命题I.32

延长三角形的任意一边所形成的外角，等于不相邻两个内角的和，三个内角的和等于180°。

设：延长三角形 ABC 的 BC 边至 D 。

求证：外∠ ACD 等于两个内角∠ CAB 与∠ ABC 的和，且三个内角∠ ABC 、∠ BCA 、∠ CAB 的和等于180°。

令：通过 C 点作线段 CΕ ，使之平行于 AB （命题I.31） 。

因为： AB 平行于 CΕ ，且与 AC 相交，形成内错角∠ BAC 、∠ ACΕ ，两角相等 （命题I.29） 。

又，因为 AB 平行于 CΕ ，线段 BD 与之相交，∠ ΕCD 等于同位角∠ ABC （命题I.29） 。

而∠ ACΕ 也能被证明等于∠ BAC 。所以：大角∠ ACD 等于两个内角∠ BAC 与∠ ABC 的和。

令∠ ACB 与各角相加，于是：∠ ACD 、∠ ACB 的和等于∠ ABC 、∠ BCA 、∠ CAB 的和。

而∠ ACD 、∠ ACB 的和等于180° （命题I.13） ；

所以：∠ ABC 、∠ BCA 、∠ CAB 的和也等于180°。

所以：延长三角形的任意一边所形成的外角，等于不相邻两个内角的和，三个内角的和等于180°。

证完

注解