2.1 优化设计问题的几何意义

2.1.1 目标函数的等值面（线）

目标函数的值是评价设计方案优劣的指标。n维变量的目标函数，其函数图像只能在 n +1维空间中描述出来。当给定一个设计方案，即给定一组 x ₁ ， x ₂ ，…， x _n 的值时，目标函数 f （ X ）= f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）必相应有一确定的函数值；但若给定一个 f （ X ）值，却有无限多组 x ₁ ， x ₂ ，…， x _n 值与之对应，也就是当 f （ X ）= a 时， X =（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ） ^T 在设计空间中对应有一个点集。通常这个点集是一个曲面（二维是曲线，大于三维称为曲面），称之为目标函数的等值面。当给定一系列的 a 值，取 a = a ₁ ， a ₂ ，…时，相应地有 f （ X ）= a ₁ ， a ₂ ，…，这样可以得到一组超曲面族——等值面族。显然，等值面具有下述特性，即在一个特定的等值面上，尽管设计方案很多，但每一个设计方案的目标函数值却是相等的。

现以二维无约束最优化设计问题为例阐明其几何意义。如图2-1所示，二维目标函数值 f （ X ）= f （ x ₁ ， x ₂ ）在以 x ₁ 、 x ₂ 和 f （ X ）为坐标的三维坐标系空间内是一个曲面。在二维设计平面 x ₁ O x ₂ 中，每一个点 X =（ x ₁ ， x ₂ ）都有一个相应的目标函数值 f （ X ）= f （ x ₁ ， x ₂ ），它在图中反映为沿 f （ X ）轴方向的高度。若将 f （ X ）= f （ x ₁ ， x ₂ ）面上具有相同高度的点投影到设计平面 x ₁ O x ₂ 上，则得 f （ X ）= f （ x ₁ ， x ₂ ）= a 的点集，称为目标函数的等值线（等值线是等值面在二维设计空间中的特定形态）。当给定一系列不同的 a 值时，可以得到一组平面曲线： f （ X ）= f （ x ₁ ， x ₂ ）= a ₁ ， f （ X ）= f （ x ₁ ， x ₂ ）= a ₂ ，…，这组曲线构成目标函数的等值线族。由图可以清楚地看到，等值线的分布情况反映了目标函数值的变化情况，等值线越向里，目标函数值越小，对于一个有中心的曲线族来说，目标函数的无约束极小点就是等值线族的一个共同中心 X ^* 。故从几何意义上说，求目标函数无约束极小点也就是求其等值线族的共同中心。

以上二维设计空间等值线的讨论，可以推广到分析多组问题。但需注意，对于三维问题在设计空间中是等值面，高于三维的问题在设计空间中则是等值超曲面。

2.1.2 约束最优解和无约束最优解

n维目标函数 f （ X ）= f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ），若在无约束条件下极小化，即在整个 n 维设计空间寻找 X ^* =（ x ₁ ^* ， x ₂ ^* ，…， x _n ^* ） ^T ，使满足min f （ X ）= f （ X ^* ）， X ∈R ⁿ ，其最优点 X ^* 、最优值 f （ X ^* ）构成无约束最优解；若在约束条件限制下极小化，即在可行域中寻找 X ^* =（ x ₁ ^* ， x ₂ ^* ，…， x _n ^* ） ^T ，使满足min f （ X ）= f （ X ^* ）， X ∈R ⁿ ，其最优点 X ^* 、最优值 f （ X ^* ）构成约束最优解，无论在数学模型还是几何意义上，两者均是不同的概念。

现用一个二维非线性最优化问题，从几何意义上来说明约束最优解和无约束最优解。

设已知目标函数 f （ X ）= x ² ₁ + x ² ₂ -4 x ₁ +4，受约束于 g ₁ （ X ）= x ₁ - x ₂ +2≥0， g ₂ （ X ）= x ₁ ≥0， g ₃ （ X ）= x ₂ ≥0， g ₄ （ X ）=- x ² ₁ + x ₂ -1≥0，求其最优解 X ^* 和 f （ X ^* ）。图2-1a表示其目标函数和约束函数的立体图，图2-1b表示其平面图。当目标函数 f （ X ）=0.25、1、4、6.25时，相应在 x ₁ O x ₂ 设计平面内得一系列平面曲线（同心圆）——等值线，它表示了目标函数值的变化情况，越向里边的代表目标函数值越小。显然其无约束最优解为目标函数等值线同心圆中心 X ^*（1） =（ x ^1*（1） ， x ₂ ^*（1） ） ^T =（2，0） ^T ， f （X ^*（1） ）=0。而其约束最优解则需在由约束线 g ₁ （ X ）=0， g ₂ （ X ）=0， g ₃ （ X ）=0， g ₄ （ X ）=0组成的可行域（阴影线里侧）内寻找使目标函数值为最小的点，由图可见，约束线 g ₄ （ X ）=0与某等值线的一个切点 X ^*（2） 即为所求， X ^*（2） =（ x ₁ ^*（2） ， x ₂ ^*（2） ） ^T =（0.58，1.34） ^T ， f （ X ^*（2） ）=3.8为其约束最优解。

以上二维问题关于约束最优解和无约束最优解几何意义的讨论，同样可以推广到多维问题。 n 个设计变量（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）组成设计空间。在这个空间中的每个点代表一个设计方案。此时n个变量有确定的值。当给定目标函数某一值时，就在 n 维设计空间内构成一个目标函数的等值超曲面，给定目标函数一系列数值时就得一系列目标函数的等值超曲面。这些等值超曲面反映了目标函数的变化情况。无约束最优点为这些等值超曲面的共同中心。对于约束最优化问题，每一个约束条件在n维设计空间中是一个约束超曲面，全部约束超曲面在设计空间中构成可行域。在其上寻找目标函数值最小的点即为约束最优点。这一点可以是目标函数等值超曲面与某个约束超曲面的一个切点，也可以是目标函数值较小的某些约束超曲面的交点（如图2-2所示的X ^* 点）。

2.1.3 局部最优解和全域最优解

对无约束最优化问题，当目标函数不是单峰函数时，有多个极值点 X ^*（1） ， X ^*（2） ，…，如图2-3所示。此时， X ^*（1） 和 f （X ^*（1） ）、 X ^*（2） 和 f （ X ^*（2） ）均称为局部最优解。如其中 X ^*（1） 的目标函数值 f （ X ^*（1） ）是全区域中所有局部最优解中的最小者，则称 X ^*（1） 和 f （ X ^*（1） ）为全域最优解。

对于约束最优化问题，情况更为复杂，它不仅与目标函数的性质有关，还与约束条件及其函数性质有关。如图2-4所示，将目标函数 f （ X ）的等值线绘于图上，由两个不等式约束 g ₁ （ X ）≥0、 g ₂ （ X ）≥0构成两个可行域 D ₁ 和 D ₂ 。 X ^*（1） 、 X ^*（2） 、 X ^*（3） 分别是可行域内在某一邻域目标函数值最小的点，都是局部极小点，亦即 X ^*（1） 、 f （ X ^*（1） ）， X ^*（2） 、 f （ X ^*（2） ）， X ^*（3） 、 f （ X ^*（3） ）均称为局部最优解。由于 f （ X ^*（1） ）＜ f （ X ^*（2） ）＜ f （ X ^*（3） ），可知 X ^*（3） 为全域极小点，亦即 X ^*（3） 和 f （ X ^*（3） ）为全域最优解。

优化设计总是期望得到全域最优解，但目前的优化方法只能求出局部最优解，并采取对各局部最优解的函数值加以比较，取其中最小的一个作为全域最优解。