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薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取 w = w （ x ， y ）作为基本未知函数。下面根据空间问题的基本方程和边界条件，以及上述的三个计算假定，将其他未知函数——纵向位移 u 、 v ，主要应变分量 ε x 、 ε y 和 γ xy ，主要应力分量 σ x 、 σ y 和扭应力 τ xy ，次要应力分量 τ xz 、 τ yz 及更次要的应力分量 σ z ，分别都用挠度 w 表示，并导出求解挠度的方程。
1）将纵向位移 u 和 v 用 w 表示。第3.1节中已应用计算假定和几何方程[式（2 - 38）]的第四式和第五式得出式（3 - 1），把此式对 z 积分，并注意 w 只是 x 、 y 的函数，即得
应用计算假定式（3 - 3），得 f 1 （ x ， y ）=0， f 2 （ x ， y ）=0。于是，纵向位移表示为
2）将主要应变分量 ε x 、 ε y 和 γ xy 用 w 表示。把上式的 u 和 v 代入几何方程[式（2 - 38）]中的第一、第二及第六式，得到
3）将主要应力分量 σ x 、 σ y 和 τ xy 用 w 表示。由薄板的物理方程[式（3 - 2）]求解应力分量得
把式（3 - 4a）代入式（3 - 4b），得
由于 w 只是 x ， y 的函数，不随 z 而变，可见这三个主要应力分量都和 z 成正比，与材料力学中梁的弯应力相似。
4）将次要应力分量 τ xz 和 τ yz 用 w 表示。由于次要应力分量 τ xz 和 τ yz 引起的形变可略去不计，故相应的物理方程也已放弃。为了求出 τ xz 和 τ yz ，可以应用平衡微分方程[式（2 - 34）]的前两式，并由于不存在纵向荷载，体力分量 f x =0， f y =0，由此得
把σ x 、σ b 和τ xy 的表达式(3-5)代人，得
式中，
。
将上式对 z 积分，得
其中，待定函数 F 1 （ x ， y ）和 F 2 （ x ， y ）可以根据薄板上、下面的边界条件来求出，即
（ τ zx ） z =± δ/ 2 =0，（ τ zy ） z =± δ/ 2 =0
应用上述两个边界条件求得
即可得 τ zx 和 τ yz 的表达式
这两个切应力沿横向为抛物线分布，与材料力学中梁的切应力相似。
5）将更次要的应力分量 σ z 用 w 表示。应用平衡微分方程[式（2 - 35）]的第三式，并取体力分量 f z =0，得
如果体力分量 f z ≠0，则可以把薄板的单位面积内的体力和面力都归入到板上面的面力中去，一并用 q 表示，即
这只会对最次要的应力分量 σ z 引起误差，对其他的应力分量则没有影响。这种处理方式和材料力学中对梁的处理方式相同。
注意 τ xz = τ zx ， τ yz = τ zy ，将这两个应力分量的表达式（3 - 6）代入式（3 - 7），可得
将式（3 - 9）对 z 积分，得
其中，待定系数 F 3 （ x ， y ）可以由薄板的下板面的边界条件来确定，即（ σ z ） z = δ/ 2 =0。
将式（3 - 10）代入，求出 F 3 （ x ， y ），再代回式（3 - 10），即得 σ z 的表达式
现在来导出 w 的微分方程。由薄板的上板面的边界条件
（ σ z ） z =- δ/ 2 =- q （3 - 12）
其中， q 是薄板单位面积内的横向荷载，包括横向面力和横向体力，如式（3 - 9）所示。将 σ z 的表达式（3 - 11）代入式（3 - 12），可得
令
（称为薄板的弯曲刚度），则式（3
-
13）化为
D Δ 4 w = q （3 - 14）
式（3 - 14）称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲面微分方程。
现在对以上的分析作进一步说明：①如果 w = w （ x ， y ）满足 D Δ 4 w = q ，则等价于满足薄板的6个几何方程、3个物理方程、3个平衡微分方程及板的上下面边界条件，故称 D Δ 4 w = q 为薄板弯曲问题的基本方程。在求解时只需选择 w = w （ x ， y ）满足 D Δ 4 w = q 及板边的边界条件即可。②如果体力分量不为零，则将薄板单位面积内的体力归入薄板上板面的面力中。③应力分量很难精确满足板边边界条件，常用圣维南静力等效边界条件，因此必须确定薄板横截面上的内力。