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如果你在一个封闭的玻璃容器的下半部分中填充由小液滴组成的雾，你会发现雾的上边界会缓缓地下沉，其速度非常明确，取决于空气的黏滞系数、液滴的大小和受到的引力。但是如果你用显微镜观察其中一个小液滴，就会发现它并不是以恒定的速率持续下沉的，而是呈现出一种无规则的运动，也就是所谓的布朗运动，只有从总体上来看的时候，小液滴的运动才是稳定地下沉。
图2 沉降的雾
这个例子当中我们讨论的小液滴已经不是原子了，但是它们也足够小和轻，不会完全不受不断撞击其表面的单个分子的影响。它们就这样被撞来撞去，只是整体来看是在引力作用下进行下沉运动。
图3 下沉微滴的布朗运动
这个例子证明了，如果几个分子也能影响人类的感官，我们将会有多么有趣而混乱的体验。细菌和一些其他生物非常小，这种现象对它们的影响非常大。它们的运动取决于周围介质谜一样的热力学运动，但它们别无选择。如果它们自身有运动能力，它们也许能从一个地方到另一个地方，但也要费一些周折，因为热运动的冲击会让它们像一叶漂浮在汹涌海面上的小舟。
另一种和布朗运动有些相似的现象叫作扩散。假设一个容器中装满了一种液体，比如水，里面溶解了少量有色物质，比如高锰酸钾。但是溶质的浓度并不均匀，而是如图4所示，其中的点表示溶质（高锰酸钾）分子，浓度从左到右逐渐降低。如果你让这个系统静置，其中就会发生非常缓慢的“扩散”过程，高锰酸钾就会从左向右发散，也就是从浓度高的地方向浓度低的地方运动，直到均匀地分布于水中。
图4 在浓度不均匀的溶液中，从左到右扩散
这个过程非常简单，表面看上去也不是特别有趣，但值得注意的是，有的人可能会觉得存在某种趋势或作用力让高锰酸钾分子从浓度高的地方向浓度低的地方移动，就像一个国家中的人口会向地广人稀的地方迁徙，但事实上并非如此。高锰酸钾周围并不存在这样的趋势或作用力。每个分子的行为和其他分子都是相对独立的，与其他分子也很难产生碰撞。无论是在浓度高的地方还是浓度低的地方，每个分子都注定要在水分子的不断撞击下被推来推去，并且因此朝着无法预测的方向缓缓移动，有时候会向浓度更高的地方移动，有时候则会向浓度更低的地方移动，有时候则是兜兜转转。分子进行的这种运动往往会被比作被蒙上双眼在广阔地面上移动的人，这个人有某种“行走”的欲望，但是没有特定的方向，所以会不断改变自己的路线。
所有高锰酸钾分子都在随机行走，但整体上还是由浓度高的区域向浓度低的区域移动，最终整个溶液的浓度都达到均匀状态，乍看起来这有点令人费解，不过这也只是乍看之下的感觉而已。如果你把图4想象成是由无数片非常薄的溶液组成的，其中每片溶液内浓度都是近似一致的，某个时刻包含在一片特定溶液当中的高锰酸钾分子在进行随机运动的时候，向左和向右运动的概率是相同的。但正是因为这样，对于一个相邻两片溶液的平面来说，从右向左运动的分子数量比相反运动方向的更多，因为与右边的溶液相比，左边溶液当中有更多分子进行随机运动。而且只要这种情况一直存在，整体来看溶质就会有规律地从左向右运动，直到两侧达到相同浓度后，向左和向右移动的分子数量才会达到平衡。如果我们把这种思维推导整理成数学语言，就能得到扩散定律的偏微分形式的方程：
我不会在此解释这个方程的意义，给读者增添负担，不过方程的意义用通俗语言来解释非常简单。我在这里专门提到这一严格的“数学上精确”的定律，是为了强调其物理学上的精确性在每一个具体应用当中仍然会面临挑战。这一定律纯粹建立在概率之上，只是近似正确。如果说它是一条非常好的近似规律，那只是因为参与这一现象形成的分子数量无比巨大。分子数量越少，我们就会看到更多意外的偏差，在适合的条件下，我们能够观察到这些偏差。