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一个角可以切分成两个相等的角。
设：已知∠ BAC ，要求二等分这个角。
在 AB 边上任取一点 D ，在 AC 边上取一点 Ε ，使 AΕ ＝ AD （命题I.3） ，连接 DΕ ，以 DΕ 为一边作等边三角形 DΕF ，连接 AF 。
求证：∠ BAC 被射线 AF 平分。
因为， AD 等于 AΕ，AF 为公共边，那么： DA、AF 分别对应 ΕA、AF 并相等。
边 DF 等于边 ΕF ；于是∠ DAF 等于∠ ΕAF （命题I.8） 。
所以：∠ BAC 被射线 AF 平分。
所以：一个角可以切分成两个相等的角。
证完
四面体小行星
这颗小行星是一个正四面体，呈现在我们眼前的是它的其中两个表面。可以看到几乎每一寸土地都得到利用，上面密布了房屋、高塔、桥梁、台阶、花木、人工湖泊和小船；除了形状不同外，其余的情况和地球几乎毫无二致。在作此画时，埃舍尔将两幅草稿拼贴在一起，在面与面的接合处尽量画成直角，以反映四面体的棱线。埃舍尔从事物的数学特性中发掘美，创造出空前绝后的奇妙之作。
构图步骤
当用圆规和直尺构造这一图形时，要求作出三个圆和一个最后的切分线。其中一个圆以 A 点为圆心、 AD 为半径，以决定点 Ε 。另外的两个圆分别以 D 和 Ε 为圆心并以 DΕ 为公共半径。等边三角形在这里实际上是不需要的。
角的三等分
使用欧几里得的直尺和圆规，二等分一个角是容易的，二等分线段也是容易的（ 参见命题I.10 ），将线段分成任意数量的相等部分也不那么困难（ 参见命题I.9 ），但是将一个角分成相等的奇数部分，就不容易了。事实上，使用欧几里得的工具，就不可能把一个60°的角三等分。欧几里得之前的数学家们为此使用了各种各样的方法，但未成功；欧几里得以后的阿基米德创造了螺旋线，才能将角划分成任意部分，三等分角也就成为可能。人们相信使用欧几里得工具根本就不可能三等分角，但直到1833年，这一疑惑才被数学家旺泽尔所证明。
命题的应用
这一命题被利用在下一命题中，也用在卷4、6、13的数个命题中。
一条线段可以被分成两条相等的线段。
设： AB 为一线段。
求作：平分为两条相等的线段。
作等边三角形 ABC （命题I.1） ，使其∠ ACB 被 CD 线平分 （命题I.9） 。
那么： D 点就是线段 AB 的平分点。
既然 AC 等于 CB，CD 是公共边， AC、CD 两条边分别与 BC、CD 两条边对应相等，∠ ACD 等于∠ BCD ，于是，边 AD 等于边 BD （命题I.4） 。
所以：线段 AB 被 D 点平分。
所以：一条线段可以被分成两条相等的线段。
证完
本命题陈述将线段分成两个相等的部分。
它被利用在本卷的I.12、I.16、I.42中，也被利用在卷2、3、4、10、13的数个命题中。
过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线。
设： AB 是已知直线， C 为直线上的点。
求作：从 C 点作一条直线垂直于 AB 。
令：在 AC 上任取一点 D，CB 上任取一点 Ε ，并让 CD 等于 CΕ （命题I.3） 。
在 DΕ 上作等边三角形 FDΕ （命题I.1） 。连接 FC 。
那么我说： FC 就是直线 AB 在 C 点上的垂线。
因为 DC 等于 CΕ，CF 是公共边，边 DC、CF 分别与边 ΕC、CF 对应且相等；底边 DF 与底边 FΕ 相等；故三角形 DCF 全等于三角形 ΕCF （命题I.8） ，∠ DCF 与∠ ΕCF 互为邻角。
如果一条线段在另一条线段所形成的邻角相等，那么两角皆为直角 （定义I.10） 。所以：∠ DCF 、∠ FCΕ 皆为直角。
所以：线段 CF 垂直于线段 AB ，并在 C 点上平分。
所以：过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线。
证完
这一命题和下一命题陈述垂线，一个给定的（已知的）点向给定的线作垂线。在本命题中，给定的点在直线上，而在下一命题中，是不同的情形。
本命题被利用在本卷的I.13、I.46、I.48中，也用在卷2、3、4、6、11、12、13的数个命题中。