第4节
赛博普适性

如果说前面三节介绍的赛博不变性只是相对的（因为它们只是比值不变，自身的值是会变化的），那么本小节将介绍一个更加出人意料的绝对不变性，也称为普适性。它们揭示了赛博的一些重要普适规律，如果使用得当，将对赛博管理发挥巨大作用。

由第3章可知，如果以牺牲一定的精度为代价，那么赛博管理学所涉及的赛博系统，经过工程简化I和工程简化II后，就变为

其中， a 是常数。将 y 的函数 J （ y ， a ）按泰勒级数展开，由本章第1节知道，如果舍弃该泰勒级数的所有高次项，只保留1次项，那么，该赛博系统的运行规律将满足结论4.1和结论4.3所显示的相对不变性；当然，此时是误差最大（因为舍弃最多）的情况。幸好过去半个多世纪以来，摩尔定律的预测准确性已表明：在泰勒级数中即使只保留1项，其误差度基本上也是可接受的。

如果既要提高精确度，又要使得理论分析可行，那么就可以保留上述泰勒级数中的前2项，即1次项和2次项，于是，此时的赛博系统就变为

而结论4.2已经给出了它的S形曲线变化规律，下面继续揭示它的某些普适不变规律。为了数学分析方便，我们将此时的赛博系统等价地写为

离散形式可写为

J ( n +1)= aJ ( n )[1- J ( n )]

它显然就是本书第3章第3节的逻辑斯谛（Logistic）赛博链，不过此处重点介绍它的普适性。

为了读者阅读方便，首先归纳和回顾第3章中的某些概念。设 x ₀ ∈ I 是区间自映射 f ： I → I 的不动点，即

f ( x ₀ )= x ₀

当 f 导数的绝对值

| f ′（ x ₀ ）|＜1（或＞1）

时， x ₀ 是稳定的（或不稳定的）不动点；此时在 f 迭代的作用下， x ₀ 将吸引（或排斥）它附近的点，此时称 x ₀ 是双曲的，在它的附近 f 是结构稳定的，不会出现分叉。分叉现象将出现在非双曲的情形，即

| f ′( x ₀ )|=1

上述情况，对一般的周期点也类似。

考虑二次映射函数族

J ( y , a )= ay (1- y )

在区间 I =[0，1]上的迭代，即简写为

y _{n +1} = ay _n (1- y _n )

其中， a ∈[0，4]为参数。 J （ y ， a ）有两个不动点

b ₁ =0

和

由于

J' ( y ^* )= a (1-2 y ^* )

所以知道：

当 a ＜1时，只有一个稳定的不动点 b ₁ =0；

当1＜ a ＜3时， b ₁ 变成不稳定的不动点，而 b ₂ 成为了稳定不动点；

当 a ＞3时， b ₂ 变为不稳定不动点，同时，方程

y = J ( J ( y ))= aay (1- y )[1- ay (1- y )]

有两个解：

和

也就是说，出现两个2-周期点（即周期为2的点） b ₊ 和 b _- ；并且，当 a ＜1+ 时， b ₊ 和 b _- 都是稳定的周期点。

如此继续进行数值运算，将发现如下规律：1-周期点（不动点）失稳后（即从稳定点变为不稳定点后），将出现2个稳定的2-周期点；每个2-周期点失稳后，又会出现2个稳定的4-周期点；每个4-周期点失稳后，再出现2个稳定的8-周期点；……；这种现象称为倍周期分叉。每次产生这种“突变”的参数临界值，就叫作分叉点；例如，此例的二次函数中，一分为二（1-周期分为2-周期）的分叉点就是 a ₁ =3；二分为四（2-周期分为4-周期）的分叉点就是

等。这些分叉点的序列{ a _k }由下面的关系确定：

这里 K （ k ）=2 ^{k -1} 。

我们之所以更加关心稳定周期点，是因为这样的点是可被观测的，而且美国物理学家费根鲍姆在1978年还发现了以下非常重要的现象。

结论4.4 （费根鲍姆定理）：

（1）上述的序列{ a _k }是收敛的，并且

（2） 收敛，并且

注意 ：此处的比 与摩尔定律中的比很相似，只是分子和分母颠倒而已；为了形象计，将它称为摩尔比。

可见当参数 a 小于

a _∞ =3.569945672…

但又在不断增大时，区间自映射族在不断产生倍周期分叉；然而，当参数 a 大于

a _∞ =3.569945672…

时，系统将出现混沌现象。结论4.4的这两个常数，具有很好的普适性；尤其是 δ （称为费根鲍姆常数）的普适性更高，它与区间上光滑自映射族的具体形式无关，比如，它对二次单峰函数族仍然有效。

定义4.1 ：函数 f ：[ a ， b ]→[ a ， b ]称为单峰函数，若 f 有唯一的极大值（或极小值）点 c ∈[ a ， b ]，且 f 在（ a ， c ）和（ c ， b ）上严格单调。

于是便有以下的结构普适性：

设 J （ y ， a ）是一族单峰二次函数，即对每个参数 a ，函数 J （ y ， a ）都是二次单峰函数，比如

J ( y , a )= ay (1- y )

就是二次单峰函数族的特例。记 a _k 为第 k 次倍周期分叉点所对应的参数值。那么，与结论4.4类似，此时仍然成立：

（1）序列{ a _k }是收敛的，并且

（2）摩尔比 收敛，并且

从本章第1节和第2节我们已经知道，包括众多的所谓摩尔定律、吉尔德定律、贝尔定律、反摩尔定律、扎克伯格社交分享定律、库梅定律、互联网带宽的尼尔森定律、库伯定律、Edholm 带宽定律、超摩尔定律、新摩尔定律等，它们其实都是一族最简单的映射

只不过相应的参数 a 略有差别而已。

类似地，如果对赛博链

中的泰勒级数只保留前2项，那么，就会得到一族二次映射

所生成的规律。相信今后只要大家多注意，在网络世界中就一定会涌现出更多的、精确度比摩尔定律高的、用二次映射

展现出来的规律。甚至可以预言，互联网世界中的每个人造“指标量”，在一定的时间范围内，在一定的精确度之下，都可用某个映射

来逼近，从而使得相应的管理预测变得非常容易。其实，只需要很少几个采样点数值就行了。而费根鲍姆定理的重要价值在于，赛博管理中千奇百怪的二次映射族的分叉点，可能是相当固定的，即

a _∞ =3.569945672…

并且，这些分叉点的摩尔比例也几乎是常数，即

δ =4.669201609…

再来看看另一种不变性，即标度不变性。

考虑一般的单峰映射族 J （ y ， a ），在其递归

J ^{n +1} ( y , a )= J ( J ⁿ ( y , a ), a )

的分叉图中，存在着明显的无限嵌套自相似几何结构，其示意图如4-1所示。这种嵌套，可以形象地比喻为洋葱头的结构：一层包着一层，里面的形状和外面的基本相同；也可用俄罗斯套娃来比喻。更准确地说，这种无限嵌套的自相似几何结构表明：从1-周期点的失稳到2-周期点失稳，以至随后出现的4-周期点失稳，8-周期点失稳，…，2 n -周期点失稳，3 m 2 n -周期点失稳，5 m 2 n -周期点失稳，…序列每一次都经历了一个分叉，而分叉前后的几何图像又很相似。形象地说，分叉后的细节被放大 α 倍后，看到的几何图像与原来未分叉前的图像是一样的。这相当于只是变动了一下“测量尺子”的精度而已。这种现象称为标度不变性，而这个放大倍数“ α ”就是标度变化因子。费根鲍姆发现，这个 α 竟然是一个常数，即

α =2.502907875

它并不依赖于映射 J （ y ， a ）的具体形式，而只与 J （ y ， a ）的单峰性有关；这种只与图像整体形状有关的普适性，称为“拓扑普适性”。