第二章
自然数和人工数

一、最基础的数学

数学经常被人们誉为科学的皇后，数学家们尤其喜欢这样说。既然贵为皇后，当然不能自降身价，与其他知识分支攀扯不清。在一次“基础数学与应用数学联席大会”上，为了消除两种数学家间的敌意，希尔伯特曾应邀作一次公开演讲。当时，他是这样说的：

经常有人说，基础数学和应用数学是相互对立的。然而，这并不是事实。不管是过去，还是未来，这两者其实都不曾对立过。为什么这样说呢？因为它们之间毫无共同之处，这也就注定了它们对立不起来。

可是，数学虽然想保持纯粹，并竭尽所能地不与其他科学扯上关系，但其他科学一直以来却总是极力与它“亲近”，特别是物理学。现在，基础数学的每一个分支，包括像抽象群理论、非交换代数和非欧几里得几何这样的，一直被认为是最纯粹、不可能被应用的学科，几乎都可以被用来解释物理世界的这个特征或那个特征。

不过，到目前为止，有一个巨大的数学分支成功地保住了自己的“纯粹”，除了被用来做一些脑力训练外，它几乎没有什么用。这个被誉为“纯粹王者”的数学分支，就是基础数学思想中最古老、最繁杂的产物之一 ——“数论”（这里是指整数）。

可是，数论虽然是一种最纯粹的数学，但从某种角度来说，它又可以被称为一种经验科学，甚至也可以称为一种实验科学。不得不说，这确实是一件奇怪的事。之所以会这样，是因为数论命题的建立，绝大部分都和尝试用数字做某些事情有关，就好像物理学定律的提出与尝试用物体做不同的事情有关一样。除此之外，数论和物理学还有一点十分相似，那就是“在数学上”，数论虽然有一部分命题得到了证明，但还有另一部分命题仍然停留在经验阶段，并且直到今天，依旧令最优秀的数学家们殚精竭虑。

为了说明这一点，我们用质数问题来举个例子。何为质数？即无法用两个或两个以上更小整数的乘积来表示的数，比如2、3、5、7、11、13、17等，都是质数。反过来，12就不是质数，因为它可以写成2×2×3。

那究竟有多少个质数呢？这个数量是无穷无尽的吗？还是说存在着一个最大的质数，但凡一个数比这个最大的质数还要大，那它就可以用几个已有质数的乘积来表示？第一个解决这个问题的人是欧几里得（Euclid），他轻而易举地就证明了，质数的个数没有极限，所谓的“最大质数”根本不存在。

为了研究这个问题，我们先假设已经知道的质数其个数是有限的，并用字母 N 来表示其中最大的那个。现在，我们将所有已知的质数相乘并加1，将它写成（1×2×3×5×7×11×13×…× N ）+1。然后就会发现，与所谓的“最大质数” N 相比，这个数显然要大得多，而且从这个数的结构上来看，无论我们用这些质数中的哪一个来除它，最后都会剩下一个1。也就是说，不管是哪一个质数（到 N 为止，包括 N ），都不可能将它除尽。

由此可以推断，这个数很可能本身就是一个质数，如果不是，那它就必定能被一个比 N 更大的质数整除。可是，当初我们假设条件时就已经说了， N 才是最大的质数，刚才提到的两种情况显然都与这一点相矛盾。

这种证明方法就是数学家们最喜欢用的归谬法。

既然知道了质数的个数是无限的，那我们难免想知道是否有办法将所有质数全部写出来。针对这个问题，古希腊哲学家和数学家厄拉多塞（Eratosthenes）想到了一种被称为“过筛”的方法。应用这种方法时，我们要先写出完整的自然数列，即1，2，3，4…，然后将2的倍数、3的倍数、5的倍数等全部删掉。图9显示的就是厄拉多塞在使用“过筛”法，他对前100个数进行过筛，最后剩下26个质数。这种方法虽然简单，但却有大用。事实上，我们已经利用这种方法制作出了10亿以内的质数表。

如果能设计出一个可以快速自动推算出所有质数且只推算质数的公式，那就太好了。可令人惋惜的是，虽然几个世纪以来，人们一直在坚持不懈地努力，但却始终没有找到这样的公式。法国著名数学家费马（Fermat）在1640年时曾宣称，他已经设计出了一个只产生质数的公式，即2 ²ⁿ +1——其中 n 取自然数的值，如1、2、3、4等。

我们通过这个公式可以得到：

+ 1 = 5,

+ 1 = 17,

+ 1 = 257,

+ 1 = 65537。

这几个数无一例外，确实都是质数。可是后来，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler）却对这个公式提出了质疑，当时距离费马宣布发现这个公式大概已经过去了一个世纪。欧拉用事实证明了费马的公式是错误的，因为按这个公式推导出的第五个数并不是质数，而是6 700 417和641的乘积。

还有另一个备受瞩目、可以产生很多质数的公式，即 n ² - n +41。这个公式中的 n 和上个公式中的一样，也取1，2，3等自然数的值。可惜后来人们发现，这个公式的适用性十分有限， n 必须选取1到40之间的自然数，一旦超过40，这个公式产生的数就不一定是质数了。比如当 n =41时，带入这个公式得到41 ² -41+41=41 ² =41×41。显然，这个算式的结果并非质数，而是一个平方数。

除此之外，人们还尝试过用另一个公式来产生质数，这个公式就是 n ² -79n+1601。可惜最后的事实证明，这个公式也无法保证能够一直产生质数。事实上，当 n 是1到79之间的某个自然数时，这个公式确实能产生质数，但当 n 等于80时，所得的结果就不是质数了。

因此直到今天，人们依旧没有找到只产生质数的普遍公式。

在数论这方面，还有一个有趣的例子，即“哥德巴赫猜想”。这个于1742年被人提出的数论定理既没有得到证明，也没有得到否认。那究竟何为“哥德巴赫猜想”呢？即任一偶数都可写成两个质数之和。很多简单的例子都能证明这一点，比如12=7+5、24=17+7或者32=29+3。可是，数学家们却始终无法确切地证明这个命题是对的，即便他们曾为此做出大量的研究。当然，他们也找不到例子来否证它。不过值得庆幸的是，在对这个问题的证明上，苏联数学家施尼雷尔曼（Schnirelmann）在1931年时终于取得了突破性的进展。他证明了每个偶数都是不多于300 000个质数之和。后来，另一位苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）又大大缩短了“300 000个质数之和”与“2个质数之和”间的差距，在他的努力下，施尼雷尔曼的结论被减少到了“4个质数之和”。可是，从维诺格拉多夫的“4个质数”到哥德巴赫的“2个质数”还有两步的距离，而想要迈过这两步最终证明或否定这个命题，不知道又要花费多少年或多少个世纪。

由此可见，如果我们想推导出一个公式，令它能够自动产生任意大质数的公式，并不是件容易的事。就目前的情况来看，我们距离成功的那天还远着呢。甚至就连这样的公式到底存不存在，我们也都还没有把握呢。

或许，我们现在可以讨论一个小一点的问题，比如质数在限定的区间内所能占到的百分比有多大。这个百分比随着区间的增长是否会产生变化？如果变化，是越变越大，还是越变越小？如果不变，又是否能大致保持恒定？该怎么回答这些问题呢？最好的办法就是对不同数值区间内的质数的个数进行查找，然后利用所得的经验来回答。当你这么做时就会发现，100以内的质数个数是26，1000以内是168，1 000 000以内是78 498，1 000 000 000以内是50 847 478。我们用这些质数的个数除以相应的数值区间就可以得到一张表格，如图：

从这张表格中我们可以发现，质数在数值区间内所占的百分比会随着区间的增大而逐渐变小。不过值得注意的是，质数所占的百分比虽然一直在变小，但并不会没有。也就是说，并不存在什么“质数的终点”。

对于这种质数所占百分比随着数值区间增大而变小的现象，是否有更简单的方法来做出数学表示呢？答案是有，而且在整个数学界，这个令质数平均分布的规律是最受瞩目的发现之一。这条规律就是质数在1到任一更大数 N 之间所占的百分比，与 N 的自然对数的倒数近似 ，而且这种近似会随着 N 的增大变得愈发精确。

在上表的第四栏中，我们可以清楚地看到 N 的自然对数的倒数。如果将第四栏中的数值与第三栏中的对比一下，就会发现两者十分相近，并且相近的程度会随着 N 的增大而变高。

上述质数定理和很多其他数论命题一样，最开始时都是凭经验发现的，而且在相当长的一段时间都得不到严格的认证。这个质数定理最终被证明已是19世纪末期，证明它的是法国数学家雅克·所罗门·阿达马（Jacques Solomon Hadamard）和比利时数学家普桑（de la Vallée Poussin）。在这里，我们就不说明他们是如何证明的了，因为那种证明方法实在太过困难和复杂。

如果我们想对整数进行讨论，那就绕不开著名的费马大定理。这一定理虽然与质数的性质没有必然联系，但却不得不提。要研究这个问题，我们可以先追溯到古埃及。古埃及的好木匠们都知道，如果一个三角形的三边之比是3 : 4 : 5，那这个三角形中必然有一个直角。事实上，古埃及木匠们使用的曲尺就是一个这样的三角形——现在，这种三角形也被称为“埃及三角形”。

亚历山大里亚的丢番图（Diophante） 在公元3世纪时曾思考过这样一个问题：两个整数的平方和恰好等于另一个整数的平方，满足这一条件的整数是否只有3和4？最后他证明了，满足这一性质的不止3、4、5一组整数，还有许多别的整数——事实上，有无穷多个三个一组的整数满足该性质。不仅如此，他还找到了一个一般规则，用来求出这些整数。后来，人们用毕达哥拉斯三角形来称呼这种三条边都是整数的直角三角形，之前提到的埃及三角形就是一个毕达哥拉斯三角形。我们可以用一个简单的解代数方程来表示毕达哥拉斯三角形的构造，即 x ² + y ² = z ² 。要注意，方程中的 x 、 y 、 z 必须是整数。 ^[1]

1621年，在巴黎，费马买了一本丢番图的《算术》的法文译本。在这本书中，丢番图对毕达哥拉斯三角形进行过一番讨论。在读到这部分内容时，在书的空白处，费马作了一些简短的笔记，他说虽然方程 x ² + y ² = z ² 的整数解有无穷多组，但对 x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ 这种类型的方程来说，当 n 大于2时，却永远都没有整数解。

“我想到了一种证明方法，它真是妙极了，”费马之后说，“可惜这里这点儿窄小的空白已经不允许我写下去了。”

后来，人们在费马死后于他的图书馆里发现了这本书，这段写在空白处的内容也随之公之于众。各国最杰出的数学家们在之后的三百多年里一直在努力，想要将费马当时没有写出的证明重写出来，可是哪怕到了今天，也没有成功 。不过虽然没有成功，但在朝着这一目标前进的过程中，我们已经在这方面取得了很大的进展。事实上，作为一门全新的数学分支的“理想数理论”，就是在试着证明费马大定理的过程中被创建出来的。欧拉和狄利克雷（Dirichlet）已经分别证明了方程 x ³ + y ³ = z ³ 、 x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ 和方程 x ⁵ + y ⁵ = z ⁵ 不可能有整数解。其实到了今天，几位数学家通过自己的努力已经证明，费马方程在 n 小于269时都是不可能有整数解的。不过令人遗憾的是，他们却一直没能作出指数 n 取任何值都成立的一般证明。因此，人们越来越倾向于认为费马根本没作过证明，或者是在证明的过程中，他把什么地方搞错了。有人曾悬赏10万德国马克来解答这个问题，但除了吸引来许多业余数学家并令这个问题声名远播外，并没有什么收获。

这个定理当然也有可能是错的，但这同样需要我们去证明。而要想证明这一点，我们就必须找到一个实例，证明两个整数的相同次幂的和等于另一整数的同一次幂。只是不要忘了，小于269的幂次已经被数学家们证明过了，所以在找例子时，我们使用的幂次只能比269大。这样一来，这件事就变得十分困难了。

二、神秘的

现在让我们来做点高级算术。2乘2得4，因此4的平方根是2；3乘3得9，因此9的平方根是3；4乘4得16，因此16的平方根是4；5乘5得25，因此25的平方根是5。 ^[2]

可如果是一个负数，那它的平方根又该是什么样的呢？比如 和 ，这样的表达式有什么意义呢？

在理解这样的数时，如果你采用的是非常理性的方法，那你最后肯定会认为这样的表达式毫无意义。12世纪的印度数学家婆什伽罗（Brahmin Bhaskara）曾说过几句话，用在这里正合适。他说：“不管是正数还是负数，它们的平方都是正数。因此可以认为，正数有一正一负两个平方根。而负数不是平方数，所以它没有平方根。”

然而，但凡是数学家都十分固执。如果某个东西虽然看起来毫无意义，但却总是在数学公式中出现，那他们就会竭尽所能地为它找到一些意义。就比如负数的平方根，它总是出现在各种地方，不管是以前占据着数学家头脑的简单算术问题，还是20世纪相对论中的时空统一问题，都能发现它的身影。

16世纪时，意大利有位数学家名叫卡尔达诺（Cardan），正是他最早将看起来毫无意义的负数平方根写进了公式中。他在讨论是否有可能将10分成两部分，并令这两部分的乘积都等于40这个问题时指出，虽然这个问题看起来没有任何合理的解，但如果将答案写成5+ 和5- ，就可以满足条件，尽管这两个表达式看起来奇怪又荒谬。 ^[3]

卡尔达诺也承认，这两个表达式是他虚构和想象出来的，并没有什么意义，但他还是把它们写了出来。

虽然这个答案是虚构的，但不管怎么说，既然有人敢将负数的平方根写出来，那原本无解的难题——将10分成两部分，并令这两部分的乘积等于40——就顺理成章地解决了。一旦有人开了头，卡尔达诺口中的“虚数”——即负数的平方根——就被数学家们越来越频繁地使用起来。当然，在使用时，这些数学家依然有所顾忌，并总是要找一些借口。1770年，瑞士著名科学家欧拉出版了一本有关代数的著作。在这本书中，他对虚数的使用十分频繁。不过后来，他还是加了一段评论以作说明。他说：“所有像 、 这样代表负数的平方根的表达式，都是想象中的数，是不可能存在的数。对于这类数，我们可以十分肯定地说，它们既非什么都不是，也不比什么都不是多些什么或少些什么。它们是纯粹的虚幻或不可能之数。”

可尽管有这样的诋毁和妄言，虚数依然被数学家们越来越频繁地使用。事实上，没过多久，它就成了数学中无法避免的东西，就像分数和根式一样。人们只要想在数学方面取得进步，就根本无法避开它。

可以说，虚数就好像是实数在镜子中的幻象。通过基数1，我们可以得到所有实数，那么同样的，通过 ，我们也可以得到所有虚数。也就是说，我们完全可以将 当作虚数的基数（一般用符号i来表示）。

因此，我们很容易就能得到一些表达式，比如 = × =3i， = × =0.246…i等。由此可见，每一个实数都有属于自己的虚数。除此之外，我们还可以将实数和虚数结合起来，就像卡尔达诺刚开始做的那样，从而得到一些像5+ =5+ i这样的表达式。对于这种混合形式的表达式，我们通常称其为复数。

虚数闯进数学领域后，它的面容被一层不可思议的神秘面纱笼罩了整整两个世纪，直到挪威测量员威塞尔（Wessel）和巴黎会计员阿尔冈（Robot Argand）这两位非专业数学家，从几何的角度对其做出了简单的解释。

他们究竟是如何解释的呢？让我们举个例子来说明。比如复数3+4i，按他们的方法就可以像图10那样表示出来，其中3和4分别对应着水平距离和垂直距离。

所有实数，不管是正数还是负数，其实都对应着横轴上的点。而所有纯虚数，则对应着纵轴上的点。我们把代表横轴上一点的实数乘以虚数单位i，就可以得到位于纵轴上的纯虚数。也就是说，如果这个实数是3，那么乘以虚数单位i后，我们得到的纵轴上的纯虚数就是3i。因此，在几何上，一个数乘以i后就相当于逆时针旋转了90°（如图10）。

如果将3i再乘以i，就等于又旋转了90°，这样一来，就又回到了横轴上，只是这一次是在负数那边。因此，我们可以得出3i×i=3i ² =-3，或者i ² =-1。

与“两次逆时针旋转90°则成反向”相比，“i的平方等于-1”这种说法显然要更加简单和容易理解。

混合的复数当然同样适用于这样的规则。我们将3+4i乘以i后就可以得到：

（3+4i）i=3i+4i ² =3i-4=-4+3i。

通过图10，我们可以很清楚地看到，3+4i这个点围绕原点逆时针旋转90°，就得到了-4+3i这个点。通过图10我们还可以看到，一个数如果乘以-i，那么就相当于围绕原点顺时针旋转了90°。

如果看到这里，你对虚数还是不甚明白，那我们不妨来解决一个关于虚数的实际应用的简单问题，从而彻底揭开它脸上的神秘面纱。

一个富有冒险精神的年轻人在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，这张羊皮纸上记录着一个宝藏的埋藏地点。上面写道：

在北纬____、西经____ 有一座荒岛。在荒岛的北岸，有一大片长着一棵橡树和一棵松树的草地 。在那里，还有一个很久之前用来吊死叛变者的绞刑架。从绞刑架往橡树走，并记住走了多少步，然后在到达橡树后向右转个直角，并走同样多的步数，在那里钉一个木桩。之后回到绞刑架那儿，再往松树的方向走，同样记住走了多少步。到达松树后向左转个直角，然后走同样多的步数，并在那里也钉个木桩。两个木桩的中间，就是宝藏的埋藏地点。

这些指令十分清楚，令人一眼就能看明白。所以，这位年轻人毫不犹豫地租了一条船，跑到南太平洋寻宝去了。他按照指令找到了荒岛，也找到了北岸草地上的橡树和松树，然而令人遗憾的是，他却没有找到那个重要的绞刑架。之所以会这样，是因为那张羊皮纸是很久很久以前写的，现在已经过去了太多年，木质的绞刑架在风吹雨淋之下早就腐烂成泥，它当初所在的位置已经毫无痕迹了。

这位富有冒险精神的年轻人就这样陷入了绝望中，他生气极了，疯了似的在地上随意乱挖。然而，这是一个面积非常大的岛屿，就算挖很久，他也只是白费力气。迫不得已之下，他只能两手空空地返航。也就是说，那些宝藏直到今天可能还在岛上埋着呢！

这无疑是一个令人遗憾的故事，可更令人觉得遗憾的是，那位年轻人原本是有可能找到那笔宝藏的，只要他懂一点数学，尤其是懂得该怎样运用虚数。现在就让我们来帮他找一找吧，虽然对他来说，一切为时已晚。

我们不妨将整座岛屿当成一个复数平面，然后过两棵树的树根画一条轴线作实轴，再过两棵树的中点画一条与实轴垂直的轴线作虚轴（如图11），之后再以两树距离的一半作为长度单位。这样一来，我们就可以说橡树和松树分别位于实轴上的-1点和+1点。因为绞刑架已经腐烂，我们无法确定它的位置，所以先假设它的位置为希腊字母Γ（这个字母看起来和绞刑架十分相像）。因为绞刑架的位置不一定在实轴上，也不一定在虚轴上，所以我们应该先将Γ看成一个复数，即Γ= a + bi 。

在此之前，我们已经讲过了虚数的乘法规则，现在就让我们依照这个规则来进行一些简单的计算。如果用Γ和-1来代表绞刑架和橡树的位置，那么就可以用-1-Γ=-（1+Γ）来表示两者的方位距离。同理，绞刑架和松树的方位距离则可用1-Γ来表示。

根据羊皮纸上的记录，之后我们要将绞刑架到橡树的方位距离向右——也就是顺时针——旋转90°，再将绞刑架到松树的方位距离向左——也就是逆时针——旋转90°。根据之前讲过的虚数乘法规则，就是将-（1+Γ）乘以-i，将1-Γ乘以i。这样一来，我们就可以确定两根树桩的位置：

第一根树桩：(-i)[-(1+Γ)]-1=i(Γ+1)-1，

第二根树桩：(+i)(1-Γ)+1=i(1-Γ)+1。

因为两根树桩的中间就是宝藏的埋藏地点，所以我们只要求出上述两个复数之和，然后再乘以 就行了，即：

[i( τ +1)-1+i(1- τ )+1]= (i τ +i-1+i-i τ +1)= (2i)=i。

从上述运算中我们可以发现，代表绞刑架未知位置的Γ在运算过程中已经消失了。也就是说，宝藏始终在+i点上，并不受绞刑架位置的影响。

所以，那个年轻人只要懂一点数学，能够做这么简单的运算，就能够准确地找到宝藏的地点，即图11中画×的地方，而无须浪费力气在岛上乱挖。

上述运算告诉我们，根本不需要知道绞刑架的位置，我们就可以找到宝藏。如果你不相信，那就找一张纸，然后在上面画出两棵树的位置，接着为绞刑架设置几个不同的位置，再按羊皮纸上的指令操作一番。你会发现，无论试多少次，宝藏都在复数平面中对应+i的那一点上。

其实，我们通过对-1的平方根这个虚数的运用还发现了另一个宝藏，那就是普通的三维空间能与时间结合，从而形成受四维几何学规则支配的四维空间。在接下来的某一章中，我们将对爱因斯坦的思想和他的相对论进行讨论，到时候会再次提及这一发现。

[1] 丢番图的一般规则是这样的：任意选取两个数， a 和b，使2 ab 成为一个完全平方数，并令 x = a + ， y = b + ， z = a + b + 。因此，利用代数的方法，很容易就能够得出 x ² + y ² = z ² 。通过这种规则，我们可以将所有可能的解都列出来。以最前面的几个解为例：

3 ² +4 ² =5 ² （埃及三角形），

5 ² +12 ² =13 ² ，

6 ² +8 ² =10 ² ，

7 ² +24 ² =25 ² ，

8 ² +15 ² =17 ² ，

9 ² +12 ² =15 ² ，

9 ² +40 ² =41 ² ，

10 ² +24 ² =26 ² 。

——原注

[2] 其实，其他数的平方根也不难求出，比如（2.236…）×（2.236…）=5.000…，所以 =2.236…；比如（2.702…）×（2.702…）=7.3000…，所以 =2.702…。——原注

[3] 我们下面就来验证一番：

（5 + ）+（5 - ）=5 + 5 = 10

（5 + ）×（5 - ）

=（5×5）-5 + 5 -（ × ）

= 25 -（-15）= 25 + 15=40。

——原注 jPs3nTMydgHt4N20XMLEr6XbwWt1ygTZfVxPqBIaPMWQWvuTgW7k5EoaP7FBFB5U