命题I.11

过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线。

设： AB 是已知直线， C 为直线上的点。

求作：从 C 点作一条直线垂直于 AB 。

令：在 AC 上任取一点 D，CB 上任取一点 Ε ，并让 CD 等于 CΕ （命题I.3） 。

在 DΕ 上作等边三角形 FDΕ （命题I.1） 。连接 FC 。

那么我说： FC 就是直线 AB 在 C 点上的垂线。

因为 DC 等于 CΕ，CF 是公共边，边 DC、CF 分别与边 ΕC、CF 对应且相等；底边 DF 与底边 FΕ 相等；故三角形 DCF 全等于三角形 ΕCF （命题I.8） ，∠ DCF 与∠ ΕCF 互为邻角。

如果一条线段在另一条线段所形成的邻角相等，那么两角皆为直角 （定义I.10） 。所以：∠ DCF 、∠ FCΕ 皆为直角。

所以：线段 CF 垂直于线段 AB ，并在 C 点上平分。

所以：过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线。

证完

注解