线
TR
垂直平分，因此，所作图形与直线
TR
相切。
证明完毕。
由三个已知点向第四个点作三条直线，使它们的差要么为给定值，要么值为零。 （如图4-9）
（图4-9）
情形1
A
、
B
、
C
是已知的三个点，
Z
是按要求所作的第四个点，由于直线
AZ
和
BZ
的差是给定值，因此，点
Z
的轨迹是一双曲线，
A
和
B
是双曲线的焦点，且主轴为给定差。若主轴为
MN
，作点
P
使
，作
PR
垂直于
AB
，
ZR
垂直于
PR
，根据双曲线的性质，
。同理，点
Z
位于另一条双曲线上，该双曲线焦点为
A
、
C
，主轴是
AZ
与
CZ
的差。作
QS
垂直于
AC
，若用这条双曲线上任意一点
Z
作
QS
的垂线段
ZS
，则
＝
。因此，可得到
ZR
和
ZS
与
AZ
的比值，并且可确定
ZR
与
ZS
的比值。若直线
RP
和
SQ
在
T
点相交，只要作出
TZ
和
TA
，则可知图形
TRZS
的类型，并能确定
Z
所在的直线
TZ
的位置。由于直线
TA
和角
ATZ
是给定值，且已得到
AZ
和
TZ
与
ZS
的比值，那么，它们相互间的比可以确定，因此，角
ATZ
也可确定，其一个顶点为
Z
。
证明完毕。
情形2 若三条直线中的任意两条 （如 AZ 和 BZ ） 是相等的，作直线 TZ ，使之平分直线 AB ，那么，用以上方法就可求出三角形 ATZ 。
证明完毕。
情形3 若三条直线都相等，则点 Z 位于过点 A 、 B 、 C 的圆的中心。
证明完毕。
另外，在维也特所修订的阿波罗尼奥斯的《切触》一书中，对该引理也作了证明。
通过一给定焦点，作出过给定点并与给定直线相切的曲线轨道。 （如图4-10）
（图4-10）
设焦点 S 、点 P 和切线 TR 为给定值，求出另一焦点 H 。在切线上作垂线段 ST ，延伸到点 Y ，使 TY ＝ ST ，那么， YH 与主轴相等。连接 SP 、 HP ，且 SP 为 HP 与主轴的差。同样，如果更多的切线 TR 均已给定，或者已知更多的点 P ，那么，从点 Y 或 P 到焦点的直线 YH 或 PH 则可确定，要么直线与主轴相等，要么直线为主轴和给定长度 SP 的差，因此，它们要么是相等的，要么是有给定的差。根据前一引理，另一焦点 H 即可确定。如果已知焦点和主轴长度，它们或等于 YH ，或轨道为椭圆时等于 PH ＋ SP ，或为双曲线时等于 PH - SP ，曲线轨道则可确定。
证明完毕。
当我所指的曲线轨道是双曲线时，并不包括双曲线的另一支，因为，当物体以连续运动前进时，必定不会脱离双曲线的一支而进入双曲线的另一支运动。（如图4-11）
（图4-11）
如果三个点均已给定，其解答方法则更为简便。以
B
、
C
、
D
为给定点，连接
BC
和
CD
，并将它们延伸到点
E
和
F
，使得
，
。在直线
EF
上作垂线段
SG
、
BH
，并将
GS
无限延伸，在上面截取点
A
和
a
，使
，那么，
A
将为轨道顶点，而
Aa
为曲线主轴。通过
GA
大于、等于或小于
AS
的不同情况，该曲线可为椭圆、抛物线或双曲线。在第一个情形中，点
a
与点
A
均位于直线
GF
同一侧；在第二个情形中，点
a
位于无限远处；在第三个情形中，点
a
位于
GF
的另一侧。因为，若作
GF
上的垂线段
CI
和
DK
，则
。再整理排列有：
，或等于
；同理可证
也等于该比值。因此，点
B
、
C
、
D
均位于由焦点
S
作出的圆锥曲线上，且由焦点作出的到曲线上各点的所有线段，与过该点垂直于
GF
的线段的比值均为给定值。
著名几何学家德拉希尔在他的著作《圆锥曲线》第八卷命题25中，也用类似方法对这个问题作了证明。
