3.4 圆形薄板的弯曲

3.4.1 圆形薄板的弯曲曲面微分方程

求解圆形薄板的弯曲问题时，和求解圆形边界的平面问题一样，用极坐标比较方便。此时，将挠度 w 和横向载荷 q 都看作是极坐标的函数，即 w = w （ ρ ， w ）， q = q （ ρ ， w ）。进行与第2章平面问题极坐标中相同的变换，可以得出下列的导数变换式：

应用式（3 - 23），薄板弹性曲面的微分方程[式（3 - 14）]可以变换为

3.4.2 圆形薄板的内力表达式

为了导出用挠度表示内力的表达式，从薄板内取出一个微元，如图3 - 4所示。

在 ρ 为常量的横截面上，应力分量 σ _ρ 、 τ _ρφ 和 τ _ρz 分别合成为弯矩 M _ρ 、扭矩 M _ρφ 和横向剪力 F _{S ρ} ；在 φ 为常量的横截面上，应力分量 σφ 、 τφρ 和 τφz 分别合成为弯矩 M _φ 、扭矩 M _φρ 和横向剪力 F _{S φ} 。若上述各个内力均为正号，则对应的正方向用力矢和矩矢表示，如图3 - 4所示。

现在，把 x 轴和 y 轴分别转到这个微分块的 ρ 方向和 φ 方向，使该微分块的 φ 坐标为零，则该微分块处的 M _ρ 、 M _φ 、 M _ρφ 、 M _φρ 、 F _{S ρ} 及 F _{S φ} 分别成为 M _x 、 M _y 、 M _xy 、 M _yx 、 F _{S x} 及 F _{S y} 。于是，利用导数的变换式（3 - 22）和（3 - 21），令 φ =0，即由式（3 - 18）得到极坐标中薄板内力公式

式中，Δ ² w 是用式（3-23）表示的。 3UO0djs7LSYAhpwN1OSKnfuEhhD40wwq7pliak5qGdC7/kVYAAVjx2R+uw8o9wiv