车辆悬架弹性力学解析计算理论最新章节_周长城著

2.3 空间问题的基本理论

在一般空间问题中，包含有15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，而且它们都是 x 、 y 、 z 坐标变量的函数。如果空间问题在弹性体区域内部，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在给定约束或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下求解这些方程，得应力分量、形变分量和位移分量。

2.3.1 空间问题的基本方程与边界条件

1.平面问题的基本方程

现在，我们考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立三套方程。

（1）平衡微分方程及应力状态下面，我们首先考虑空间问题的静力学方面，在弹性体内任一点取出一个微分体，根据平衡条件来导出应力分量和体力分量之间的关系式，也就是空间问题的平衡微分方程，并对物体内一点的应力状态进行分析。

如图2 - 12所示，在物体内任意一点 P ，取图示微小平行六面体，它的六面垂直于坐标轴，且棱边的长度 PA =d x ， PB =d y ， PC =d z 。微小平行六面体各面上的应力分量如图2 - 12所示。

若以连接六面体前后两面中心的直线为 ab 为轴距，列出力矩的平衡方程Σ M _ab =0，可得

图2 - 12 微小平行六面体各面上的应力分量

化简并略去高阶微量，得

τ _yz = τ _zy

同理可得

τ _zx = τ _xz ， τ _xy = τ _yx

这又一次证明了空间一般情况下切应力的互等关系。

分别以 x 轴、 y 轴及 z 轴为投影轴，列出投影的平衡方程Σ F _x =0、Σ F _y =0及Σ F _z =0，得

将上述三个方程化简，可得

这就是空间问题的平衡微分方程。

现在继续研究空间问题的静力学方面。假定任一点 P 的六坐标面上的应力分量 σ _x 、 σ _y 、 σ _z ， τ _xy = τ _yx ， τ _yz = τ _zy ， τ _zx = τ _xz ，求经过该点任意斜截面上的应力。为此，如图2 - 13所示，在点 P 附近取一个平面 ABC ，它平行于上述斜面，并与经过点 P 而平行坐标面的三个平面行程一个微小的四面体 PABC 。当四面体 PABC 与点 P 无限接近时，平面 ABC 上的平均应力就成为上述斜截面上的应力。

图2 - 13 四面体斜截面上的应力

令平面 ABC 的外法线为 n′ ，则方向余弦为

cos（ n′ ， x ）= l ，cos（ n′ ， y ）= m ，cos（ n′ ， z ）= n

设△ ABC 的面积为d S ，则△ PBC 、△ CPA 、△ APB 的面积分别为 l d S 、 m d S 和 n d S 。四面体 PABC 的体积用d V 代表。△ ABC 上的全应力 p 在坐标轴上的投影分别为 p _x 、 p _y 和 p _z 。根据四面体的平衡条件，并用 px 和 p _y 分别代表斜面 AB 上的全应力 p 在 x 轴及 y 轴上的投影。设斜面 AB 的长度为d s ，则 PB 面及 PA 面的长度分别为 l d s 和 m d s ，则 PAB 的面积为 l d sm d s/ 2。将垂直于图平面的尺寸取为1，由平衡条件Σ F _x =0，可得Σ F _x =0，即

p _x d S - σ _x l d S - τ _yx m d S - τ _zx n d S + f _x d V =0

除以d S ，整理得

当四面体 PABC 与 P 点无限接近时，由于d V 是比d S 更高一阶的微量，所以趋向于零。于是得出式（2 - 36）中的第一式，其余两式可分别由平衡方程Σ F _y =0及Σ F _z =0得出

设△ ABC 上的正应力 σ _n ，则有

σ _n = lp _x + mp _y + np _z

将式（2 - 36）代入，并分别用 τ _xy 、 τ _yz 和 τ _zx 替代 τ _yx 、 τ _zy 和 τ _xz ，可得

σ _n = σ _x l ² + σ _y m ² + σ _z n ² +2 mnτ _yz +2 lnτ _zx +2 lmτ _xy （2 - 37）

设△ ABC 上的切应力为 τ _n ，则由于

于是有

由式（2 - 37）和式（2 - 38）可知，在物体内的任意一点，如果已知坐标面上的六个应力分量 σ _x 、 σ _y 、 σ _z 、 τ _xy 、 τ _yz 和 τ _zx ，就可以求得任一截面上的正应力和切应力。

设经过任一点 P 的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在点 P 的一个主应力，该斜面称为在点 P 的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在点 P 的一个应力主向。

假设在点 P 有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为

p _x = lσ ， p _y = mσ ， p _z = nσ

将式（2 - 36）代入上式，可得

此外，还有方向余弦的关系式

l ² + m ² + n ² =1 （2-39b）

如果将式（2 - 39a）与式（2 - 39b）联立求解，就能够得到 σ 、 l 、 m 和 n 的一组解答，就得到点 P 的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。下面进行求解分析。

将式（2 - 39a）化为

这是 l 、 m 、 n 的三个齐次线性方程。因为由式（2 - 39b）可知 l 、 m 和 n 不能全为零，所以这三个方程的系数的行列式应该等于零，即

将行列式展开，可得 σ 的三次的特征方程

σ ³ - I ₁ σ ² + I ₂ σ - I ₃ =0

式中，

I ₁ = σ _x + σ _y + σ _z

I ₂ = σ _x σ _y + σ _y σ _z + σ _z σ _x - τ ² _xy - τ ² _yz - τ ² _zx

I ₃ = σ _x σ _y σ _z +2 τ _xy τ _yz τ _zx - σ _x τ ² _yz - σ _y τ ² _zx - σ _z τ ² _xy

特征方程有三个实数根，即 σ ₁ 、 σ ₂ 和 σ ₃ ，代表某点的三个主应力。为了求得与主应力 σ ₁ 相应的方向余弦 l ₁ 、 m ₁ 和 n ₁ ，可以利用式（2 - 39c）中的任意两式，如其中的前两式。由此可得

l ₁ （ σ _x - σ ₁ ）+ m ₁ τ _yx + n ₁ τ _zx =0

l ₁ τ _xy + m ₁ （ σ _y - σ ₁ ）+ n ₁ τ _zy =0

将上列两式均除以 l ₁ ，可得

可以从上两式中解出比值和，结合式（2 - 39b），可解得 l ₁ ，即

并由已知的比值和，即求得 m ₁ 和 n ₁ 。同样，可以求得与主应力 σ ₂ 相应的 l ₂ 、 m 2和 n ₂ ；以及与主应力 σ ₃ 相应的 l ₃ 、 m ₃ 和 n ₃ 。

可以证明：在物体内的任意一点，一定存在三个相互垂直的应力主面和对应的三个主应力 σ ₁ 、 σ ₂ 、 σ ₃ ；三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，最小的一个就是该点的最小正应力；最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应力和最小主应力之差的一半，作用于通过中间主应力并且“平分最大主应力和最小主应力的夹角”的平面上。在物体内的任意一点，三个相互垂直的面上的正应力之和 I ₁ 是不变量，且 I ₁ = σ ₁ + σ ₂ + σ ₃ 。

需要指出的是，应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。

（2）几何方程现在来考察空间问题的几何方面。在空间问题中，形变分量和位移分量应当满足下列6个方程，即空间问题的几何方程

其中，第一式、第二式和第六式已由式（2 - 7）给出，其余三式可以用同样的方法推导出。

附带说明一下体应变的概念。设有微小的正平行六面体，其棱长为d x 、d y 和d z 。在变形之前，它的体积为d x d y d z ；在变形之后，它的体积为（d x + ε _x d x ）（d y + ε _y d y ）（d z + ε _z d z ）。因此，它的每单位体积的体积改变，也就是体应变，为

由于位移和变形是微小的假定，可以略去线应变的乘积项，则上式简化为

θ = ε _x + ε _y + ε _z

将几何方程（2 - 40）中的前三式代入上式，得

它表示体应变和位移分量之间的简单微分关系。

（3）物理方程现在考虑空间问题的物理方面。各向同性体中的形变分量和应力分量之间的关系由式（2 - 8）给出

这是空间问题物理方程的基本形式，其中形变分量是由应变分量表示的，可用于按应力求解的方法。将式（2 - 41）中的前三项相加，得

应用式（2 - 39）并令 Θ = σ _x + σ _y + σ _z ，则上式可以简写为

前面已经说明， θ = ε _x + ε _y + ε _z 是体应变。现在又看到，体应变 θ 和 Θ 成正比。因此， Θ = σ _x + σ _y + σ _z 也就成为体积应力，而 θ 和 Θ 之间的比例常数也就称为体积模量。

为了以后用起来方便，下面来导出物理方程的另一种形式，即将应力分量用形变分量来表示。

由式（2 - 41）中的第一式，可得

由上式解得 σ _x 为

将由式（2 - 42）得来的代入上式，得

对于 σ _y 和 σ _z ，也可以导出与此相似的两个方程。此外，再由式（2 - 41）求解切应力分量，总共得出如下的6个方程

这是空间问题物理方程的第二种形式，其中应变分量是由形变分量表示的，可用于按位移求解的方法。

2.空间问题的边界条件

对于空间问题，与平面问题一样，当物体处于平衡状态时，除了内部各点的应力状态应满足平衡微分方程以外，在边界上应满足边界条件。

（1）位移边界条件当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 S _u ，则有（在 S _u 上）

式中，（ u ） s 、（ v ） s 和（ w ） s 表示位移的边界值，而 u 、 v 和 w 在边界上是坐标的已知函数。

（2）应力边界条件当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。即若在 S _σ 部分边界上给定了面力分量 f _x （ s ）、 f _y （ s ）和 f _z （ s ），则可以由边界上任意一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系。为此，在边界上任意一点 P 取出一个类似于图2 - 13的微分体。这时，斜面 ABC 就是变截面，在此面上的应力分量 p _x 、 p _y 和 p _z 应代换为面力分量 f _x 、 f _y 和 f _z 。结合式（2 - 36）得出平面问题的应力边界条件（在 S _σ 上）为

式中， f _x （ s ）、 f _y （ s ）和 f _z （ s ）在边界上是坐标的已知函数； l 、 m 和 n 是边界面外法线的方向余弦。

总结起来，对于空间问题，我们共有15个未知函数：6个应力分量 σ _x 、 σ _y 、 σ _z 、 τ _xy （= τ _yx ）、 τ _yz （= τ _zy ）和 τ _zx （= τ _xz ）；6个形变分量 ε _x 、 ε _y 、 ε _z 、 γ _xy 、 γ _yz 和 γ _zx ；3个位移分量 u 、 v 和 w 。这15个未知函数在弹性体区域内应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程[式（2 - 35）]；6个几何方程[式（2 - 40）]；6个物理方程[式（2 - 41）或式（2 - 43）]。此外，在给定约束位移的边界 S _u 上，应满足位移边界条件式（2 - 44）；在给定面力的边界上，还应满足应力边界条件式（2 - 45）。

2.3.2 空间问题求解

在建立了弹性力学空间问题的基本方程和边界条件之后，像解决平面问题一样，也采用类似于代数方程中的消元法进行求解。下面分别对位移法和应力法进行介绍。

1.位移法

按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。对空间问题来说，这就要从15个基本方程中消去应力分量和形变分量，得出只包含3个位移分量的微分方程，推导如下。

将几何方程（2 - 40）代入物理方程（2 - 43），得出用位移分量表示的应力分量方程

式中，。

将式（2 - 46）代入平衡微分方程（2 - 35），并采用记号，得到

这是用位移分量表示的应力平衡微分方程，也就是按位移求解空间问题时所需用的基本微分方程。

2.应力法

按应力求解问题，是取应力分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解应力的基本微分方程和相应的边界条件。对空间问题来说，这就要从15个基本方程中消去位移分量和形变分量，得出只包含6个应力分量的微分方程。因为平衡微分方程中本来就不包含位移分量和形变分量，所以只需从几何方程和物理方程中消去这些分量，推导如下。

首先从几何方程中消去位移分量，为此，将式（2 - 40）中第二式左边对 z 的二阶导数与第三式左边对 y 的二阶导数相加，得

由式（2 - 40）中的第四式可见，上式右边括弧内的表达式就是 γ _yz ，于是由上式及其余两个相似的方程式得

这是表明变形协调条件的一组方程，也就是一组所谓的相容方程。

将式（2 - 40）中的后三式分别对 x ， y 和 z 求导，得

并由此而得

于是由上式和其余两个相似的方程可得

这又是一组相容方程。

通过与上述相似的微分步骤，可以导出无数多的相容方程，都是形变分量所应当满足的。但是，可以证明，如果6个形变分量满足了相容方程[式（2 - 48）和式（2 - 49）]，就可以保证位移分量的存在，也就可以用几何方程（2 - 40）求得位移分量。

将物理方程（2 - 41）代入相容方程[式（2 - 48）和式（2 - 49）]，得出用应力分量表示的相容方程为

利用平衡微分方程（2 - 35），可以化简上式，使得每一式中包含体积应力和一个应力分量。当然，体力分量将在所有各式中出现。这样就得出米歇尔所推导的相容方程，即米歇尔相容方程

式中，。

在体力分量为零或常量的情况下，式（2 - 50）可以简化为贝尔特拉米所推导的相容方程，即贝尔特拉米相容方程

按应力求解空间问题时，须使得6个应力分量在弹性体区域内满足平衡微分方程（2 - 35），满足相容方程[式（2 - 50）或式（2 - 51）]，并在边界上满足应力边界条件（2 - 45）。

由于位移边界条件难以用应力分量及其导数来表示，因此，位移边界问题和混合边界问题一般不能按应力求解而得到精确的函数式解答。

此外，按应力求解多连体问题时，仍然应考虑位移的单值条件。

2.3.3 柱坐标系

在空间问题中，描述问题中的应力、形变及位移时，在某些情况下（如减振器节流阀片变形和应力问题），采用柱坐标系（ ρ ， φ ， z ）往往使问题得以简化。如图2 - 14所示，如果弹性体所有的应力分量、形变分量及位移分量都只是 ρ 和 z 的函数，而不随 φ 改变，则此种问题称为空间轴对称问题。轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体，如果随着 φ 改变，也就相应地称为空间非轴对称问题。

下面导出空间轴对称问题的基本方程。

首先导出轴对称问题的平衡微分方程。

图2 - 14 弹性体在柱坐标系下的受力情况

如图2 - 14所示，用相距d ρ 的两个圆柱面，互成d φ 角的两个铅直面及相距d z 的两个水平面，从弹性体中割取一个微小六面体 PABC 。沿着 ρ 方向的正应力，称为径向正应力，用 σρ 表示；沿 φ 方向的正应力称为环向正应力，用 σ _φ 表示；沿着 z 方向的正应力，称为轴向正应力，仍然用 σ _z 表示；作用在圆柱面上而沿着 z 方向的切应力用 τ _ρz 表示，作用在水平面上而沿着 ρ 方向的切应力用 τ _z ρ 表示。根据切应力互等定理， τ _ρz = τ _zρ 。由于对称性， τ _ρφ = τ _φρ 及 τ _zφ = τ _φz 都不存在。这样，总共有4个应力分量： σ _φ 、 σ _ρ 、 σ _z 和 τ _ρz （= τ _zρ ），一般都是 ρ 和 z 的函数。

如果六面体的内圆柱面上的正应力为 σ _ρ ，则由于应力随坐标 ρ 的变化，外圆柱面上的正应力为。如果六面体下面的正应力为 σ _z ，则上面的正应力为。同样，内面及外面的切应力分别为 τ _ρz 及，下面和上面的切应力分别为 τ _zρ 和。径向的体力分量用 fρ 表示，轴向的体力分量用 f _z 表示。