第一章
大数

一、你能数到几？

有一个故事，讲的是两位匈牙利贵族做游戏的事。他们做的是一个数字游戏——看看谁说出的数最大。

“没问题，”其中一位贵族说，“你先开始吧！”

另一位贵族苦苦思索了一阵子，几分钟后终于说出了他能想到的最大的数字：“3。”

现在轮到第一位贵族了，他飞快地转动脑筋，苦思冥想了好半天，最后竟决定弃权，他说：“我认输！”

显然，这两位匈牙利贵族的智力并不发达。又或者，这原本就是一个讽刺故事。不过如果将故事中的匈牙利人换成南非的霍屯督人，上述对话或许就会有几分可信性。事实上，据一些非洲探险家说，很多霍屯督人都不知道该怎样表达比3大的数。如果你问当地的土著，他有几个儿子或者杀死过几个敌人，只要答案超过3，他就会用“很多”来回答。可见，单从数数这点上来看，霍屯督的勇士们甚至还不如我们幼儿园里的小孩子，这些小孩子至少还能数到10呢！

现在，我们总是习惯性地认为，我们想把一个数写成多大，就能把它写成多大。如果我们想要一个大数，只要在这个数的右边加上足够的零就可以了，不管是用分来表示战争的开销，还是用英寸来表示星体间的距离。你可以不停地写下去，一直写到手腕酸软无力。不知不觉间，你就会得到一个比宇宙中的原子总数 ，也就是300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ，还要大的数。

其实，上面这个原子总数还有一种更简短的写法，即3×10 ⁷⁴ 。在这个式子中，10右上角的小数字74表示的就是3后面一共有多少个0。换句话说，也就是3要用10乘上74次。

不过在古代，人们并不知道这种能令“算术化繁为简”的方法。事实上，这种方法最早出现在一千多年前，是一位不知姓名的印度数学家发明的。虽然很多时候我们意识不到，但这确实是一项伟大的发明。在此之前，在表示每一个十进制单位时，人们会使用一个特殊的符号。当人们想要写一个数时，就反复书写这个符号。比如，古埃及人在写8732这个数时，会把它写成：

而在恺撒政府中，那些职员会把这个数写成：

MMMMMMMMDCCXXXII

对我们来说，第二种写法并不陌生，因为就算到了今天，在表示书籍的卷数或章数时，在庄严的纪念碑上记录历史事件的日期时，我们还是会用到这种罗马数字。不过在古代，人们计数最多不过几千，所以并没有符号来表示更高的十进制单位。也就是说，哪怕是一个在算术方面经受过很多训练的古罗马人，也很难写出一个像“一百万”这样的大数。如果非要让他写一个“一百万”，他能想到的最好的办法大概就是花费几个小时写下一千个M。

在古代人眼中，像天上的星、海里的鱼、岸上的沙这样的大数，都是“不可计数”的，就好像在霍屯督人眼中，像“5”这个数也是“不可计数”的，因此只能用“很多”来表示一样。

可是，在公元前3世纪，有一位声名远播的科学家曾开动他那天才的大脑，得出一个伟大的结论，即就算是巨大的数，也是有可能被写出来的。这位科学家就是阿基米德（Archimedes）。在《数沙者》（ The Psammites ）一书中，他说：

在一些人眼中，沙粒的数目无穷无尽，根本数不过来。这里所说的沙粒是指地球上有人烟处和无人烟处能找到的所有沙粒，而不单是指锡拉库萨周围以及整个西西里岛的沙粒。而在另一些人眼中，这个数目是可以数出来的，并非无穷无尽，只是他们不知道该怎样来表示这种比地球上沙粒数目还要大的数。如果将地球想象成一个大沙堆，并用沙粒填满那些海洋和洞穴，使它们变得像最高的山一样高，那持有第二种观点的人一定会更加确信，像这样堆积起来的沙粒，它的数目是根本无法表示出来的。可是现在，我要告诉大家的是，如果使用我所命名的各种数，无论是像上述方法那样填满整个地球的沙粒数，甚或是填满整个宇宙的沙粒数，都是可以表示出来的。

在这部有名的著作中，阿基米德提出的计大数的方法与现代科学中使用的方法颇为类似。当时在古希腊的算术中，最大的单位是“万”。阿基米德由此开始，引入了“亿”“亿亿”“亿亿亿”等分别作为“第二级单位”“第三级单位”和“第四级单位”……

如果专门用几页的篇幅去谈论怎样写出一些大数，似乎有些小题大做，但不可否认，在阿基米德所处的那个时代，能够找到写出大数的办法，确实是一项了不起的发现，为数学的发展做出了很大的贡献。

要想填满整个宇宙，究竟需要多少沙粒呢？如果想回答这个问题，阿基米德必须先弄清宇宙的大小。当时，人们认为宇宙被一个水晶天球包围着，这个天球上附有恒星。在阿基米德所处的那个时代，有一位著名的天文学家，来自萨摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus of Samos）。据他估算，地球距离天球表面大概有10 000 000 000斯塔蒂亚 远，也就是1 000 000 000英里。

知道了天球的尺寸后，阿基米德将它与沙粒相比，进行了一系列复杂的计算——如果高中生看到这样的计算，恐怕会被吓得做噩梦——最后得出结论说：

如果按阿里斯塔克斯所估算的天球包围的空间来看，很明显，填满这个空间所需要的沙粒数不会超过一千万个第八级单位。 ^[1]

这里有一点必须注意，即与现代科学家所观测到的宇宙半径相比，阿基米德当时估算的数值要小得多。事实上，10亿英里只不过刚刚超过太阳到土星的距离。也许以后通过望远镜，我们会发现宇宙的边缘在5 000 000 000 000 000 000 000英里远的地方。要想填满这样一个宇宙，我们需要的沙粒数大概会超过10 ¹⁰⁰ （即1的后面有100个0）。

在本章的开头，我们曾提到过宇宙中的原子总数，即3×10 ⁷⁴ 。与这个原子总数相比，10 ¹⁰⁰ 显然要大得多。为什么会这样呢？是因为宇宙中并非塞满了原子，实际上，宇宙的每一立方米空间中，才平均只有一个原子。

将整个宇宙都填满沙粒，显然是一种极端的做法。如果我们只是想得到一个足够大的数，其实并不一定非要这么做。事实上，很多看似简单的问题中也隐藏着巨大的数字，只不过事先我们是绝对想不到这一点的，只会以为它最大不过几千。

印度的舍罕王（King Shirham）就曾在大数上吃过亏。这件事发生在很久很久以前，相传，当时舍罕王打算奖赏发明了国际象棋并将这种象棋献给他的首席大臣施宾达（Sissa Ben Dahir）。这位大臣十分聪明，表面看来，他提出了一个很容易就能满足的要求。他跪在地上，对面前的国王说：“陛下，请赏赐给我一些麦子。我希望您能在这张棋盘的第一个小格内放进一粒麦子，在第二个小格内放进两粒，在第三个小格内放进四粒，在第四个小格内放进八粒，之后每一个小格内都像这样，放进比前一个小格多一倍的麦子，直到放满棋盘上的64个小格为止。请您就把这些麦子赏赐给我吧！”

“我的臣子，你竟然只要这么点儿东西，”国王心中暗喜，他虽然因这项神奇的发明而大方地许下赏赐，但如果这赏赐并不需要他破费多少，那无疑是件值得高兴的事，“你的要求肯定会得到满足。”国王说着就命人拿来了一袋麦子。

可令人没想到的是，按照施宾达的方法，第一个小格内放一粒麦子，第二个小格内放两粒麦子，第三个小格内放四粒……结果还没放到第二十个小格，那袋麦子就见底了。之后不断有人将麦子送到国王面前，一袋又一袋，但每个小格所需的麦子数也在不断增长，而且速度极快。所以没过多久大家就看出来了，即使把整个印度的所有麦子都拿来，也满足不了施宾达的要求，国王对施宾达许下的承诺根本无法实现。因为要想按这种方法填满棋盘上的64个小格，至少需要18 446 744 073 709 551 615粒 ^[2] 麦子！

这个数虽然不能与宇宙中的原子总数相提并论，但也算是一个很大的数了。如果1蒲式耳小麦有5 000 000粒，那么要想满足施宾达的要求，就需要4万亿蒲式耳的小麦，这几乎相当于全世界在两千年内所产出的全部小麦。舍罕王根本没有料到，这位首席大臣索要的“一些小麦”竟是这么多，等他明白过来时，已经欠了这位聪明的大臣好大一笔债。这要怎么办呢？是忍受施宾达无休止的催讨，还是干脆杀掉他呢？我觉得舍罕王大概会选择后者。

还有另一个故事，也是由大数当主角，而且同样发生在印度。这个故事和“世界末日”有关。历史学家鲍尔（W.W.R.Ball）是位数学爱好者，他是这样讲述这个故事的： ^[3]

在瓦拉纳西 那座伟大的、标志着世界中心的神庙的穹顶下，安放着一个上面固定着3根宝石针的黄铜板。这3根宝石针每根的粗细和蜜蜂的身体差不多，每根的高度能达到1腕尺，也就是差不多20英寸。创世时，在其中一根宝石针上，梵天 放置了64个金片。这64个金片摞在一起，从上到下面积依次增大，也就是说位于底部紧挨着黄铜板的金片是最大的。这就是所谓的梵塔。

无论是白天还是黑夜，都有一位值班的僧侣按照梵塔固定不变的法则——每次只能移动一片，而且必须保证，不管在哪根宝石针上，金片摞起来的方式都是下面的大上面的小——将这些金片从一根针上移动到另一根针上。等到这64个金片全都移动到另一根宝石针上时，不管是梵塔、神庙，还是众婆罗门，都将随着一声霹雳化为灰烬，世界也将随之毁灭。

图3描绘的就是故事里的景象，不过值得注意的是，图中并没有将64个金片全部画出来。事实上，像这样一个“玩具”并不难制作，你只需要用一些硬纸片和长铁钉来代替传说中的金片和宝石针就行了。而当你开始按照梵天的法则移动那些金片，很快就会发现一个规律，即移动每个金片的次数总要比移动上个金片的次数增加一倍。也就是说，移动第一个金片时只需一次，之后每移动一片，其移动的次数都会按几何级数加倍。这样一来，当你移动到64片时，需要移动的次数就会和施宾达想要的麦子数一样多！ ^[4]

要想将梵塔上的64个金片全都移动到另一根宝石针上，到底需要多长时间呢？我们假设僧侣们不眠不休，每秒都移动一次，按一年约有31 558 000秒来算，要想完成这项工作，大概需要58万亿年。

上述关于世界末日、宇宙寿命的预言纯属传说，但这并不妨碍我们将它与现代科学所做的预言进行对比。根据现在的宇宙进化论，我们可以得知，恒星、太阳以及行星都是在大约30亿年前由没有具体形态的物质形成的。我们的地球同样如此。而为恒星，特别是为太阳提供能量的“原子燃料”大概还能维持100亿到150亿年（详情见“创世纪时期”一章）。因此可以肯定，我们所处的宇宙，其寿命最多不超过200亿年。这与印度传说中预言的58万亿年相差甚远，不过后者毕竟是传说，又怎么能当真呢？

提起与文学作品有关的最大的数，大概就不能不提那个著名的“印刷行数问题”了。假设我们制造了一台可以连续印刷出一行行文字的印刷机，而且这台印刷机在印刷每一行文字时，都能够自动选择字母和其他印刷符号的组合。像这样的一台印刷机，上面应该会有很多可以分离的轮盘，这些轮盘像汽车的里程指示表中的数码盘那样装配在一起，每个轮盘的边缘都刻满了字母和符号，当一个轮盘转动一周时，就会带动下一个轮盘向前移动一个位置。每发生一次移动，纸张都会通过滚筒自动送入盘下。要想制造这样一台自动印刷机，其实并不是什么难事。它大概就是图4的这个样子。

将这台机器打开后，它会一直不停地印刷出东西来，现在就让我们来看看其中都有什么吧！这些东西大部分都不具备什么实际意义，比如“aaaaaaaaaaaa…”“boobooboobooboo…”或是“zawkpopkossscilm…”等。

但是不要忘了，这台机器的功能十分强大，只要是我们能想到的字母和符号的组合，它都能印刷出来。所以在这些没什么意义的句子中，我们总能找出一点儿有意思的东西来。当然，有意思并不代表有用，事实上，有些句子并不能起到什么实际的作用，比如“horse has six legs and…”（马有六条腿，并且……）或者“I like apples cooked in terpentin…”（我喜欢松节油煎苹果……）。

不过，只要我们有足够的耐心，一直找下去，就一定能发现莎士比亚曾写下的每一句话。哪怕是他写完扔掉的那些，我们也能发现。

事实上，自人类学会写字以来，我们所能写出的每一句话，这台机器都可以印刷出来。也就是说，这台机器可以印刷出我们所写的每一句散文、每一句诗歌，报纸上的每一篇评论、每一个广告，每一卷厚厚的学术论著，每一封情书，每一份订奶单……

更神奇的是，我们写过的它能印刷出来，我们没有写过但未来很可能会写的那些东西，它也能印刷出来。我们从滚筒下的纸张上可以找到30世纪的诗歌，找到未来科学的发现，找到第500届美国国会上的演讲，找到关于2344年星际交通事故的报道，找到那些尚未被人创作出来的长篇小说和短篇小说。如果出版商们能有这样一台机器，只需将它放在地下室里，让它不停地印刷，然后对它印刷出的那些文字进行筛选，抛弃那些没什么意义和作用的东西，只留下极少数的好句子，再将它们编辑在一起就可以了。事实上，这和他们现在所做的工作并没有什么区别。

可为什么没有人这样干呢？

在英语字母表上共有50个字符，其中包括26个字母、10个数字（0到9）和14个常用符号（句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、引号、省略号、空白符、连字符，以及大中小三种括号）。如果我们假设这台打印机上有65个轮盘，每个轮盘都对应印刷行上的一个位置。印刷出的每一行的第一个字母，可以是50个字符中的任意一个。也就是说，这个字母有50种可能性。而该行第二个位置的字符，对应这50种可能性的每一种，又有50种可能性。也就是说，仅前两个字符的排列组合就有50×50=2500种。而第三个位置的字符，对应前两个字符的每一种排列组合，仍然有50种选择。按这种方式数下去，打印一整行字符时，它的可能性就有：

50×50×50×50×…×50（65个50相乘）

也就是50 ⁶⁵ 种，而50 ⁶⁵ =10 ¹¹⁰ 。

这个数究竟有多大呢？你可以想象一下，如果宇宙中的每个原子都是一台独立的印刷机，那在同一时间，就有3×10 ⁷⁴ 台印刷机在工作。再想象一下，假设自宇宙诞生以来，这些机器就一直在不停地运转。也就是说，它们已经运转了30亿年，即10 ¹⁷ 秒。而且在运转时，它们印刷的频率与原子振动的频率是一致的，每秒可以印刷出10 ¹⁵ 。那么这些机器到了今天，大概可以印刷出3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ =3×10 ¹⁰⁶ 行。这个数虽然很大，但与上面那个总数相比，仍然相差甚远。事实上，这个行数大概只是那个总数的三千分之一而已。

由此可见，那些出版商必须花费极其漫长的时间，才能在这些自动印刷出来的字符中做出某种选择。

二、无穷大该怎样计数

在上一节中，我们对一些数进行了讨论。在这些数中，有很多是毫无疑问的大数，比如像施宾达想要的麦子数。只是，这些大数虽然大得不可思议，但毕竟是有限的，只要我们的时间足够充裕，早晚能将它完整地写出来。

可是，在这些有限的大数之外，其实还存在着一些无论我们花费多长时间，都没办法完全写出来的无穷大数，比如“所有数的个数”“一条线上所有几何点的个数”。对于这些数目，我们除了说它们是无穷大的还能说什么呢？难道还能把这两个不同的无穷大数拿过来比比看哪个更大吗？有这种可能吗？“所有数的个数和一条线上所有几何点的个数究竟哪个更大？”这是一个有意义的问题吗？乍看之下，这个问题确实有些荒诞离奇，不过却引起了格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）的注意。这位著名的数学家是最先思考这个问题的人，因此，他算得上是“无穷大算术”名副其实的奠基人。

无穷大数既读不出来也写不出来，那么该如何去比较呢？这是我们在比较无穷大数大小时必须面对的一个问题。此时，我们就好像是一个正在检查自己的财物，并迫切地想要知道，在那些财物中，玻璃珠和铜币到底哪种更多的霍屯督人。可是不要忘了，之前我们已经说过，霍屯督人在计数这方面并没什么天赋，他们能数到的最大的数字是3。也就是说，只要玻璃珠和铜币的数目大于3，那他们就数不出来了。可是，他们会因此就放弃比较两者的数目吗？当然不可能。事实上，如果这位霍屯督人足够聪明，那为了得到答案，他就会将玻璃珠和铜币拿出来，一个一个地比较下去。一颗玻璃珠对应一枚铜币，一直这样两两比较下去……如果最后玻璃珠用完了，而铜币还有剩余，那他就会知道，两者相比，铜币更多。反之，则玻璃珠更多。如果两者同时用完，则说明它们的数量相等。

在对两个无穷大数进行比较时，康托尔使用的正是这种方法：如果在对两组无穷大数进行比较时，我们能将它们的各个对象一一配对，一组无穷大数中的每个对象，都能在另一组无穷大数中找到相应的对象，两组数都没有任何对象遗漏，那么这两组无穷大数就应该是同样大；如果其中一组的对象有剩余，也就是说没有在另一组中找到能够匹配的对象，那么与另一组相比，这组无穷大数就要更大、更强一些。

显然，如果我们想将两个无穷大数进行比较，上述方法就是极为合理并且唯一可行的规则。只是，当你将这种方法付诸实践时，很可能会大吃一惊。举个例子，将所有偶数的个数和所有奇数的个数这两个无穷大数进行比较。看完题目，仅凭直觉，你就会知道这两个无穷大数相等。事实上，这两个无穷大数的比较完全适用于上述规则，因为它们之间确实能够一一匹配：

从这张表中我们可以看出，每一个奇数都对应着一个偶数，每一个偶数也都对应着一个奇数。因此，偶数的无穷大和奇数的无穷大是相等的。看起来确实没有比这更简单、更自然的事了。

不过先别着急，让我们再看看另一个问题：所有整数（包括奇数和偶数）的个数和所有偶数的个数哪个更大？所有整数不仅包含了所有偶数，还包含了所有奇数，所以你肯定以为前者更大，但事实证明，这不过是你的想当然而已。如果我们想知道正确的答案，就必须再次运用那个合理的规则，对这两个无穷大数进行一番比较。当你真的这么做时就会发现，你的“想当然”确实是错的。让我们将这两个无穷大数的对象一一匹配一番：

根据上述比较无穷大数的规则，我们必须承认，所有偶数的个数与所有整数的个数相等。我知道，这个结论听起来十分荒谬，因为偶数仅是所有整数的一部分。可是不要忘了我们正在和谁打交道，是和无穷大数，因此必须时刻做好准备，面对那些随时都可能遇到的特殊情况。

其实在无穷大的世界里，部分有时可能会等于整体！德国著名的数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）曾讲过一个故事，这个故事大概就是关于上述观点的最好说明。据说，在一次关于无穷大的演讲中，这位数学家曾这样讲述无穷大数这种荒谬、不合常理的性质： ^[5]

假设有一家内设有限个房间的旅馆，然后在旅馆客满没有空房的时候，来了一位客人。这位客人想订一间房，但旅馆的老板说：“很抱歉，已经没有空房了。”

现在，再假设有一家内设无限个房间的旅馆，而且这家旅馆同样客满，没有空房。这时，也来了一位想订房间的客人。旅馆老板说：“没问题！”然后，在他的安排下，一号房的客人被挪到了二号房，二号房的客人被挪到了三号房，三号房的客人被挪到了四号房，以此类推。这样做的结果就是，一号房被腾空了，那位新客人刚好可以入住。

我们再假设有一家内设无限个房间，并且所有房间都已住满的旅馆。这时来了无穷多位客人，他们都想要订一个房间。旅馆老板说：“好的，先生们，请耐心等待一会儿。”然后，在他的安排下，一号房的客人被挪到了二号房，二号房的客人被挪到了四号房，三号房的客人被挪到了六号房，以此类推。最后，单号房都被腾空了，新来的无穷多位客人刚好可以入住。

希尔伯特讲述这个故事时，恰逢世界各地正处于战乱中，所以即便是在华盛顿，他的意思也很难被理解。但不可否认，这个例子举得十分合适，它使我们明白了，无穷大数的性质十分特殊，与我们在普通算术中经常见到的一般数字有很大不同。

现在，我们也可以运用比较两个无穷大数的康托尔规则来证明，像 或 这样的普通分数，其个数与所有整数的个数相等。其实，对于那些普通分数，我们可以按以下规则将其排列出来：先写出分子和分母相加等于2的分数，事实上，只有一个分数符合这个条件，即 ；然后写出分子和分母相加等于3的分数，满足这个条件的分数有两个， 和 ；再写出分子和分母相加等于4的分数，这样的分数有三个， 、 和 ……这样一直写下去，我们就可以得到一个包含了所有分数的无穷的分数数列（如图5）。现在在这个数列的上方，我们再写上整数数列，并使每个整数都对应着一个分数。这样一来，所有整数就与所有分数建立了一一对应的关系。由此可见，这两个无穷大数也是相等的！

“是啊，这可真神奇，”你或许会说，“不过这是否意味着，所有无穷大数都是相等的呢？如果是这样，那就没必要再进行什么比较了吧？”

不，事情并不是这样的。事实上，要想找到一个比所有整数或所有分数构成的无穷大数还要大的无穷大数，并不是一件难事。

就拿前文提到过的“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数”相比较的问题来说。如果我们仔细研究一下就会发现，这两个无穷大数并不相等。与整数或分数的个数相比，一条线上点的个数要多得多。不信我们可以验证一番，先建立一条大概1英寸长的线，然后试着用整数数列来一一对应线上的点。

在这条线上，不管是哪个点，都可以用这一点到这条线的某一端的距离来表示，而这个距离可以写成无穷小数的形式，比如0.735 062 478 005 6…，比如0.382 503 756 32… 。现在我们要做的，就是将所有整数的个数与所有可能存在的无穷小数的个数进行比较。那么，与 或 这样的分数相比，上面写出的无穷小数又有什么不同呢？

大家应该不会忘记，在数学课上，我们曾学到过这样一条规则：任何一个普通的分数，都可以转化为一个无限循环的小数。比如 =0.6666...=0.（6），比如 =0.428571｜428571｜428571｜4...=0.（428571）。在上文中，我们已经证明过所有普通分数的个数与所有整数的个数是相等的，因此，所有循环小数的个数与所有整数的个数也必然是相等的。可是，对一条线上的点来说，它虽然可以用无穷小数表示出来，但这个小数不一定是循环小数。事实上，能用循环小数来表示的点在这条线上只占了极小的一部分。因此，我们很容易就能证明，在这种情况下，想要建立一一对应的关系根本是不可能的事。

假设有人声称，他已经像下面那样，为所有整数和一条线上所有的点建立了一一对应的关系：

N

1　0.38602563078…

2　0.57350762050…

3　0.99356753207…

4　0.25763200456…

5　0.00005320562…

6　0.99035638567…

7　0.55522730567…

8　0.05277365642…

·　… … … … … …

·　… … … … … …

当然，我们不可能把所有的整数都写出来，更不可能把所有的小数都写出来，所以上述说法又能说明什么呢？只能说明这个人发现了某种与我们用来排列普通分数的规则十分相似的规则，然后在这种规则的指导下，制作了上面的表，并认定按照这种规则，每一个小数都会出现在这张表上，只不过有的出现得早，有的出现得晚罢了。

可事实上，这种说法根本无法令人信服，甚至和这种说法类似的所有说法都不可信。要想证明这一点并不是一件难事，因为我们总能轻而易举地写出一个不被包含在这张无穷表格中的无穷小数。那该怎么写呢？其实很简单，只要在写该数小数点后的第一位小数时，令它不同于表中第一个小数的第一位小数；在写该数第二位小数时，令它不同于表中第二个小数的第二位小数，之后以此类推，我们就可能得到一个像下面这样的小数：

当然，这个小数也可能是其他样子，但只要它是按照上述方法写出来的，那在那张表格上，我们就不可能找到它。如果表格的制作者对你说，你写出的这个小数和他那张表格上的第137个小数——也可以是其他序号——是相同的，那你就可以立即反驳道：“根本没有这种可能，因为我写出来的这个数，它的第137位小数与你那个数的第137位小数是完全不同的。”

由此可见，想要在一条线上的点与所有整数间建立起一一对应的关系，根本是不可能的事。这也就意味着，与所有整数或分数相比，一条线上的点所构成的无穷大数要更大或更强。

虽然我们之前将这条线设定为“1英寸长”，并且之后的讨论都围绕着这条有限线段上的点，但现在只要按照我们“无穷大算术”的规则，很容易就能证明无论这条线有多长，其结果都是一样的。其实不管这条线是1英寸长，还是1英尺长，甚或是1英里长，上面的点的个数都是相同的。我们只需认真研究一下图6，就可以证明这一点。现在，我们要对这张图上不同长度的两条线 AB 和 AC 上的点数进行比较。首先，在这两条线的点之间，我们必须建立起一种一一对应的关系。过 AB 上的每个点，作与 AC 相交的 BC 的平行线，这样一来，就形成了像 D 和 D＇ ，E和 E＇ ， F 和 F＇ 这样的交点。换句话说，也就是 AB 上的每个点在 AC 上都能找到与之对应的一点， AC 上的每个点也是如此。所以，这两个无穷大数按照我们的规则来看，是相等的。

通过这种对无穷大数的分析，我们还能得到一个更加令人震惊的结论，即一个平面上所有点的个数等于一条线上所有点的个数。接下来，我们就对一条1英寸长的线 AB 上的点和一个拥有1英寸边长的正方形 CDEF 上的点，进行一下比较，以证明刚才的结论（图7）。

假设这条线上某个点的位置是0.75120386…，那么我们将这个小数的奇数位和偶数位分开，然后再重新组合，就可以得到两个不同的小数，即0.7108…和0.5236…。接着在正方形中，沿水平和垂直两个方向，按照这两个小数量出指定的距离。这样一来，我们就得到了一个点，这个点被称为原来线上那个点的“对偶点”。反之，正方形上的每一点也可以在那条线段上找到相应的“对偶点”，只要我们将正方形中代表某一点的两个小数组合在一起，比如将0.4835…和0.9907…组合成0.49893057…，然后再按照这个组合起来的数，在那条线段上找到相应的点就可以了。

显然，利用这种方法，在这两组点之间，我们能够建立起一一对应的关系。也就是说，在正方形中，线上的每个点都能找到自己的对应点，反之亦然，并且双方的点都没有剩余。因此按照康托尔的标准，我们就可以说，一个正方形中代表所有点数的无穷大数等于一条线上代表所有点数的无穷大数。

通过类似的方法，我们也很容易就能证明，立方体中代表所有点数的无穷大数，同样等于正方形或者线上代表所有点数的无穷大数。具体需要怎么做呢？只需将最初的那个无限小数分为三部分 ，然后再利用这三个新得到的小数，去确定立方体中“对偶点”的位置就行了。最后的结果会向我们证明，正方形或立方体中代表所有点数的无穷大数的大小，与这个正方形或立方体的尺寸没有任何关系，就像不同长度的两条线一样。

虽然与所有整数和分数的个数相比，所有几何点的个数要更大，但对数学家们来说，这还不是他们所知道的最大的数。事实上，人们已经发现了比所有几何点的个数还要大的数，即所有可能的曲线的个数，包括那些最奇形怪状的。因此我们可以认为，在无穷大的序列中，代表所有几何曲线个数的无穷大数位于第三级。

作为“无穷大算术”的奠基人，康托尔曾建议，用希伯来字母 （读作阿列夫）来表示无穷大数。至于这个数在一个无穷大序列中的级别，可以在这个字母的右下角标注出来。这样，我们就可以将数（包括无穷大数）的序列写成：1，2，3，4，5， ₁ ， ₂ ， ₃ ...

知道该如何表示无穷大数后，我们就可以说“一条线上有 ₁ 个点”“不同的曲线有 ₂ 种”，就好像我们平时说的“世界有7个大洲”“一副扑克牌共有52张”一样。

写至此处，对无穷大数的讨论已经接近尾声。在此我们必须指出一点，就是这些无穷大数虽然只分为了几个级，但却已经包含了人类所能想象的所有无穷大数。我们已经知道， ₀ 、 ₁ 、 ₂ 分别代表所有整数的个数、所有几何点的个数，以及所有曲线的个数，那 ₃ 代表什么呢？事实上，直到今天，人们也没能想到用 ₃ 代表哪个无穷大数。似乎我们能想到的所有无穷大数，都已经被包含进了前三级无穷大数中。前文提到过，霍屯督人虽然有很多儿子，但他却只能数到3，而我们现在的处境与这位老朋友正好相反，我们能数得清任何数，但却根本没有那么多东西让我们来数！

[1] 这个数用我们的计数方法可表示为：

当然，也有更简短的写法，即10 ⁶³ ，也就是说1的后面有63个0。——原注

[2] 我们可以用这样的算式来表示这位聪明的大臣想要的麦子数，即1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +…+2 ⁶² +2 ⁶³ 。像这种从第二个数开始，每一个数都是前一个数的固定倍数的数列，在算术中被称为“几何级数”。因此可证，这种级数的所有项之和，等于固定倍数（在本例中为2）的项数次方幂（在本例中为64）减去第一项（在本例中为1）所得的差除以固定倍数减1。在上述例子中，因此可得出算式：(2 ⁶⁴ -1)/(2-1)=2 ⁶⁴ -1。计算之后，可得出结果18 446 744 073 709 551 615。——原注

[3] 摘自历史学家鲍尔的《数学拾零》（ Mathmatical Recreations and Essays ），麦克尼兰公司（The Macrnillan Co.），纽约，1939。——原注

[4] 我们假设只有7个金片，那需要移动的次数就是1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +…，也就是2 ⁷ -1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果你的手法够准确，速度够快，那大概只需1个小时就能移动完这些次数。可是，当金片的总数变成64时，我们需要移动的次数就变成了2 ^64- 1=18 446 744 073 709 551 615次。这个次数与施宾达想要的麦子数一样。——原注

[5] 摘自R.Courant的《希尔伯特故事全集》（ The Complete Collection of Hilbert Stories ）。这本书虽然被很多人熟知，但却从未出版，最初甚至不曾被写成文字。——原注 yPhrnB3rT4xST+smtdDnACuf7xKNZ40nFYbOgvqvqJso8Wm186FNBuV34Qcnv5mS