一条直线与两条直线相交,如果所形成的同位角相等,那么这两条直线是平行线;如果同旁内角互补,两条直线也平行。
设:直线 ΕF 与直线 AB、CD 相交,所形成的∠ ΕGB 等于∠ GHD ,或者在同旁的内角∠ BGH 、∠ GHD 互补。
求证: AB 与 CD 平行。
因为:∠ ΕGB 等于∠ GHD ,同时∠ ΕGB 等于∠ AGH (命题I.15) 。∠ AGH 也等于∠ GHD ,且它们是内错角,所以: AB 平行于 CD (命题I.27) 。
又,因为∠ BGH 、∠ GHD 的和等于两个直角,∠ AGH 、∠ BGH 的和也等于两个直角 (命题I.13) ,∠ AGH 、∠ BGH 的和等于∠ BGH 、∠ GHD 的和。
从各角中减去∠ BGH ,于是:∠ AGH 等于∠ GHD ,且它们是内错角。
所以: AB 平行于 CD (命题I.27) 。
所以:一条直线与两条直线相交,如果所形成的同位角相等,那么这两条直线是平行线;如果同旁内角互补,两条直线也平行。
证完
本命题陈述的是前一命题的两个次要变量。
本命题应用在命题IV.7、VI.4中,在卷11中也有两次应用。