命题I.12

经过直线外的一点可以向直线作垂线。

设： AB 为已知直线， C 点为给定的点。

求作： C 点可以向 AB 作垂线。

在直线的另一边任取一点 D ，以 C 为圆心， CD 为半径作圆 ΕFG （公设I.3） 。

AB 与圆 C 交于 G、Ε ，作 GΕ 的中点 H （命题I.10） ，连接 CG、CH、CΕ （公设I.1） 。

那么我说： CH 便是 C 点向线段 AB 作的垂线。

因为： GH 等于 HΕ，HC 是公共边， GH、HC 分别等于对应边 ΕH、HC ；底边 CG 等于底边 CΕ 。

所以：∠ CHG 等于∠ ΕHC （命题I.8） ，且它们为相邻角。

当一条线与另一条线相交形成邻角时，两角相等，皆为直角。这条线被称为另一条线的垂线 （定义I.10） 。

所以： CH 是从 C 点向 AB 线引的垂线。

所以：经过直线外的一点可以向直线作垂线。

证完 jy9Mi6AcJW/ORbGAHR/gDLaHaCCXU2GeDxgU9fZ8Qd6SGkL4OWg6p8pUteiHSmMQ