1.3 螺栓组连接的受力分析及强度计算实例

【实例1】 如图1-10所示，一个厚度 δ ＝12mm的钢板用四个螺栓连接在厚度 δ ₁ ＝30mm的铸铁架上。螺栓的性能等级为4.6级，［ τ ］＝96MPa；铸铁架［ σ _P1 ］＝180MPa，钢板［ σ _P2 ］＝320MPa；螺栓为M16～M48，安全系数 S _s ＝2.5，板和架之间的摩擦因数 _{μ s} ＝0.15；载荷 F ∑＝12kN；尺寸 L ＝400mm， a ＝100mm。

1）图示螺栓布置。两种方案中哪一种合理些？

2）选择合理方案，采用普通螺栓连接和铰制孔光螺栓连接，哪一种连接合理些（为可靠起见，摩擦力加大20％）？

解： 要分析两种方案哪一种合理些，就是要分析两种方案中，受力最大的螺栓受的力是多少，其受力越小的方案越合理。

首先进行螺栓组的受力分析计算：将外载荷移到螺栓组接缝面的几何形心。如果每个螺栓所受的力都是横向力，则应该将这些横向力进行几何合成，求出每个螺栓所受的总的横向力。

1.螺栓组受力分析及计算

如图1-11所示，将载荷 F _∑ 移至螺栓组形心 O ，得一横向力 F _∑ 和旋转力矩： T ＝ F _∑ l ＝4800000N·mm。

2.求螺栓受的横向力

在横向力 F _∑ 作用下各螺栓受横向力的方向与 F _∑ 相同，即垂直向下，每个螺栓受的力为 ，为了清晰，在图1-12中皆用符号 F _S1 表示。

在转矩 T 作用下，各螺栓受一横向力，方向各垂直于回转半径 r _i ；又因各螺栓中心距离螺栓组几何形心O的距离相等，所以各螺栓在转矩 T 作用下受的横向力也相等，为了清晰，在图1-12中皆用符号 F _S2 来表示。

方案一中，各螺栓距形心的距离为

在转矩 T 作用下各个螺栓受的横向力为

由图1-12a可知，螺栓1和2所受的力 F _S1 和 F _S2 之间的夹角 α 最小，故螺栓1、2受力最大，根据余弦定理可求出螺栓1或2所受总的横向力为

方案二中， r ₁ ＝ r ₂ ＝ r ₃ ＝ r ₄ ＝ r ＝ a ＝100mm，故在扭转力矩 T 作用下各螺栓受的横向力相等：

由图可知，螺栓1和2所受的力 F _S1 和 F _S2 之间的夹角 α 最小（夹角为0），因此其合力最大，螺栓1所受横向力的合力为

F _Smax（2） ＝ F _S1 ＋ F _S2 ＝3000N＋12000N＝15000N

3.两种方案比较

因方案一中受力最大的螺栓1、2所受的总横向力为 F _Smax（1） ＝10820N，而方案二中受力最大的螺栓1所受的总横向力为 F _Smax（2） ＝15000N， F _Smax（1） ＜ F _Smax（2） ，因此方案一比较合理。以下按方案一设计两种形式的连接，并进行比较。

4.受剪螺栓 （或铰制孔光螺栓） 连接的计算

按 设计螺栓光杆部分直径：

查螺栓标准取M12，则 d ＝13mm。

验算抗压强度略。

5.受拉螺栓 （普通螺栓） 连接计算

横向力被接缝面之间的摩擦力平衡，从而求出预紧力，即 ，此处 F S为受力最大的螺栓（方案一中螺栓1及2）受的总的横向力（前面所求 F _S1 和 F _S2 的矢量合成），所以公式中的 Z ＝1；只有一个接合面，故 m ＝1，预紧力为

由性能等级4.6级可得 σ _S ＝4×6×10MPa＝240MPa。已知安全系数 S _S ＝2.5，则有

代入 求出

查螺纹标准，取M45的螺纹（根径 d ₁ ＝40.129mm）。

6.两种螺栓连接的比较

从以上的计算可知：在螺栓所受总的横向力一定的情况下，采用铰制孔光螺栓时，只需要M12的螺栓即可满足强度需要；而同样的横向力设计成受拉螺栓（普通螺栓）时，则需要M45的螺栓。从减小尺寸的角度考虑，采用铰制孔光螺栓连接更为合适。但采用铰制孔光螺栓时，对螺栓孔的加工精度要求较高，不仅需要钻孔，还需要铰孔，加工成本较高；而且铰制孔光螺栓也比普通螺栓的价格高。因此，应该根据使用要求决定采用螺栓的种类。

【实例2】 方形盖板用四个M16螺钉与箱体连接，于盖板中心 O 点装有吊环，已知 Q ＝20kN，尺寸如图1-13所示，取残余预紧力 F″ ＝0.6 F 。

1）校核M16螺钉的强度，螺钉性能等级取6.8级，安全系数取4.3。

2）若由于制造误差，吊环由 O 点移至对角线上的 O′ 点，且 ，问哪个螺钉受力最大。试校核其强度。

解：

1）首先将外载荷移到螺栓组接缝面的几何形心，本题第一问中吊环中心就在几何形心 O 点。

此螺栓的受力属于既受预紧力又受工作载荷的情况，首先求出总拉力。由已知条件知，残余预紧力 F″ ＝0.6 F ，代入下式：

F ₀ ＝ F″ ＋ F ＝0.6 F ＋ F ＝1.6 F

工作载荷是由轴向力 Q 引起的，即

F ＝ Q／ 4＝20×10 ³ N ／ 4＝5000N

代入强度公式 ，尚需求出许用应力［ σ ］：螺钉的性能等级为6.8级时 R _eL ＝480MPa；已知安全系数［ S _S ］＝4.3，许用应力为

所以螺钉的强度足够。

2）吊环中心移至 O′ 点时，此时按一般受力分析方法应将载荷移至螺栓组形心 O ，得一轴向力 Q 、翻倒力矩 M （注意翻倒轴线的取法：按 AB 为轴线翻倒）。此时分析方法同上，只是工作载荷由两部分组成：轴向力 Q 产生的 F ₁ 及翻倒力矩产生的 F ₂ ，即

代入强度公式得

因此，吊环偏移后螺栓强度仍足够。

【实例3】 如图1-14所示，一个钢制的液压缸，缸内油压为（静载） P ＝2.5MPa，内径 D ＝125mm，缸盖由6个M16的螺钉连接在缸体上，螺钉材料性能等级为4.6级，设螺钉的刚度 c ₁ 和缸体缸盖的刚度 c ₂ 之比为0.25。若根据连接紧密性的要求，取残余预紧力 F″ ≥1.5 F ，求预紧力 F′ 应控制在什么范围内才能满足此连接的要求。

解： 本例与前几个不同，但凡是螺栓类的设计均可归结为同样的分析方法，即螺栓组的受力分析及单个螺栓的强度计算。本题目给出压强、液压缸内径，因此可以很容易求出工作拉力。考虑螺栓属于既受预紧力，又受工作载荷作用的紧连接螺栓，该螺栓有两种失效可能性：螺钉静强度不够发生塑变或被拉断；残余预紧力不足，即连接气密性不够出现泄漏。因此预紧力既要满足强度要求，又要满足气密性要求。

（1）计算单个螺钉的工作拉力 F 液压缸盖所受的总压力 ，此压力作用在螺栓组的几何形心，对螺栓来说是轴向拉力，每个螺钉的工作拉力为

（2）计算螺钉的总拉力 F ₀ 螺钉材料性能等级为4.6级，则 R _eL ＝240MPa，查表1-3按控制预紧力考虑，取安全系数 S ＝1.5，则许用应力［ σ ］＝ R _eL /S ＝240MPa / 1.5＝160MPa。由强度条件 可求出

式中的13.835mm为M16螺钉的小径。

（3）求预紧力 F′ 的允许范围 按螺钉的强度条件求预紧力 F′ ：由题目知 ，得 ，因此，可由 ，得到

说明预紧力 F′ ≤17479N时，根据强度条件螺钉不会被拉断。

按连接气密性条件求所需最小预紧力 F ′：根据题目已知条件，连接的气密性要求为 F″ ≥1.5 F ，因此利用残余预紧力与预紧力的关系式，可求出预紧力：

由

得 ，因此有 F ，

即 F′ ≥2.3×5113N＝11760N

由以上计算结果可知，既满足强度要求，又满足气密性要求的预紧力为：

11760N≤ F′ ≤17479N。

【实例4】 图1-15所示为一个夹紧装置，由连接螺栓夹紧，螺栓数目 Z ＝2，已知轴径 d ＝50mm， L ＝400mm， W ＝110N，轴与毂间的摩擦因数 μ _S ＝0.13，连接尺寸 L _F ＝28mm，可靠系数 K _f ＝1.3，试确定连接螺栓的直径和长度。

解法1： 本例为螺栓设计，即求螺栓的直径和长度。螺栓的直径应由强度条件求得，而螺栓的长度应该参考实例中给出的结构由国家标准选择标准长度，因此，关键是由强度求螺栓的直径。与前几个实例不同的是：螺栓组的接缝面不是平面而是圆柱面，也可以近似看作平面进行计算，见本例的解法2。

（1）求夹紧连接螺栓的预紧力 F′ 图1-15所示夹紧连接是借助于两个螺栓拧紧后，轴与毂之间产生的摩擦力来传递转矩的。假设在螺栓预紧力 F′ 作用下，轴与毂之间的正压力为2 N ，且集中作用于两点，取左半毂为受力体，作用于其上的载荷如图1-15所示，显然 N ＝2 F′ 。又根据连接的接合面不滑移条件，则有 ， 。将 N ＝2 F′ 代入上式，则有

（2）确定螺栓直径 本例螺栓性能等级为4.6级，则求得 R _eL ＝240MPa；设螺栓为M16～M30，查表1-3按不控制预紧力考虑，取安全系数为［ S _S ］＝4，则螺栓的许用应力为： ，代入强度公式 ，求出螺纹根径：

查螺纹标准，选M16的螺纹（ d ₁ ＝13.835mm），与原假设相符。

（3）确定螺纹连接尺寸 查机械设计手册选M16的螺母，高 H ＝14.8mm。

查机械设计手册选弹簧垫圈，厚度 s ＝4mm。

选螺栓：考虑到螺母 H ＝14.8mm，垫圈 s ＝4mm，已知的连接尺寸 L _F ＝28mm，查参考文献［2］，选粗牙六角头螺栓M16×55（GB ／ T 5785—2000）。

解法2： 本例螺栓组连接的接合面是两个半圆柱面，因此也可以看作两个平面，即简化为三块板、两个接缝面，因此列出摩擦力矩大于外载荷的扭转力矩的平衡式，从而求出预紧力：2 F′μ _S （ d／ 2）×2≥ K _f WL ， 。本例螺栓组连接的接合面是两个半圆柱面，一般应当根据例中给出的条件，运用力矩的平衡关系来求解（一般夹紧装置及扳手等也多属此类）。所以，对于螺栓组连接的受力分析，不能完全靠死记硬背受力表达式，应掌握这些螺栓组连接受力分析的方法，以便灵活运用。

从本例看出：螺栓的直径由强度条件确定后，需查国家标准并标出外径M××；而螺栓的长度由连接的结构尺寸而定，在满足结构要求的情况下也需查国标，取标准长度系列值。在实际设计中还需画出结构图，此处略。

【实例5】 如图1-16a所示，托架受铅垂力 P 作用，托架与架体之间的摩擦因数为 _{μ S} ，可靠系数 K _f ＝1，螺栓与被连接件的相对刚度为0.2，螺栓材料的许用应力为［σ］。列出螺栓根径 d ₁ 的表达式。

解： 首先将外载荷移至螺栓组的几何形心 O ，如图1-16b所示。对螺栓组来说外载荷是一个横向力 P 和一个翻倒力矩 M ；对单个螺栓的受力分析，应属于既受预紧力（安装前的拧紧），又受工作载荷（翻倒力矩 M 引起的轴向拉力）的紧连接螺栓。

（1）螺栓组的受力分析 外载荷移至螺栓组的几何形心 O 是：

横向力 F _R ＝ P

翻倒力矩 M ＝ Ph

（2）单个螺栓的受力分析 每个螺栓受到的横向力为

F _S ＝ F _R ／ 2＝ P／ 2

每个螺栓受到的由翻倒力矩引起的轴向拉力为

（3）求每个螺栓的预紧力 预紧力由底板不下滑的条件求得，即摩擦力平衡外载荷，翻倒力矩 M 沿底板的对称轴线翻倒，使底板上半部分的预紧力减小，但是底板下半部分的预紧力以同样的程度增大，因此翻倒力矩 M 对接缝面处的摩擦力没有影响。所以，底板由预紧力产生的摩擦力平衡横向外载荷，即

Zμ _S F′ ≥ K _f F _S ，得

（4）计算螺栓的总拉力 F ₀ 假设用金属垫，设相对刚度为 ，则有

（5）计算螺栓的根径 d ₁

【 实例 6】 如图1-17a所示，有一个砧座用四个螺钉固定在地基上，每个螺钉的预紧力为 F ′，当砧上加力 P 后求螺钉受力大小及砧座与地基接触面压力大小，并求出螺钉的内径 d ₁ （已知螺钉的相对刚度为 K _C ）。

解： 如图1-17所示，载荷已经作用在螺栓组几何形心，因此螺栓组只受轴向外载荷作用（为负值）。

（1）求每个螺钉受的工作拉力

（2）求每个螺钉的总拉力

（3）求地基的压力 如图1-17b所示，此时地基的压力应该是四个螺钉的残余预紧力之和，而不是预紧力之和。因为外力是轴向力，使预紧力发生变化，因此螺钉对地基的压力为

（4）计算螺钉的小径

本例螺钉小径的计算式按常规应该是用 F ₀ 代入，但是本例比较特殊，外载荷为轴向压力，因此使螺钉所受的预紧力减小，即 F′ ＞ F ₀ ，所以应该用预紧力 F′ 代入比较合理。当然，本例还有其他的解法，此处不列出。

【实例7】 如图1-18所示，有一个液压缸（图中未画出活塞、支座、进油接头、出油接头等零件），缸的内径 D ＝100mm，壁厚 δ ＝10mm， L ＝300mm， t ＝20mm，端盖、缸体、螺栓都用钢制成。缸工作压力在4MPa与0之间变化，用六个M12螺栓（小径 d ₁ ＝10.106mm）连接，螺栓性能等级为6.8级，扭紧到下屈服强度的50％。

1）假设两个端盖可作为刚体考虑，求螺栓和液压缸的刚度。

2）螺栓的平均应力和应力幅各为多少？

3）试校核螺栓的强度。

解： 本例需要对螺栓的综合受力变形图、物理知识及材料力学中关于刚度等概念有较深入了解，并能灵活运用，方可求解。如图1-18所示。本例中螺栓既受预紧力，又受工作拉力，属于紧螺栓连接，因此校核螺栓的强度应根据相应的公式 进行，并且螺栓受变载荷作用，因此除了满足静力强度外，还应该验算应力幅。

1.求螺栓及液压缸的刚度

刚度即产生单位变形量所需的力，为此，可求出预紧力 F′ 及在该预紧力作用下螺栓及缸的伸长量，从而可求出刚度。

求预紧力 F′ ：因例中给出螺栓性能等级为6.8级，可得 R _eL ＝480MPa；又由例中已知扭紧到下屈服强度的50％，由此求出预紧力 F′ ：

求在 F′ 作用下螺栓的变形量：

缸体在 F′ 作用下的变形量：

因此得出螺栓的刚度 c ₁ 及缸体的刚度 c ₂ 分别为

2.求螺栓的平均应力σ _m 和应力幅σ _a

螺栓安装时受预紧力 F′ ，工作时又受工作载荷 F ，因此螺栓工作时受的最大拉力为 F ₀ ，螺栓工作时的拉力在 F′ ～ F ₀ 之间变化，因此可求出 F ₀ 为

螺栓在总拉力 F ₀ 及预紧力 F′ 作用下的最大、最小应力分别为

3.校核螺栓强度

螺栓受变载作用，应分别校核静强度及疲劳强度。

螺栓的静强度校核：按 计算，需先求［ σ ］，按控制预紧力考虑，取安全系数［ S _S ］＝1.5，则 ，因此螺栓的总应力为

所以静力强度满足。

螺栓的疲劳强度校核：即需校核应力幅 σ _a ≤［ σ _a ］，首先必须求出许用应力幅［ σ _a ］：

从表1-3查得有关系数：尺寸系数 ε ＝1（因为螺纹为M12）；螺栓制造工艺系数 K _m ＝1（采用车制螺纹）；螺纹的应力集中系数 K σ＝3.9（因为已知螺栓性能等级为6.8级，可得 R _m ＝600MPa，查表得出）；各圈螺纹牙的受力分布不均系数 K _u ＝1.5（因为螺母是受拉、压）；对称循环疲劳极限为： σ _-1 ＝0.41 R _m ＝0.41×600MPa＝246MPa；取疲劳安全系数［ S _a ］＝3，代入上式得

而 σ _a ＝0.65MPa＜＜［ σ _a ］＝31.53MPa，因此疲劳强度足够。 VvSomUhJarfOgaJ//JvEszQxRrtV2Vtt8VD9T3EP3NzCnFUPcXS1TJHaiNZHF/tT