2.2.3 单质量系统在简谐激振力下的响应

由于阻尼会使自由振动逐渐衰减，最后达到完全停止。工程上一些能持续下去的振动必定有外加能源，以弥补阻尼所消耗的能量，使系统的振动不会衰减。因此，工程上多采用强迫振动的响应。

若简谐激振力 f （ t ）= F ₀ sin ωt ，则根据牛顿第二定律，可得单质量振动系统在简谐激振力 f （ t ）= F ₀ sin ωt 作用下的振动微分方程，可表示为

式（2-19）可写为

式中， ， ； 。

振动微分方程式（2-20）的解包括两部分：齐次方程的通解 z ₁ 和方程的特解 z ₂ ，即

z = z ₁ + z ₂

由2.2.2节可知，在弱阻尼（ ξ ＜1）的情况下，有阻尼自由振动齐次方程的解 z ₁ 为

式（2-21）代表的是一种衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，故为瞬态振动。在一般情况下实际工程意义不大，可以不予考虑。

振动微分方程式（2-20）的特解 z ₂ ，代表系统在简谐激振下所产生的强迫振动，它是一种持续的等幅振动，故为稳态振动。设特解 z ₂ 为

z ₂ = Z sin（ ωt - ψ ） （2-22）

式中， Z 为振动响应的幅值； ω 为激振力圆频率，也是振动响应的圆频率； ψ 为响应滞后于激励的相位差。

又因为

将式（2-22）～式（2-24）代入微分方程（2-20），可得

- ω ² Z sin（ ωt - ψ ）+2 ξpωZ cos（ ωt - ψ ）+ p ² Z sin（ ωt - ψ ）= F sin ωt （2-25）

利用三角函数关系得

F sin ωt = F sin[（ ωt - ψ ）+ ψ ]= F cos ψ sin（ ωt - ψ ）+ F sin ψ cos（ ωt - ψ ）（2-26）

比较式（2-26）和式（2-25），由于对任何瞬时 t 都成立，故sin（ ωt - ψ ）和cos（ ωt - ψ ）前的系数必须分别相等，即

（ p ² - ω ² ） Z = F cos ψ

2 ξpωZ = F sin ψ

因此，可得

式中， 为频率比； ，为系统的最大静位移。

因此，强迫振动的稳态解为

由上述强迫振动解可见：在简谐激振力作用下，强迫振动响应为也简谐振动，其频率与激振频率 ω 相同，但相位角滞后 ψ ，这是由于阻尼存在的关系。振幅 Z 与相位差 ψ 都只与系统固有特性及激振力的性质有关，而与初始条件无关。

由式（2-29）可得 Z 与 Z ₀ 之比 β ， β 称为放大因子，为

放大因子 β 代表稳态振幅 X 与激振力幅 F ₀ 作用于弹簧上的静位移 Z ₀ 之比。 β 值不仅随 λ 而变，而且还随 ξ 值而变。

在不同的阻尼比 ξ 的情况下，放大因子 β 与频率比 λ 的关系以及相位角 ψ 与 λ 的关系，如图2-8和图2-9所示。其中，图2-8所示为幅频响应曲线，而图2-9所示为相频响应曲线。

1）当 λ ≪1，即激振频率 ω 远小于系统的固有频率 p 时，无论阻尼大小如何， β 接近于1，即振幅近似等于激振力幅值 F ₀ 作用下的静变形 X ₀ 。故在低频区内，振幅 X 主要由弹簧刚度控制。此时，相位差 ψ ≈0，即位移与激振力接近于同相位。

2）当 λ ≫1，即激振频率 ω 远大于系统的固有频率 p 时， β 趋近于0。因为激振力方向改变太快，振动物体由于惯性来不及跟随，几乎停止不动。故在高频区内，振幅 X 主要决定于系统的惯性。这一特性正是隔振和惯性传感器的理论依据。相位差 ψ ≈π，即在高频范围内位移与激振力接近于反相位。

3）当 λ ≈1时，即 ω 接近 p ，振幅 Z 急剧增加， β 趋向 β _max ，这种现象称为共振。严格地讲， β _max 发生在 处，但通常 ξ ² ≪1，故 ω = p 时系统发生共振。由式（2-18）可以看出，振幅 Z 达到最大值 时，由式（2-28）得 。

可见在共振时，振幅最大值 Z _max 与阻尼比 ξ 的值有关， ξ 越小，则 Z _max 将越大；在 ξ →0时， Z _max 可达到无穷大。但共振时的 ψ 值与阻尼比 ξ 的值无关，不论 ξ 为何值，共振时的 ψ 总是 ，这是共振的一个重要特征。从分析幅频响应与相频响应所引出的共振现象，是传统的共振试验法测定系统固有频率的理论基础。 BIQw3tx0nlQaLBD3UKF87BBKCwUt3+ZWLfWUb1Tr8oegUrelBAI+Km1l6rkJ/obm