第三节
埃伦费斯特悖论（Ehrenfest paradox）：时空的扭曲

埃伦费斯特悖论是埃伦费斯特针对狭义相对论提出的一个思维实验。为了解决悖论，你会发现狭义相对论真的是不够用了，必须要引入广义相对论的基本假设才能解释。

这个悖论也大大启发了爱因斯坦去思考广义相对论的问题。

埃伦费斯特悖论

首先来复习一下最基本的几何知识。中学里都学过如何计算一个圆的周长，圆的周长等于圆的半径乘以2π，其中π是圆周率，是个无理数（irrational number），约等于3.1415926。

假设有一个圆盘，半径用字母r来表示。首先让圆盘高速旋转，速度快到什么程度呢？快到它边缘的旋转速度非常接近光速。

这个时候，假设爱因斯坦站在圆盘的中心，因为圆盘的中心并没有旋转，所以爱因斯坦是静止的。现在爱因斯坦要去观察两个物理量：一个是爱因斯坦正前方看到的圆盘边缘的一小段圆弧的长度，另一个是连接爱因斯坦和这一小段圆弧的半径。

根据之前介绍过的尺缩效应，由于这一小段圆弧的长度与圆盘边缘的旋转方向是一致的，爱因斯坦看到圆弧的长度会缩短。但是这条半径与圆盘边缘转动的方向是垂直的，所以尺缩效应不会作用在半径上，半径的长度不会缩短。

要知道，圆的周长是由一段段圆弧组成的，如果每一小段圆弧的长度都缩短了，圆整体的周长也会跟着缩短。那么问题来了，圆的周长是2π乘以半径，换句话说，周长和半径成正比。但是很明显，在这种情况下，圆的半径没有变，周长却变短了，于是就出现了矛盾。

圆盘的周长到底变还是不变？这就是埃伦费斯特悖论的核心。

欧几里得几何（Euclidean geometry）的破溃

这个悖论要如何解释呢？跟上一节的结论类似：在这个悖论的情况下，狭义相对论并不适用。

一定要反复强调，狭义相对论的适用情况是匀速直线运动，是没有加速度的情况。但是这个悖论里的圆周运动并不是匀速直线运动，圆盘在转圈时有向心加速度（centripetal acceleration）。

如果我们看圆盘边缘的每一个点，它们确实在以固定的速率绕圆心转动。但是在转动的过程中，虽然速度大小是不变的，方向却一直在改变，所以圆盘上的点并不是在做匀速直线运动。

既然在这个悖论里狭义相对论不适用，就要用广义相对论来解决问题。广义相对论的一个重要观点是： 时空是可以发生扭曲的 。

先来说说什么叫平坦的时空（flatspacetime）。我们上中学都学过几何，中学学的几何是欧几里得几何。欧几里得几何里有一个基本假设，或者说公理，就是两条平行线永不相交，或者说两条平行线只在无穷远处相交。然而这个公理只在平坦的平面上才成立。如果是在一个不平坦的平面，或者说一个曲面上，它就不成立了。

举个简单的例子，我们在一张平坦的纸上画一个正方形或者长方形，它的四个角都是直角，且两组对边分别平行。也就是说在一个平面上，如果用一条线把两条线连起来，并且这条线跟两条线的交角都是直角的话，就能判断出这两条线是平行线，它们永远不会相交。

但这个判断标准在曲面上就不成立了，比方说地球的表面。我们知道，地球上任意两条经线在南极和北极会汇聚到一点，但是在地球上的其他地方都不会相交。如果我们在两条经线中间找到一条纬线，这条纬线与这两条经线的交角一定都是90°。因此在一个球面上，只看局部关系的话，可以说这两条经线是平行的，但它们显然不是永远不相交的，而是会在南北两极汇聚。

这种研究曲面的几何，就不是欧几里得几何了，而是黎曼几何（Riemannian geometry）。黎曼（Riemann）是19世纪最伟大的数学家之一，广义相对论就是建立在黎曼几何的基础上的。

但是要知道，一个圆的周长等于2π乘以半径的结论，是在欧几里得几何里才成立的。在空间不平坦的情况下，欧几里得几何不成立。

这样我们就知道如何粗略地解释这个悖论了：首先由于整个圆盘并非在做匀速直线运动，所以狭义相对论不适用，要用到广义相对论；广义相对论的核心概念是扭曲的时空， 时空扭曲（distortion ofspacetime）之后，就不能用欧几里得几何的结论去算圆的周长了 。

因此，在这个悖论的设置中，圆的周长确实缩短了，但是圆周的半径并没有变化，这并不构成矛盾，只因为周长等于2π乘以半径是在欧几里得平坦空间的情况才成立，如果是满足非欧几何的空间，并没必要满足这个简单的几何关系。 EAMKeVjVJSqfHqxqVEUvhX2EBakB8RbxkCVwenBgIO0+6WMo807JjbWZRJzNw0Vj