2.3.2 双质量无阻尼系统的自由振动

当系统可以不计阻尼时，则双质量系统的自由振动微分方程变为

由运动方程可以看出， m ₂ 与 m ₁ 的振动是相互耦合的。若 m ₁ 不动（ z ₁ =0），则有

这相当于只有车身质量 m ₂ 的单质量无阻尼自由振动。其固有圆频率为

同样，若 m ₂ 不动（ z ₂ =0），相当于车轮质量 m ₁ 作单自由度无阻尼自由振动，于是可得

车轮部分固有圆频率为

固有圆频率 p ₀ 与 p _t 是只有单独一个质量（车身质量或车辆质量）振动时的部分频率，称为偏频。

在无阻尼自由振动时，车身质量和车轮质量将以相同的圆频率 ω 和相角 φ 作简谐振动，设车轮和车身的振幅分别为 z ₁₀ 和 z ₂₀ ，则它们的振动响应分别为

将式（2-54）和式（2-55）代入振动微分方程组（2-51），可得

将 k/m ₂ = p ² ₀ 、（ k + k _t ） /m ₁ = p ² _t 代入式（2-56），可得

此方程组有非零解的条件是 z ₂₀ 、 z ₁₀ 的系数行列式为零，即

得系统的特征方程为

方程（2-58）的两个根为二自由度系统的两个主频率 ω ₁ 和 ω ₂ 的平方

将 ω ₁ 和 ω ₂ 代入式（2-57）中的任何一式，可得一阶主振型和二阶主振型，即

一阶主振型：

二阶主振型：

例如，某汽车车身固有圆频率 p ₀ =2πrad/s，质量比 r _m = m ₂ /m ₁ =10，刚度比 r _k = k _t /k =9，求系统的主频率和主振型。

由式（2-53）可得车轮的固有频率为

由式（2-59）可得系统两个主频率分别为

ω ₁ =0.95 p ₀ ， ω ₂ =10.01 p ₀

由此可见，低的主频率 ω ₁ 与车身固有圆频率 p ₀ 接近，高的主频率 ω ₂ 与车轮固有圆频率 p _t 接近，且有 ω ₁ ＜ p ₀ ＜ p _t ＜ ω ₂ 。

将两个主频率 ω ₁ 和 ω ₂ 分别代入式（2-60）和式（2-61），可确定两个主振型为一阶主振型：

二阶主振型：

车身与车轮两个自由度系统的主振型如图2-12所示。在强迫振动情况下，激振频率 ω 接近系统主频率 ω ₁ 时将产生低频共振，按一阶主振型振动，车身质量 m ₂ 的振幅比车轮质量 m ₁ 的振幅大将近10倍，所以主要是车身质量 m ₂ 在振动，故称为车身型振动。

当激振频率 ω 接近系统主频率 ω ₂ 时，产生高频共振，按二阶主振型振动，此时车轮质量 m ₁ 的振幅比车身质量 m ₂ 的振幅大将近100倍（实际由于阻尼存在而不会相差这样多），故称为车轮振型振动。

图2-12所示为二自由度系统的车轮振型振动，由于车身基本不动，所以可简化为图2-13所示的车轮部分的单质量系统，下面来分析车轮部分在高频共振区的振动。由图2-13可知，车轮质量 m ₁ 的运动方程为

利用对单自由度系统的一般解法，可求得车轮位移 z ₁ 对路面激励 q 的频率响应函数为

将上式分子、分母除以 k + k _t ，并把车轮部分固有频率 p _t 、车轮部分阻尼比 以及 λ _t = ω/p _t 代入，可得

其幅频特性为

在高频共振 ω = p _t 时，车轮的加速度均方根值谱 正比于车轮响应加速度 对路面激励速度 的幅频特性，即

由式（2-64）可见，降低轮胎刚度 k _t 能使车轮固有圆频率 p _t 下降，使簧下质量系统的阻尼比 ξ _t 加大，这是减小车轮部分高频共振时加速度的有效方法。降低非悬架质量 m ₁ ，会使 p _t 和 ξ _t 都加大，车轮部分高频共振时的加速度基本不变，但车轮部分动载 下降，车轮相对动载 F _d /G 降低，有利于提高车辆行驶安全性。 UhYZqlNADxJG/13gxG1bG59FEJLHMs/BeVY4UqGJ7HiXJvZaaZQDPFCSOsQ/VJGN