命题I.14

两条不在一边的射线过任意直线上的一点，所构成的邻角若等于两个直角的和（平角），那么这两条射线构成一条直线。

设： AB 为任意射线， B 是射线的端点，两条射线 BC、BD 不在一边，构成邻角∠ ABC 、∠ ABD ，其和为两个直角 （平角） 。

求证： BD 与 CB 在同一条直线上。

假设： BD 与 BC 不在同一直线上，而 BΕ 才与 CB 在同一直线上。

因为：射线 AB 位于直线 CBΕ 上。

那么：∠ ABC 、∠ ABΕ 的和就等于两个直角 （命题I.13） ，而∠ ABC 、∠ ABD 的和也等于两个直角；于是∠ CBA 、∠ ABΕ 的和也就等于∠ CBA 、∠ ABD 的和 （公设I.4及公理I.1） 。

设：从各角中减去∠ CBA 。

那么：剩余∠ ABΕ 等于剩余∠ ABD （公理I.3） ，小角等于大角。

所以：假设不能成立。 BΕ 与 CB 不在同一条直线上。

同理可证：除了 BD 以外，也没有别的线。

所以： CB 与 BD 在同一直线上。

所以：两条不在一边的射线过任意直线上的一点，所构成的邻角若等于两个直角的和 （平角） ，那么这两条射线构成一条直线。

证完

注解