2.1 线性电阻网络等效变换

2.1.1 电阻的串联、并联和混联及其等效变换

1.电阻的串联电路及其等效变换

多个电阻串联电路可以用一个电阻 R 来代替。电阻串联电路及其等效变换电路如图2-1所示。在图2-1a中，假定有 n 个电阻 R ₁ ， R ₂ ，…， R _n 顺序相接，其中没有分支，称为 n 个电阻串联， U 代表总电压， I 代表电流。此电路具有的特点是，通过每个电阻的电流相同。

a）串联电路 b）等效变换电路

根据基尔霍夫电压定律KVL，有

U=U ₁ +U ₂ + … +U _n =R ₁ I+R ₂ I+ … +R _n I= （ R ₁ +R ₂ + … +R _n ） I=RI

其中等效电阻

上式表明，电阻串联的等效电阻等于相串联的各电阻之和。显然，等效电阻必然大于任一个串联的电阻，等效电路如图2-1b所示。

各串联电阻的电压与电阻值成正比，即

功率为

p=UI= （ R ₁ +R ₂ + … +R _n ） I ² =RI ²

n 个串联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻所吸收的功率。

若当 n =2（即两个电阻的串联）时，则两个电阻的端电压分别为

从式（2-1）不难看出， U ₁ 、 U ₂ 是总电压 U 的一部分，且 U ₁ 、 U ₂ 分别与阻值 R ₁ 、 R ₂ 成正比，即电阻值大者分得的电压大，这就是电阻串联时的分压作用。

串联电阻的分压作用在实际电路中有广泛应用，如电压表扩大量程、作为分压器使用、直流电机的串电阻起动等。

2.电阻的并联电路及其等效变换

多个电阻并联电路可以用一个电阻 R 来代替。电阻的并联电路及其等效变换电路如图2-2所示。在图2-2a中，假定有 n 个电阻 R ₁ ， R ₂ ，…， R _n 并排连接，承受相同的电压，称为 n 个电阻并联， I 代表总电流， U 代表电压。根据基尔霍夫电流定律KCL，有

a）并联电路 b）等效变换电路

显然， R < R _k ，等效电阻小于任一并联电阻。等效电路如图2-2b所示。当电阻并联时，各电阻流过的电流与电阻值成反比

功率为

n 个并联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻所吸收的功率。

若当 n =2（即两个电阻并联）时，则两个电阻并联时求分流的计算公式为

从式（2-2）不难看出，电阻并联时各自的电流与各自的电阻值成反比，即电阻值小者分得的电流大。要注意，式（2-2）只适合两个电阻并联的情况，不适合3个或3个以上电阻并联的情况。

3.电阻的混联电路及其等效变换

既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路。分析混联电路的关键问题是如何判别串、并联，这是初学者感到较难掌握的地方。判别混联电路的串、并联关系一般应掌握以下3点。

1）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相联，则是串联；若是首首尾尾相联，则是并联。

2）看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一个电流，则是串联；若两电阻上承受的是同一个电压，则是并联。

3）对电路进行变形等效。即对电路作扭动变形，如左边的支路可以扭到右边，上面的支路可以翻到下面，弯曲的支路可以拉直等；对电路中的短路线可以任意压缩与伸长；对多点接地点可以用短路线相联。这点是针对纵横交错的复杂电路非常有效的。一般情况下，电阻串、并联电路的问题都可以用这种方法来判别。

【例2-1】 求图2-3a所示电路 ab 端的等效电阻。

解 ： 将短路线压缩， c 、 d 、 e 3个点合为一点，如图2-3b所示。再将能看出串、并联关系的电阻用其等效电阻代替，如图2-3c所示，由图2-3c就可方便地求得

R _eq =R _ab =[（2+2）∥4+1]∥3=1.5Ω

这里，“∥”表示两元件并联，其运算规律遵守该类元件的并联公式。

2.1.2 电阻星形联结和三角形联结

电阻的连接形式除串联、并联和混联外，还有既不是串联又不是并联的形式，常称之为Y-△联结结构，Y-△联结结构电路图如图2-4所示。显然不能用电阻串、并联的方法求图2-4a中12端的等效电阻。如果能将图2-4a等效为图2-4b，即用图2-4b中点划线围起来的C电路代换图2-4a中点划线围起来的B电路，那么从图2-4b就可以用串并联方法求得12端的等效电阻，给电路问题的分析带来方便。由图2-4a等效为图2-4b就应用到星形电路与三角形电路的互换等效。

a）星形联结 b）三角形联结

1.Y-△等效变换

所谓Y电路等效变换为△电路，就是已知Y电路中3个电阻 R ₁ 、 R ₂ 、 R ₃ ，通过变换公式求出△电路中的3个电阻 R ₁₂ 、 R ₁₃ 、 R ₂₃ ，将之接成△去代换Y电路的3个电阻，从而完成Y互换等效变换为△的任务。

由图2-4所示，经分析得到（推导略去）Y△等效变换的变换公式为

观察式（2-3），也可看出规律，即△电路中连接某两端钮的电阻等于Y电路中3个电阻两两乘积之和除以与第三个端钮相连的电阻。在特殊情况下，若Y电路中3个电阻相等，即 R ₁ =R ₂ =R ₃ =R _Y ，显然，等效互换的△电路中3个电阻也相等，由式（2-3）不难得到 R ₁₂ =R ₂₃ =R ₁₃ =R △=3 R _Y 。

2.△-Y等效变换

所谓△电路等效变换为Y电路，就是已知△电路中3个电阻 R ₁₂ 、 R ₁₃ 、 R ₂₃ ，通过变换公式求出Y电路中的3个电阻 R ₁ 、 R ₂ 、 R ₃ ，将之接成Y去代换△电路中的3个电阻，从而完成△电路等效变换为Y电路的任务。

由图2-4所示，经分析得到（推导略去）△Y等效变换的变换公式为

观察式（2-4），可以看出这样的规律，即Y电路中与端钮 i （ i =1，2，3）相联的电阻 R _i 等于△电路中与端钮 i 相连的两电阻乘积除以△电路中3个电阻之和。在特殊情况下，若△电路中3个电阻相等，即 R ₁₂ =R ₂₃ =R ₁₃ =R △，显然，等效互换的Y电路中3个电阻也相等，则由式（2-4）不难得到

【例2-2】 试求图2-5所示电路的电压 U ₁ 。

解 ： 应用△、Y互换将图2-5a等效为图2-5b，再应用电阻串并联等效求得等效电阻 R _ab =3+（3+9）∥（3+3）=7Ω，则电流

由分流公式计算，得 Smk3+sjSNyr4R3dgoCLM764sgSImQlBuIbkUZBn5ieoUP8IRlDFOBh2ALWxPzG98