参考答案

一、单项选择题

（A）

1.D 2.C 3.B.4.C 5.D 6.C 7.D 8.D 9.B 10.B 11.B 12.A 13.B 14.D 15.C 16.A 17.D 18.D 19.A 20.D

（B）

21．正确答案C

22．正确答案D

，则 对于 ，用重要极限1来求．

23．正确答案B

故 f （ x ）在点 x =1处的左导数存在，但右导数不存在．

24．正确答案D

因为 =-1，所以 =-1+ α （ x ），其中 =0，进而 f （ x ）=- x + x · α （ x ），又因为 f （ x ）连续，则 [- x + xα （ x ）]= f （0）=0，故 =-1，代入切线方程得 y -0=-1（ x -0），即 y =- x ．

25．正确答案C

26．正确答案A

由导数的几何意义， ，解得： 或 x =1，对应的点为（1，0）或 ．

27．正确答案B

，

由于 =0，而 是有界函数，所以

28．正确答案D

该题是函数关于自变量 x ³ 求导，令 u = x ³ ，则

29．正确答案C

因为 f' （ x ）=e ^{f （ x ）} ， f （2）=1，故 f' （2）=e ^{f （2）} =e，

f'' （ x ）=（e ^{f （ x ）} ）'=e ^{f （ x ）} · f' （ x ）， f'' （2）=e ^{f （2）} · f' （2）=e×e=e ² ，

f‴ （ x ）=（e ^{f （ x ）} · f' （ x ））'=e ^{f （ x ）} ·[ f' （ x ）] ² +e ^{f （ x ）} · f'' （ x ），

f‴ （2）=e ^{f （2）} ·[ f' （2）] ² +e ^{f （2）} · f'' （2）=e·e ² +e·e ² =2e ³ ．

30．正确答案A

由反函数的求导公式，有 ，也可以用隐函数的求导方法对 两边关于 y 求导得到．

二、填空题

1. f' （ x ）  2.2cot x 3 4. 5.

6. f' （e ^x ）e ^x d x 7.cos（sin x ）cos x d x 8.-4  9.

10.

三、判断题

1.错 2.对 3.错 4.错 5.对 6.对 7.错 8.错 9.错 10.错

四、计算及证明题

（A）

1．

① y' =（4 x ³ +2 x -1）'=12 x ² +2；

②

③

④ y' =[（ x ² +3）tan x ]'=（ x ² +3）'tan x +（ x ² +3）（tan x ）'=2 x tan x +sec ² x （ x ² +3）；

⑤

⑥∵

∴

⑦

⑧ y' =（sec x tan x +csc x cot x ）'=（sec x tan x ）'+（csc x cot x ）'

=（sec x ）'tan x +sec x （tan x ）'+（csc x ）'cot x +csc x （cot x ）'

=sec x tan ² x +sec ³ x -csc x cot ² x -csc ³ x ；

⑨

⑩∵

∴

2．

∵ f' （ x ）=（cos x ）'sin x +cos x （sin x ）'=cos2 x

∴ f ' （0）=cos（2·0）=1， =-1．

3．

∵

∴

4．

∵ y' =（4 x ² +4 x -3）'=8 x +4

∴（1，5）点处切线的斜率为： k = y' （1）=8+4=12，法线斜率为： ．故（1，5）点处的切线方程为： y -5=12（ x -1），即 y =12 x -7．法线方程为： y -5= （ x -1），即 y =

5．

v = v （ t ）= s' （ t ）=1+cos t ， a = s'' （ t ）= v' （ t ）=-sin t ．

6．

⑨先化简 y =

⑩

7．

①等式两边对 x 求导，得到：2 yy' = ap

故

②等式两边对 x 求导，得到：2 x +2 yy' - x'y - xy' =0， y' （2 y - x ）= y -2 x

故

③等式两边对 x 求导，得到：3 x ² +3 y ² · y' -3 a （1· y + x · y' ）=0

故

④等式两边对 x 求导， y' =（1- x e ^y ）'， y' =-（e ^y + x e ^y · y' ）， y' （1+ x e ^y ）=-e ^y

故

8．

①等式两边取对数，ln xy =ln（ x +1） ² （ x -2） ³ ，ln x +ln y =2ln（ x +1）+3ln（ x -2）

等式两边对 x 求导，

故

②等式两边取对数，ln y =ln（ x +1）+ln（ x -2）-ln（ x +3）-ln（ x -4）

等式两边对 x 求导，

故

③等式两边取对数， x ln y = y ln x

等式两边对 x 求导，

故

④等式两边取对数， y =ln x +ln y

等式两边对 x 求导，

9．

①逐阶计算导数， y' =e ^x sin x +e ^x cos x

y'' =e ^x sin x +e ^x cos x +e ^x cos x -e ^x sin x =2e ^x cos x ；

②逐阶计算导数， y' =2 x e ^{- x} - x ² e ^{- x}

y'' =2e ^{- x} +2 x （-e ^{- x} ）-2 x e ^{- x} - x ² （-e ^{- x} ）=e ^{- x} （ x ² -4 x +2）；

③逐阶计算导数，

y'' =4- x ^-2 ；

④逐阶计算导数， y' =- ab sin bx

y'' =- ab ² cos bx ．

10．

u' =（ u ₀ e ^{- kt} ）'=- ku ₀ e ^{- kt}

故物体的冷却速率为 v （ t ）=- ku ₀ e ^{- kt} ．

11．

血药浓度的变化率 C' （ t ）= a （- k e ^{- kt} + m e ^{- mt} ）．

12．

水槽截面如图所示．建立坐标系，设水面高 x （m），水槽中水的体积为 等式两边对 t 求导，得

∵

故当 x =2m时， ．

13．

14．

①d（3 x + C ）=3d x ；

②d（ x ² + C ）=2 x d x ；

③d（e ^x + C ）=e ^x d x ；

④d（-cos t + C ）=sin t d t ；

⑤

⑥d（tan x + C ）=sec ² x d x ．

15．

16．

①设 f （ x ）=e ^x ，则 f （ x ）=e ^x

当| x |很小时，由近似公式 f （ x ）≈ f （0）+ f' （0） x ，得：e ^x ≈e ⁰ +e ⁰ x =1+ x ；

②设 f （ x ）=（1+ x ） ⁿ ，则 f' （ x ）= n （1+ x ） ^{n -1}

当| x |很小时，由近似公式 f （ x ）≈ f （0）+ f' （0） x ，得：

（1+ x ） ⁿ ≈（1+0） ⁿ + n （1+0） ^{n -1} x =1+ nx ；

③设 f （ x ）=tan x ，则 f' （ x ）=sec ² x

当| x |很小时，由近似公式 f （ x ）≈ f （0）+ f' （0） x ，得：tan x ≈tan0+sec ² 0· x = x ；

④设 f （ x ）=ln（1+ x ），则

当| x |很小时，由近似公式 f （ x ）≈ f （0）+ f' （0） x ，得：ln（1+ x ）≈ln（1+0）+

17．

①设 f （ x ）=e ^x ，则 f' （ x ）=e ^x

由近似公式 f （ x ₀ +Δ x ）≈ f （ x ₀ ）+ f' （ x ₀ ）Δ x 得：

，令 x ₀ =1，Δ x =0.01，于是e ^1.01 ≈e+e·0.01=e·1.01≈2.745；

②设 f （ x ）= ，则

由近似公式 f （ x ₀ +Δ x ）≈ f （ x ₀ ）+ f' （ x ₀ ）Δ x 得：

，令 =1000，Δ x =-2，于是 ≈9.993．

18．

球的体积公式： V = ， V' = ，当Δ R 很小时，Δ V ≈d V = ，取 =1，Δ R =0.015，则球壳的体积是：

Δ V ≈4π×1 ² ×0.015=4×3.14×1×0.015≈0.1884（m ³ ）．

19．

球的体积公式： ，

，于是

（B）

21．方程化为

方程两边对 x 求导得

由 ，可得

化简得

x + yy' = xy' - y ，

23．对等式两边取对数得ln y = x [ln x -ln（1+ x ）]，两端对 x 求导，得 1CUWLWPITcjnH7lvum6TdOY1GMa96FkktgLv7gXEIlzfRkxP+CIFiJG3UkcAOGlR