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由前述讨论可知，函数的最优值与极值是有区别的。前者是指全域而言，而后者仅为局部的性质。一般来说，在函数定义的区域内部，最优点必是极值点，反之却不一定。如果能得到两者等同条件，就可以用求极值的方法来求最优值，因此对于函数的最优值与极值之间的关系需做迸一步的讨论。目标函数的凸性与所需讨论的问题有密切的关系。
我们可以先用一元函数来说明函数的凸性。如图2-7所示，图2-7a中在（ x （1） ， x （2） ）区间上曲线是下凸的，图2-7b的曲线是上凸的，它们的极值点（极小点或极大点）在区间内都是唯一的。这样的函数称为具有凸性的函数，或称为单峰函数。
图2-7 函数的凹凸性定义
为了考虑多元函数的凸性，首先要说明函数定义域应具有的性态。
设 D 为 n 维欧氏空间中设计点X的一个集合，若其中任意两点 X （1） 和 X （2） 的连线都在集合 D 中，则称这种集合是 n 维欧氏空间的一个凸集。二维函数的情况如图2-8所示，其中图2-8a所示为凸集，图2-8b所示为非凸集。
图2-8 函数定义域的性态
在 n 维空间中，若对某集合D内的任意两点 X （1） 与 X （2） 作连线，使连线上的各个内点对任何实数 a （0≤ a ≤1）恒有
X = aX （1） +（1- a ） X （2） ∈ D （2-17）
则称 D 为凸集。图2-9所示是对于二维问题、式（2-17）对应的向量图解。
n 维无约束最优化问题的整个设计空间R n 是凸集。
图2-9 二维函数定义域凸性定义图解
设 f （ X ）为定义在 n 维欧氏空间中一个凸集 D 上的函数，若对任何实数 ξ （0≤ ξ ≤1）及 D 域中任意两点 X （1） 与 X （2） 存在如下关系：
f （ ξX （1） +（1- ξ ） X （2） ）≤ ξf （ X （1） ）+（1- ξ ） f （ X （2） ） （2-18）则称函数 f （ X ）是定义在凸集D上的一个凸函数。现用图2-10所示定义于区间［ a ， b ]上的单变量函数来说明这一概念。若连接函数曲线上任意两点的直线段，某一点 x （ k ）的函数值恒低于此直线段上相应的纵坐标值，则这种函数就是凸函数，也就是单峰函数。
若将式（2-18）中的符号“≤”改为“＜”，则称函数 f （ X ）为严格凸函数。若将式（2-18）中的符号“≤”改为“≥”，则如图2-7b所示，函数曲线上凸（有极大点），通常称为凹函数。显然，若 f （ x ）为凸函数，则- f （ x ）为凹函数。
图2-10 凸函数的定义
1）若函数 f 1 （ X ）和 f 2 （ X ）为凸集 D 上的两个凸函数，对任意正数 a 和 b ，函数 f （ X ）= af 1 （ X ）+ bf 2 （ X ）仍为 D 集上的凸函数。
2）若 X （1） 与 X （2） 为凸函数 f （ X ）中的两个最小点，则其连线上的一切点也都是 f （ X ）的最小点。
证明略。
判别法1：若函数 f （ X ）在 D 1 上具有连续一阶导数，而 D 为 D 1 内部的一个凸集，则 f （ X ）为 D 上的凸函数的充分必要条件为：对任意的 X （1） ， X （2） ∈ D 恒有
f （ X （2） ）≥ f （ X （1） ）+（ X （2） - X （1） ） T Δ f （ X （1） ） （2-19）
判别法2：若函数 f （ X ）在凸集 D 上存在二阶导数并巨连续， f （ X ）在 D 上为凸函数的充分必要条件为：对于任意的 X ∈ D ， f （ X ）的黑塞矩阵 H （ X ）处处是正半定矩阵。
若黑塞矩阵 H （ X ）对一切 X ∈ D 都是正定的，则 f （ X ）是 D 上的严格凸函数，反之不一定成立。
例2-1 判别函数 f （ X ）=50-10 x 1 -4 x 2 + x 2 1 + x 2 2 - x 1 x 2 在 D =｛ X |-∞＜ x i ＜+∞（ i =1，2）｝上是否为凸函数。
解：利用黑塞矩阵来判别：
因此黑塞矩阵是正定的，故 f （ X ）为严格凸函数。
设 f （ X ）为定义在凸集D上的一个函数，一般来说， f （ X ）的极值点不一定是它的最优点。但是，若 f （ X ）为凸集D上的一个凸函数，则 f （ X ）的任何极值点，同时也是它的最优点。若 f （ X ）还是严格凸函数，则它有唯一的最优点。