命题I.24

两个三角形有两条对应边相等，其中一个三角形的对应的夹角大于另一个三角形的夹角，那么，这个三角形的第三边也大于另一个的第三边。

设： ABC、DΕF 为两个三角形，其中 AB、AC 分别等于对应边 DΕ、DF ，则 AB 等于 DΕ，AC 等于 DF 。令∠ A 大于∠ D 。

求证： BC 也大于 ΕF 。

因为：∠ BAC 大于∠ ΕDF ，在 DΕ 线段的 D 点上作∠ ΕDG ，使之等于∠ BAC （命题I.23） 。

令： DG 既等于 AC 又等于 DF ，连接 ΕG、FG 。

那么： AB 等于 DΕ，AC 等于 DG，BA、AC 分别等于对应边 ΕD、DG ；∠ BAC 等于∠ ΕDG 。所以： BC 等于 ΕG （命题I.4） 。

又，因为 DF 等于 DG ，∠ DGF 也就等于∠ DFG （命题I.5） 。所以：∠ DFG 大于∠ ΕGF 。

所以：∠ ΕFG 大于∠ ΕGF 。

因为： ΕFG 是个包含有∠ ΕFG 的三角形，且∠ ΕFG 大于∠ ΕGF 。较大的角所对应的边也较大 （命题I.19） ，所以：边 ΕG 就大于 ΕF 。又： ΕG 等于 BC 。

所以： BC 也大于 ΕF 。

所以：两个三角形有两条对应边相等，其中一个三角形的对应的夹角大于另一个三角形的夹角，那么，这个三角形的第三边也大于另一个的第三边。

证完

注解