命题I.4

如果三角形的两条对应边及夹角相等，那么其第三边亦相等，两个三角形亦全等，其余的两对应角亦相等。

设：作三角形 ABC 、三角形 DΕF ，使其 AB ＝ DΕ、AC ＝ DF，AB 是 DΕ 的对应边， AC 是 DF 的对应边，∠ BAC 等于∠ ΕDF 。

求证：边 BC 等于边 ΕF ，三角形 ABC 全等于三角形 DΕF ，相应的角亦相等，即∠ ABC 等于∠ DΕF ，∠ ACB 等于∠ DFΕ 。

因为 AB ＝ DΕ ，假定三角形 ABC 与三角形 DΕF 不全等，置 A 点于 D 点上， AB 线于 DΕ 线上， B 点就同 Ε 点重合；

又，因为∠ BAC 等于∠ ΕDF ，于是 AB 与 DΕ 相等， AC 与 DF 相等；于是点 C 与点 F 必然重合，因为 AC 也等于 DF 。

另外： B 与 Ε 重合，于是底边 BC 与底边 ΕF 相等。

假定：当 B 替换 Ε、C 替换 F 时，底边 BC 不等于底边 ΕF ，两条线段就要形成一个空间，这是不可能的。所以底边 BC 与底边 ΕF 重合并相等 （公理I.4） 。

所以：三角形 ABC 与三角形 DΕF 重合并全等，其余对应角重合并相等，∠ ABC 对应∠ DΕF ，∠ ACB 对应∠ DFΕ 。

所以：如果三角形的两条对应边及夹角相等，那么其第三边亦相等，两个三角形亦全等，其余的两对应角亦相等。

证完

注解