命题I.26

两个三角形如有两个角和一条边对应相等，那么其余的对应边和角都相等。

设：三角形 ABC 、三角形 DΕF 有两个角和一条边相等，∠ ABC 、∠ BCA 分别与∠ DΕF 、∠ ΕFD 对应相等。一条对应边相等，即 BC 等于 ΕF 。

求证：其余的对应边和角都相等，即 AB 等于 DΕ，AC 等于 DF ，∠ BAC 等于∠ ΕDF 。

假设： AB 不等于 DΕ ，其中一个比另一个大。假定 AB 大于 DΕ，BG 等于 DΕ ；连接 GC 。

那么，既然 BG 等于 DΕ，BC 等于 ΕF，GB、BC 分别等于对应的 DΕ、ΕF ；∠ GBC 等于∠ DΕF ；于是：底边 GC 等于底边 DF ，三角形 GBC 全等于三角形 DΕF ，剩余的角亦相等，即与等边对应的角相等 （命题I.4） 。

于是：∠ GCB 等于∠ DFΕ ，而∠ DFΕ 被假设等于∠ BCA 。

所以：∠ BCG 等于∠ BCA ，即大角等于小角，故不能成立。

所以： AB 与 DΕ 是相等的。

又： BC 也等于 ΕF 。所以： AB、BC 分别等于对应边 DΕ、ΕF ，∠ ABC 等于∠ DΕF 。

所以： AC 等于 DF ，∠ BAC 等于∠ ΕDF （命题I.4） 。

又，斜边相等角相等，如 AB 等于 DΕ 。求证：余下的边也对应相等，即 AC 等于 DF，BC 等于 ΕF ，余下的∠ BAC 等于余下的∠ ΕDF 。

假定：如果 BC 不等于 ΕF ，其中一个比另一个大。

设： BC 更大，如果可能，使 BH 等于 ΕF ；连接 AH 。

那么，既然 BH 等于 ΕF，AB 等于 DΕ，AB、BH 于是分别等于对应边 DΕ、ΕF ，并包含相等的角，于是： AH 便等于 DF ，三角形 ABH 便全等于三角形 DΕF ，余下的对应边所对应的角便互相相等 （命题I.4） 。所以：∠ BHA 等于∠ ΕFD 。

而∠ ΕFD 等于∠ BCA ，所以：在三角形 AHC 中，外角∠ BHA 等于∠ BCA 。而这是不可能的 （命题I.16） 。所以： BC 等于 ΕF ，而 AB 也等于 DΕ 。所以： AB、BC 分别等于对应的 DΕ、ΕF ，并包含相等的角。

所以：底边 AC 等于底边 DF ，三角形 ABC 全等于三角形 DΕF ，角∠ BAC 等于角∠ ΕDF （命题I.4） 。

所以：两个三角形如有两个角和一条边对应相等，那么其余的对应边和角都相等。

证完

注解