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1.前、后两车轮输入的功率谱密度与互谱密度
上面只讨论了一个车轮的自功率谱，如果考虑前、后车轮两个输入时，还要研究两个输入之间的互功率谱问题。如图3-3所示， x （ I ）为前轮遇到的不平度函数，假定前、后轮走同一个车辙，则后轮只是比前轮滞后一段长度 I （轴距），因而后轮不平度函数为 x （ I - l ）。
图3-3 前、后车轮的两个输入
如令 x （ I ）的傅里叶变换为 X （ n ），即
F [ x （ I ）]= X （ n ） （3-14）
则根据傅里叶变换的性质可得
F [ x （ I - l ）]= X （ n ）e -j2π nl （3-15）
如果激励前、后轮的道路谱的自谱、互谱分别用 G 11 （ n ）、 G 22 （ n ）、 G 12 （ n ）和 G 21 （ n ）表示，则有
式中， L 为路面长度 I 方向上的分析距离， X *（ n ）为 X （ n ）的共轭复数。以上各式也可以写成矩阵形式，即
写成时间频率的功率谱则为
2.四轮输入时的功率谱密度与互谱密度
图3-4所示为四轮输入示意图。四车轮输入时，如果 x （ I ）、 y （ I ）分别为左前轮和右前轮遇到的不平度函数，则左后轮和右后轮不平度函数分别为 x （ I - l ）、 y （ I - l ）。
根据不平度函数的傅里叶变换与功率谱之间关系，可得四个车轮输入的自功率谱和四个车轮彼此间输入的互功率谱，共16个谱量 G ik （ n ）（ i ， k =1，2，3，4），为
图3-4 四轮输入示意图
因此，四个车轮输入的自功率谱和互功率谱，共16个谱量分别为
两个轮迹之间不平度的统计特性，用它们之间的互功率谱密度函数或相干函数来描述。互谱密度一般为复数，用指数形式表示时，左、右轮迹间的互谱可以表示为
式中， G xy （ n ）为 x （ I ）与 y （ I ）的互振幅功率谱； ϕ xy （ n ）为 x （ I ）与 y （ I ）的互相位谱。
两个轮迹的相干函数，可表示为
相干函数coh 2 xy （ n ）在频域内描述了 x （ I ）与 y （ I ）中频率为 n 的分量之间线性相关的程度。当coh 2 xy （ n ）=1时，表明对 x （ I ）与 y （ I ）中频率为 n 的分量之间幅值比和相位差保持不变，即完全线性相关；当coh 2 xy （ n ）=0时，表明 x （ I ）与 y （ I ）中频率为 n 的分量之间幅值比和相位差是完全无关地随机变化的。
当两个轮迹 x （ I ）与 y （ I ）的统计特性相同，即 G xx （ n ）= G yy （ n ）= G q （ n ），且相位差在 ϕ xy （ n ）=0时，由式（3-25）可得
G xy （ n ）= G yx （ n ）=coh xy （ n ） G q （ n ） （3-26）
路面对四轮汽车输入的谱矩阵可以表示为
