命题I.13

两条直线相交，邻角是两个直角或者相加等于180°。

设：在直线 CD 上的任意一条射线 BA ，形成∠ CBA 及∠ ABD 。

求证：∠ CBA 、∠ ABD 要么是两个直角，要么互补。

如果∠ CBA 等于∠ ABD ，那么它们一定是两个直角 （定义I.10） 。

如果不是，从 B 点作 BΕ ，使之垂直于 CD （命题I.11） ，那么∠ CBΕ 、∠ ΕBD 是两个直角。

那么既然∠ CBΕ 等于∠ CBA 加∠ ABΕ 的和，那么∠ CBΕ 、∠ ΕBD 的和也等于∠ CBA 、∠ ABΕ 、∠ ΕBD 的和 （公理I.2） 。

又，既然∠ DBA 等于∠ DBΕ 、∠ ΕBA 的和。

那么：∠ DBA 、∠ ABC 的和等于∠ DBΕ 、∠ ΕBA 、∠ ABC 的和 （公理I.2） 。

同理可证：∠ CBΕ 、∠ ΕBD 的和也等于同样三个角的和，等于同量的量彼此相等 （公理I.1） 。

所以：∠ CBΕ 、∠ ΕBD 的和也等于∠ DBA 、∠ ABC 的和。

且∠ CBΕ 、∠ ΕBD 的和为两直角，所以∠ DBA 、∠ ABC 的和亦为180°。

所以：两条直线相交，邻角是两个直角或者相加等于180°。

证完

注解