习题

一、单项选择题

（A）

1．函数 的定义域是（　）．

A．（-∞，1]

B．[1，+∞）

C．（-∞，1）∪（1，+∞）

D．（-1，1）

2． =（　）．

A．

B．-3

C．0

D．∞

3．函数 y =|sin2 x |的最小周期是（　）．

A．2π

B．π

C．

D．

4． =（　）．

A．1

B．2

C．-2

D．不存在

5． =（　）．

A．0

B．

C．

D．∞

6． =（　）．

A．e ^-1

B．e

C．1

D．0

7．如果 ，那么常数 c =（　）．

A．3ln2

B．

C．3ln6

D．e ³

8．函数 在 x =0处（　）．

A．极限不存在

B．极限为1

C．连续

D．极限存在但不连续

9．设 存在，则 a =（　）．

A．

B．2

C．ln2

D．-ln2

10．当 x →1时，下列变量中不是无穷小的是（　）．

A． x ² -1

B． x （ x -2）+1

C．3 x ² -2 x -1

D．4 x ² -2 x +1

11．函数 的间断点是（　）．

A． x =1

B． x =-1

C． x =0

D． x =1或 x =-1

12． =（　）．

A．1

B．-1

C．0

D．∞

13． =（　）．

A．e ³

B．e ^-3

C．

D．

14． ，则 k =（　）．

A．

B．

C．

D．

15．函数 y = f （ x ）在 x = x ₀ 点处有定义是它在该点处连续的（　）．

A．必要条件

B．充分条件

C．充要条件

D．无关条件

16．函数 ，在 x =1处间断是因为（　）．

A． f （ x ）在点 x =1处无定义

B． 不存在

C． 不存在

D． 不存在

17．当 x →0时，下列等价无穷小错误的是（　）．

A．sin x ～ x

B．tan x ～ x

C．

D．e ^x -1～ x

18．若当 x →0时， 与 为等价无穷小，则 a =（　）．

A．2

B．3

C．6

D．1

19． =（　）．

A．0

B．1

C．2

D．不存在

20． x =0是函数 的（　）．

A．可去间断点

B．跳跃间断点

C．无穷间断点

D．连续点

（B）

21． y = x ² +1， x ∈（-∞，0]的反函数是（　）．

A．

B．

C．

D．

22．当 x →∞时，下列函数有极限的是（　）．

A．sin x

B．

C．

D．arctan x

23．已知以下四数列．

（1） =2；（2） ；（3） ；（4） 其中收敛的是（　）．

A．（1）

B．（1）（2）

C．（1）（4）

D．（1）（2）（3）

24．从 =1不能推出（　）．

A．

B．

C． f （ x ₀ ）=1

D．

25．当 x →∞时，函数 f （ x ）= x +cos x 是（　）．

A．无穷小量

B．无穷大量

C．有极限且极限不为0

D．有界函数

26．函数 的间断点的个数是（　）．

A．0

B．1

C．2

D．3

27． =（　）．

A．2

B．0

C．∞

D．不存在但也不为无穷大

28．设函数 ，讨论 f （ x ）的间断点，其结论为（　）．

A．不存在间断点

B．存在间断点 x =1

C．存在间断点 x =0

D．存在间断点 x =-1

29． 则 k =0是 存在的（　）．

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．无关条件

30．设 ，则 a 、 b 的值分别是（　）．

A． a =1， b =2

B． a =0， b =2

C． a =ln2， b =0

D． ， b 任意值

二、填空题

1．函数 的定义域是（　）．

2．已知 f （ x -1）= x ² +2 x ，则 f （ x ）=（　）．

3． =（　）．

4． =（　）．

5．设 ，若 f （ x ）在 x =0处连续，则 a =（　）．

6． =（　）．

7．当 x →0时，tan x -sin x 为 x 的（　）阶无穷小量．

8． =（　）．

9．设函数 ，则 a =（　）时， 存在．

10． a =（　）时，使函数 ，在 x =0点连续．

三、判断题

1．函数 y =sin x 在[0， π ]上单调增加．（　）

2． y = x ² ， x ∈（0，+∞）是偶函数．（　）

3． 与 y = x +1是不相同的函数．（　）

4． 不能复合成复合函数．（　）

5．奇函数与奇函数之积仍为奇函数．（　）

6．如果 = A 存在，那么函数 f （ x ）在点 x ₀ 处一定有定义．（　）

7．若 = A 存在，那么 和 一定存在．（　）

8．若函数 f （ x ）在点 x ₀ 处极限存在，则 f （ x ）在 x ₀ 处连续．（　）

9．tan x 与sin x 是 x →0时的等价无穷小．（　）

10．无界函数一定是无穷大量．（　）

四、计算及证明题

（A）

1．求下列函数的定义域．

① ② y = a ln（ bx - c ）（ ab ≠0）．

2．判断下列各对函数是否相同．

① ， g （ x ）=1；　② f （ x ）=ln ， g （ x ）=2ln x ；

③ f （ x ）= ， g （ x ）= x ；　④

3．已知 ，求 f （0.5）， f （-0.5）．

4．求下列函数的反函数．

① ②

5．已知 ，求 f （0.5）， f [ f （ x ）]，

6．某商品供给量 Q 对价格 P 的关系为：

Q = Q （ p ）= a + b × c ^p

若当 P =2时， Q =30；当 P =3时， Q =50；当 P =4时， Q =90．求供给量 Q 对价格 P 的函数关系．

7．把下列函数分解成若干基本初等函数．

① y =arctan（ x ² ）；　　　②

③ ④ y =lnsin x ．

8．设 f （ x ）的定义域 D =[0，1]，求下列各函数的定义域．

① f （ x ² ）；　　　　② f （sin x ）；

③ f （ x + a ）（ a ＞0）；　　④ f （ x + a ）+ f （ a - x ）（ a ＞0）．

9．设

求 f [ g （ x ）]和 g [ f （ x ）]，并做出这两个函数的图形．

10．计算 ，当 x →0时的左、右极限，并说明在 x →0时，它们的极限是否存在．

11．求下列极限．

12．指出下列函数在指定条件下，是否无穷小、无穷大．

① ②

③lg x （ x →0 ⁺ ）；　　　④2 x +5（ x →-∞）；

⑤1-cos2 t （ t →0）；　　　⑥2 ^x -1（ x →0-）．

13．在 x →1时，指出无穷小 对于1- x 的阶．

14．已知 +3 qx +5， x →+∞，问 p 、 q 取何值时， y 为无穷小？ p 、 q 取何值时， y 为无穷大？

15．当 x →0时，下列无穷小量与 x 相比，是什么阶的无穷小量？

① x ³ +1000 x ；　　②

③ x +sin x ² ；　　　④

⑤ ⑥ln（1+2 x ）．

16．设

分别讨论 x →0及 x →1时， f （ x ）的极限是否存在？

17．设

讨论 x →0及 x →2时， f （ x ）的极限是否存在？并且求

18．已知 =4， =1， =0，求下列极限．

19．若 =4，求 k 的值．

20．若 =5，求 a 、 b 的值．

提示： =0，将 a 、 b 的关系式代入原式，从分子中分解出（ x -1）的因子．

21．若 =0，求 a 、 b 的值．

提示：先通分．

22．求下列极限．

23．求下列极限．

24．给 f （0）补充定义一个什么数值，能使 f （ x ）在点 x =0处连续？

25．求下列极限．

（B）

26．求下列函数的极限．

27．设 具有极限 L ，试求 a 与 L 的值． 0qWvocmSt6eyoND6ucVbxwpTOB8OmU88+4NBp9YoqA3WCr58nrBhaIhPGT8ITttY