1.11　洛伦兹变换

对火车上两个特定点之间距离的测量结果表明，光的传播定律与相对性原理表面相抵触 （本章 第七节 ） 是根据经典力学中两个不恰当的臆测得出的。这两个臆测是：

（1）两事件的时间间隔 （时间） 与参考物体的运动状况无关。

（2）同一刚体上两点的空间间隔 （距离） 与参考物体的运动无关。

如果我们放弃这两个臆测，本章 第七节 中进退两难的局面就会消失，因为本章 第六节 所得出的速度相加定理是不会成立的，看来真空中光的传播定律与相对性原理可以相容，因此一个普遍性的问题便开始产生：既然在本章 第六节 的论述中，这两个基本经验结果之间已经有了表面的矛盾，那么我们应该如何来修正这一表面矛盾？在本章 第六节 中，对时间和地点的谈论，我们既相对于火车又相对于路基。如果在已知一事件相对于铁路路基的地点和时间的情况下，我们如何求出该事件相对于火车的地点和时间呢？对于这个问题的解答，是否能使真空中光的传播定律与相对性原理互不冲突？换句话说，我们能否设想，在每一事件相对于一个或另一个参考物体的地点和时间之间存在着某种关系，使得任一光线相对于路基或者相对于火车，其传播速度都是 c 呢？这个问题获得了一个十分肯定的答案，并且推导出了一个十分明确的变换定律，即事件的空间—时间值从一个参考物体变换到另一个参考物体。

在讨论这点之前，我们将提出附属的问题。直到目前为止，我们考虑的仅仅是沿路基发生的事情，在数学上，该路基所起的作用是一条假定的直线。如本章 第二节 指出的，我们能够想象为这个参考物体提供一个由横向和纵向的杆构成的框架，以便以该框架为参照物来确定任一处发生的事件的空间位置。同理，假如火车以速度 v 继续在无边无际的空间行驶，那么，无论它行驶多远，我们都能参照为火车制定的框架来确定它在空间中的位置。在这两套框架中，因固体的不可入性而不断相互干扰的问题不至于造成任何根本性的错误，因此我们大可不必考虑这一点。在每一上述的框架中，我们设想画出三个互相垂直的面，称之为“坐标平面” （坐标系） 。于是，坐标系 K 对应路基，坐标系 K ′对应火车。一事件无论在何地点，它在空间中相对于 K 的位置可由坐标平面上的三条垂线 x、y、z 确定，而关于时间则由另一时间值 t 来确定。相对于 K ′，此同一事件的空间位置和时间将由相应的且与 x、y、z、t 并非全等的量值 x ′、 y ′、 z ′、 t ′来确定。上面已作了如何将这些量值看作物理测量结果的详细叙述。

很明显，我们的问题能够用公式正确地表述如下：若一事件相对于 K ′的 x ′、 y ′、 z ′、 t ′的值已经给定，问相对于 K 的 x、y、z、t 的值是多少？在选定关系式时，无论是相对于 K 或是相对于 K ′，对于同一光线而言，真空中光的传播定律必须被满足。若这两个坐标系在空间中的相对取向如上图所示，这个问题就可以由下列方程组解出：

这个系统的方程组称为“洛伦兹变换”。

如果我们并非根据光的传播定律的假定，而是根据旧力学中所隐含的时间和长度具有绝对性的假定，那么我们将会得到如下方程组：

x ′= x － v t

y ′= y

t ′= t

这被称为“伽利略变换”，在洛伦兹变换方程中，假如光速 c 被无穷大值代换，就可以得到伽利略变换方程。

因此我们很容易看到，根据洛伦兹变换，无论对于参考物体 K 还是 K ′，真空中光的传播定律都将被满足。例如沿正 x 轴发出一个光信号，所产生的光刺激将按照下列方程前进：

x = ct ′

也就是以速度 c 前进。按照洛伦兹变换， x 和 t 之间有了一个简单的关系，则在 x ′和 t ′之间必然也存在一个相应关系，实际上也是如此，如果我们把 x 的值 ct 代入洛伦兹变换的第一个和第四个方程中，就得到：

这两方程相除，直接得出下式：

x ′= ct ′

根据这种理解，如果参照坐标系是 K ′，光的传播便依照此方程式进行，我们因而看到，相对于参考物体 K ′，光的传播速度同样等于 c 。简而言之，对于沿任何方向传播的光我们也得到同样的结果。当然，这一点并不令人惊讶，因为洛伦兹变换方程就是由该观点推导而来。

对洛伦兹变换简单推导的一点补充

上图表示的是 x 轴永远重合的两坐标系的相对取向，根据图示，我们可以把问题分为几部分，任何一个这样的事件，首先只考虑 x 轴。坐标系 K 由横坐标 x 和时间 t 来表示，坐标系 K ′则由横坐标 x ′和时间 t ′来表示。当 x 和 t 是给定时，我们需要求出 x ′和 t ′。

一个光信号，沿着正 x 轴前进，方程式可表示为

x = ct 或者 x － ct =0　（1）

既然同一光信号必须以速度 c 相对于 K ′传播，所以相对于坐标系 K ′的传播将有类似的公式

x ′－ ct ′=0　（2）

满足（1）的空间—时间点 （事件） 必须也满足（2），很明显，这是成立的，只要关系式

（ x ′－ ct ′）= λ （ x － ct ）　（3）

被满足。那么， λ 表示一个常数；因为，依照（3），（ x － ct ）为零时（ x ′－ ct ′）就必然也为零。

如果对沿着负 x 轴传播的光线采用相同的思考，我们得到条件

（ x ′+ ct ′）= μ （ x + ct ）　（4）

方程（3）和（4）相加（或相减），将常数 λ 和 μ 代之以 a 和 b ，令

我们得到方程

x ′= ax － bct

x ′= act － bx （5）

我们从已知常数 a 和 b 可以得出我们问题的解。 a 和 b 的确定由下述讨论得出。

相对于 K ′的原点我们永远有 x ′＝0，按照（5）的第一个方程

如果将 v 视为 K ′的原点相对于 K 的运动速度，我们就有

同一值 v 可以从方程式（5）得出，如果我们计算 K ′的另一点相对于 K ，或者相对于 K ′的速度 （指向负 x 轴） ，那么，我们可以指定 v 为两坐标系的相对速度。

此外，相对性原理教给我们，由 K 判断的，相对于 K ′来说保持静止的量杆的长度，必须恰好等于由 K ′判断的，相对于 K 保持静止的量杆的长度。我们只需从 K 对 K ′拍个“快照”，就能看到由 K 观察 x 轴上的诸点的模样，这意味 t （ K 的时间） 的一个特别值的引进，例如 t ＝0，对于 t 的值，我们从（5）的第一个方程就得到

x ′= ax

因此， x 轴上两点间的距离为 x ′=1，这是我们在 K ′坐标系中测量到的，该两点在我们的瞬间快照中相隔的距离是

但是如果从 K ′ （ t ′＝0） 拍取瞬间快照，而且从方程（5）消去 t 考虑的表示式（6），我们得到

由此得出，在 x 轴上相隔距离1（相对于 K ）的两点，在快照上将是距离

但是根据以上所述，这两个快照必须相等；因此（7）中的 x 必须等于（7a）中的 x ′，这样就得到

常数 a 和 b 由方程（6）和（7b）决定。在（5）中代入这两个常数的值，将得到本章 第十一节 所提出的第一个和第四个方程式：

因而我们得到了 x 轴上的洛伦兹变换。它满足条件

为将发生在 x 轴外面的也包括进去，我们把此结果加以推广。此项推广只保留方程（8a）并补充以下关系式

y ′＝ y

z ′＝ z （9）

这样，我们满足了无论对于坐标系 K 或者 K ′中的任意方向的光线在真空中速度不变的公设，证明如下。

我们假设时间 t ＝0时从 K 的原点发出一个光信号。这个光信号按照方程

传播，或者方程两边取平方，光信号依照方程

x 2 ＋ y 2 ＋ z 2 － c 2 t 2 ＝0　（10a）传播。

从 K ′去判断，光的传播定律与相对性公设要求所考虑的信号相结合，按照对应的公式

r ′= ct ′或者

x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 － c 2 t ′ 2 =0（10b）传播。

为了从方程（10a）中推出方程（10b），我们必须有

由于方程（8b）必须与 x 轴上的点对应成立，我们因而有 ＝1，很容易看出，对于 ＝1，洛伦兹变换确实满足由（8b）和（9）推出的（11a），因而（11a）也可由（8）和（9）推出。这样我们导出了洛伦兹变换。

由（8a）和（9）表示的洛伦兹变换还需要加以推广。很明显， K ′的轴是否与 K 的轴在空间中相互平行并不重要。同时， K ′相对于 K 的平移速度是否沿 x 轴的方向也不重要。通过简单考虑，我们能够证明通过两种变换建立起广义的洛伦兹变换，这两种变换就是狭义的洛伦兹变换和完全的空间变换。完全的空间变换与一个直角坐标系被一个指向其他方向的新的直角坐标系代换相当。

用数学方法来描述推广了的洛伦兹变换的特性：

推广了的洛伦兹变换就是用 x、y、z、t 的线性齐次函数来表示 x ′、 y ′、 z ′、 t ′，这种性质又必须使关系式被恒等满足。

换句话说：如果我们用 x、y、z、t 来代换在（11b）左侧的 x ′、 y ′、 z ′、 t ′，则（11b）的两边完全一致。

相关问题　什么是洛伦兹变换

洛伦兹变换是指在狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。

设两个惯性系为 S 系和 S ′系，它们相应的笛卡尔坐标轴彼此平行， S ′系相对于 S 系沿 x 方向运动，速度为 v ，且当 t = t ′=0时， S ′系与 S 系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间的洛伦兹变换为 x ′= γ （ x － v t ）， y ′= y ， z ′= z ， t ′= γ （ t － v x / c 2 ），式中 ； c 为真空中的光速。不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。

在相对论以前，洛伦兹从存在绝对静止以太的观念出发，考虑物体运动发生收缩的物质过程得出洛伦兹变换。在洛伦兹理论中，变换所引入的量仅仅看作是数学上的辅助手段，并不包含相对论的时空观。爱因斯坦与洛伦兹不同，以观察到的事实为依据，立足于两条基本原理：相对性原理和光速不变原理，着眼于修改运动、时间、空间等基本概念，重新导出洛伦兹变换，并赋予洛伦兹变换以崭新的物理内容。在狭义相对论中，洛伦兹变换是最基本的关系式，狭义相对论的运动学结论和时空性质，如同时性的相对性、长度收缩、时间延缓、速度变换公式、相对论多普勒效应等都可以从洛伦兹变换中直接得出。

相关问题　洛伦兹变换的基础

（1）运动方程是线性的；

（2）假定了时空的均匀性以及空间的各向同性。

在标准位形中，对于任意事件在 S 系中的时空坐标（ x，y，z，t ）及 S ′系中的对应坐标（ x ′， y ′， z ′， t ′），可以写下一组线性变换（其中有一些系数待定）：

对于任意 y 、 z ，如果 x = ut ，则 x ′=0，于是有

根据相对性原理，得

x = a 11 （－ u ）（ x ′＋ ut ′）　（3）

这意味着 t ′是 x 、 x ′的函数：

我们可以写下一组联立方程：

解得

与（3）式相结合，有 a = b 。至此，光速不变原理仍未使用。设在 t ＝ t ′＝0时，一球面电磁波离开原点 O 、 O ′且以速度 c 行进，则

将变换方程（5）式代入（8）式，再与（7）式联立求解，可以得到

我们知道两参考系相对静止（ u =0）时， x = x ′，所以上式应取正号。

完整的变换关系为

即洛伦兹变换。式（9.1）也可以用矩阵表示为

洛伦兹变换的物理本质：

第一，把伽利略变换式 x ′= x － u t （或 x ＝ x ′＋ u t ′）的等号右边乘上一个系数γ就得到洛伦兹坐标变换式： x ′=γ（ x － u t ）（或 x = γ （ x ′＋ u t ′）。再把洛伦兹坐标变换式 x ′= γ （ x － u t ）［或 x = γ （ x ′＋ u t ′）］的等号两边分别除以 c ，就得洛伦兹时间变换式： t ′= x ′/ c = γ （ x － u t ）/ c ＝ γ （ x / c － u t / c ）＝ γ （ t － u x / c 2 ）［或 t ＝ x / c = γ （ x ′＋ u t ′）/ c ＝ γ （ x ′/ c ＋ u t ′/ c ）= γ （ t ′＋ u x ′/ c 2 ）］。

第二，将 t = x / c 代入 x ′= γ （ x - u t ），可得 x ′= γ （ x － u x / c ）= γ x （ c － u ）/ c ，令 ，可得 x ′= x / k ；将 x = ct 代入 t ′= γ （ t － ux / c 2 ）可得 t ′= γ （ t － ut / c ）= γt （ c － u ）/ c = t / k 。

同样将 t ′= x ′/ c 代入 x = γ （ x ′+ ut ′），可得 x = γ （ x ′+ ux ′/ c ）= γx ′（ c + u ）/ c = kx ′；将 x ′= ct ′代入 t = γ （ t ′+ ux ′/ c 2 ）可得 t = γ （ t ′＋ ut ′/ c ）= γt ′（ c + u ）/ c = kt 。

对于光信号到达的 P 点来说，洛伦兹变换式可以简化为 x = ct ， x ′＝ ct ′， x / x ′= t / t ′= k 。

第三，洛伦兹变换式体现的不是长度收缩，而是长度膨胀。

在式 x ′＝ γ （ x － ut ）中， x ′是自 S ′系观察时 P 点与坐标原点 O ′的距离。自 S 系观察时这一距离（即 P 点与 O ′的距离）为 L 0 = x － ut ，若自 S ′系观察时 P 点与 O ′的距离为 L ，显然有 L = γL 0 。也就是长度膨胀。

同样在式 x = γ （ x ′＋ ut ′）中， x 是自 S 系观察时 p 点与坐标原点 o 的距离。自 S ′系观察时这一距离 （即 P 点与 O 的距离） 为 L 0 ＝ x ′＋ ut ′，若令自 S 系观察时 P 点与 O 的距离为 L ，显然有 L = γL 0 。

由此可知，长度膨胀是相互的。

第四，洛伦兹变换式中不光直接体现了长度膨胀，还直接体现了时间膨胀。分析如下：

在式 t ′= γ （ t － ux / c 2 ）中，将 x = ct 代入可得 t ′= γ （ t － ut / c ）= γ （ ct － ut ）/ c ，再将 ct = x 代入可得 t ′= γ （ x － ut ）/ c ，式中 x － ut 是自 S 系观察 O ′点与 P 点的距离，（ x － ut ）/ c 是自 S 系观察光信号由 O ′点到 P 点所用时间间隔，令这一时间间隔为Δ t ，则自 S ′系观察时这一时间间隔为Δ t ′= x ′/ c = t ′，显然有Δ t ′= γ Δ t ，也就是时间膨胀。

同样 t ′= γ （ t ′+ ux / c 2 ）中，将 x ′＝ ct ′代入可得 t = γ （ t ′+ ut ′/ c ）= γ （ ct + ut ′）/ c ，再将 ct ′＝ x ′代入可得 t = γ （ x ′+ ut ′）/ c ，式中 x ′+ ut ′是自 S ′系观察 O 点与 P 点的距离，（ x ′+ ut ′）/ c 是自 S ′系观察光信号由 O 点到 P 点所用时间间隔，令这一时间间隔为Δ t ，则自 S 系观察时这一时间间隔为Δ t ′= x / c = t ，显然有Δ t ′= γ Δ t 。

由此可知，时间膨胀也是相互的。

第五，相对论认为钟慢效应与尺缩效应对应，而我发现时间膨胀必对应长度膨胀。这一点从 x / x ′= t / t ′= k 也能看出来。下面具体分析：

设在 S 系的 x 轴上的有一根静止的刚性棒，棒的长度为 L 0 ，靠近坐标原点的一端为 A 端，另一端为 B 端，有一蚂蚁以速度 v = u 在棒上由 A 端爬向 B 端， S ′系以速度 u 相对于 S 系沿 x 轴正方向运动。

自 S 系观察蚂蚁由 A 端爬到 B 端用时Δ t = L 0 / v = L 0 / u ；

自 S ′系观察蚂蚁的速度为 v ′=（ v － u ）/［1－（ u v / c 2 ）］，将 v = u 代入可得 v ′=0，也就是说在 S ′系看来蚂蚁是静止的；而棒却以速度 u 沿 x ′轴负方向运动，自 S ′系观察棒的 B 端到达蚂蚁用时Δ t ′= L / u 。

1．若 L = L 0 / γ ，则Δ t ′=（ L 0 / γ ）/ u =（ L 0 /u）/ γ =Δ t / γ ，Δ t >Δ t ′，与钟慢效应矛盾。

2．若 L = γL 0 ，则Δ t ′= γL 0 / u ＝ γ Δ t ，Δ t <Δ t ′，与钟慢效应不矛盾。

注：钟慢效应即我系钟准，彼系钟慢。自 S ′系观察应有Δ t <Δ t ′。

总结：在洛伦兹理论中，变换所引入的量仅仅被看作是数学上的辅助手段，并不具有物理本质，看上去烦琐难记。爱因斯坦赋予了洛伦兹变换崭新的物理内容。借助 x = ct 和 x ′= ct ′，我们看到洛伦兹变换式本身已经包含了长度膨胀和时间膨胀，不用另行推导。长度膨胀和时间膨胀就是洛伦兹变换的物理本质。 efFrcH6ff40jYtErD7qm8gBGiPD7IxlYQW2KC6bOLxMM1I3GdPz4Ab4TvvSuw0wn