第1节
摩尔定律揭秘

从本书第2章已经知道，人造系统的运行规律，均可由维纳定律描述；即由各种“反馈、微调、迭代”的赛博链组成。在所有这些人造赛博链中，整体上“反馈最及时、微调最精准、迭代最迅速”的系统，可能要算互联网了。因此，依直观想象，网络世界应该因其快速变换而显得更加“杂乱无章”。但是，事实却刚好相反，比如，在以互联网为代表的赛博世界里，就有摩尔定律、吉尔德定律等著名的、奇怪的、充分展示了赛博系统不变性的重要定律。这些定律有助于准确预测发展趋势，从而使得相关的赛博管理非常直观、可行。那么，这些定律到底是偶然碰巧呢，还是有更深层次的奥秘？下面将从赛博管理学的角度来认真探讨这个问题，并给出精细的意外结果，然后进行推广。

本节聚焦于最早的、也是最著名的、体现赛博世界不变性的所谓“摩尔定律”；它由英特尔（Intel）公司创始人之一戈登·摩尔于1965年提出。

摩尔定律的常见描述是：当价格不变时，集成电路上可容纳的元器件的数目，约每隔18～24个月便会增加一倍，性能也将提升一倍。换言之，每一美元所能买到的电脑性能，将每隔18～24个月翻两倍。微处理器的性能每隔18个月提高一倍，或价格下降一半。

该定律自提出之日起半个多世纪以来，其正确性已被客观数据持续证明了；但是，该定律是如何产生的呢？根据其历史演变的多方面证据，该定律很可能是摩尔先生突发灵感，猜出来的（ 预先提醒 ：后面我们将严格证明，其实摩尔定律不用去猜；早在200多年前的1798年，当马尔萨斯提出人口论时，“摩尔定律”的原理就已经诞生了）。因为，摩尔先生最早在1965年公开发表的论文中，只猜测了“半导体芯片上集成的晶体管和电阻数量将每年增加一倍”；1975年，摩尔又发表了另一篇论文，将其猜测由原来的“…每年增加一倍…”更新为“每两年增加一倍”；后来，业界又普遍流行为“每18个月增加一倍”；再后来又成了“每24个月增加一倍”；直到2010年，又有人再次将时长更新为“约每36个月翻一倍”；等等。随着摩尔定律的名声越来越大，许多人又“照猫画虎”，“猜出”了摩尔定律的多种变形，比如，若用相同面积的晶片来生产同样规格的IC，那么，每隔一年半，IC产出量就可增加一倍；换算为成本，即每隔一年半，成本可降低五成，平均每年成本可降低三成多；等等。

从管理角度来看，摩尔定律及其变形显然非常有用，比如，它能让集成电路产业链众多的上下游主流厂商（包括但不限于半导体原材料商、芯片设计制造商、计算机厂商等，甚至IT领域的几乎所有主流厂商），比较准确地预测自己产品的下游市场空间和利润空间，把握上游的进货成本等，从而使得看似杂乱无章的网络世界变得有规律可循。当然，摩尔定律并非数学、物理定律，而是对发展趋势的一种分析预测，因此，无论它的文字表述还是定量计算，对它的误差都应当容许一定的宽裕度。作为一种简单评估半导体技术进展的经验法则，摩尔定律的重要意义在于，它发现：长期而言，IC制程技术是以直线的方式向前发展，使得IC产品能持续降低成本，提升性能，增加功能。

摩尔定律之所以如此著名，原因可能有两个：其一，它非常有用，这已经不用再去论证了；其二，它非常出乎意料，甚至让人感到不可思议。但是，本章接下来的理论分析将再次让读者意外，因为过去让大家感到意外的摩尔定律，实际上一点也不意外！它其实是任何赛博系统的最简单、最粗糙的估计，甚至在200多年前就已经被马尔萨斯发现了，那时这位人口学家指出“大不列颠人口翻一番的时间，极有可能不超过25年”。为了说明这一点，我们先用数学公式，把摩尔定律重新描述如下：

第一，针对某个赛博系统（比如，马尔萨斯锁定的是大不列颠的人口系统，摩尔定律锁定的是全球的互联网产业链），选定某个关注的指标（比如，马尔萨斯关注的指标是大不列颠的人口总数；摩尔定律关注的指标是集成电路上可容纳的元器件的数目、每一美元所能买到的计算机性能、微处理器的性能、IC产出量、芯片上的晶体管数量、PC机的存储器容量、软件的规模和复杂性等）。

第二，按照时间的等间隔对关注的指标进行采样（比如，摩尔定律的时间间隔为1年、18个月、24个月或36个月等，马尔萨斯的时间间隔是25年），并将第 i 次采样的值记为 b _i ， i =1，2，3，…。

第三，在一定的时间范围内，比值 就是与 i 无关的常数 a ，即

比如，在摩尔定律和马尔萨斯定律中， a 都约等于2。

根据上面三个步骤的描述，摩尔定律与200多年前的马尔萨斯定律，其实质显然是相同的，只不过采样间隔不同而已；这是因为互联网这个赛博系统的迭代更快，而人类的自然迭代却很慢，两代人之间至少相差十余年，如今父子的平均年龄差更可能高达30岁左右，所以，人口自然增长的采样间隔也就更长。“摩尔定律与马尔萨斯定律其实质是相同的”的另一个原因在于：无论芯片上的晶体管数量，还是某国的人口数量，其实都可看成是“人造物”，只不过前者是用“工程法”造出来的，而后者是用“生物法”造出来的而已。

接下来我们将严格证明：像摩尔定律方面的事例，在任何赛博系统中，都随处可见。

对任意常数 a ，由递归关系

所描述的赛博系统，可以等价地写为

b ₀ = a ₀ , b _i = a ⁱ a ₀

其中， i =1，2，3，…。又可以等价地写为

J ( n +1)= aJ ( n )

其中， n =1，2，3，…， J （0）= a ₀ 。

在连续情况下，该赛博系统可用微分方式等价地表示为

其中， t ＞0。

另一方面，考虑任何一个赛博系统的任何一个指标，比如 Q （ t ），假定在 t =0的起始时刻，有

该假设是合理的，因为刚开始时这个指标还没诞生，所以可假定该指标及其导数均为0。参见本书第2章第4节（赛博系统与一般系统），我们考虑 Q （ t ）随时间变化 的情况。根据本书第2章第1节的维纳定律，赛博系统的当前状况由它的过去状况递归确定，所以 Q （ t ）随时间的变化也由 Q （ t ）确定，即一定存在某个函数 f （ Q ），使得

将函数 f （ Q ）用其泰勒级数表示为

f ( Q )= a ₁ Q + a ₂ Q ² + a ₃ Q ³ +…

其中， 。

根据泰勒级数的理论知道，泰勒级数的前面几项，可以更好地用来逼近函数 f （ Q ）；即为了理论分析方便，若必须舍弃某些项的话，最好从后往前舍弃。在最极端的特殊情况下（比如，在 Q =0附近或系数 a _i 迅速变小时），如果只能保留泰勒级数中的1项，哪怕牺牲一定的精度，那么，就可以忽略掉上述泰勒级数中的后面各项，而只保留第1项，于是，就可将上述赛博系统简化为

这正好就是摩尔定律和马尔萨斯定律所用到的赛博系统。换句话说，任何一个赛博系统，都可以在牺牲一定的精度后，演变为摩尔系统或马尔萨斯系统。由此就可获得赛博管理学的一个非常简单、有效的预测和管理方法，即结论4.1。

结论4.1 （赛博管理最简预测法）：对任何一个人造系统（或更一般的，甚至任何赛博系统），若管理者只关注该人造系统的某一个数量指标 Q （该指标可以是任何指标，比如产量等），并且设

b ₁ , b ₂ , b ₃ ,…, b _i ,…, i =1,2,…

是对该指标进行的时间等间隔采样值，那么，只要时间间隔合适，在一定的时间内，且在一定的误差允许范围内，都成立：

这里 a 是某个常数。

关于结论4.1，我们做以下三点说明。

（1）其实结论4.1就是《系统论》中著名的“自然生长律”；或用马尔萨斯的话来说，就是“变量与总量之比总是常数”。在连续情形时，若常数 b 为正数（或离散情形 a ＞1）时，则指标 Q 将随时间以指数速度增长，摩尔定律、马尔萨斯定律和病毒传播等，就属于这种情况；在连续情形时，若常数 b 为负数（或离散情形 a ＜1）时，则指标 Q 也将以指数速度下降，放射性物质的衰变、天灾人祸造成的人口死亡率、计算机病毒成功查杀等，就属于这种情况。

（2）结论4.1中强调的“只要时间间隔合适”，并非指采样间隔越密越好，也不是指越稀越好，而是应该使得每个 b _i 相对公平；比如，若想对月饼生产数量进行采样，那么，以月为间隔进行采样就不合理了，因为一年四季中，除了中秋节附近的一段时间，其他时间基本上都不生产月饼，即按农历月采样后将有

b _i =0，1≤ i ≤12，且 i ≠8

此时结论4.1当然就不可能成立；但是，如果按年为间隔进行采样，所有获得的各 b _i 就公平了，此时结论4.1就成立了。总之，如果指标 Q 有某个周期，那么，采样间隔最好要配合该周期；如果 Q 没有明显的周期和剧烈波动，那么，采样间隔就越密越好；当然，真正在现实社会中，采样间隔常常会“搭便车”，比如，借助年度总结或阶段小结等，就可以轻松地获得。

（3）随着大数据时代的发展，数据统计会越来越方便，各 b _i 的获得也就越来越容易，因此结论4.1在赛博管理中发挥越来越重要的作用，比如，只需根据任何3个相邻的采样点 b _{i -1} 、 b _i 、 b _{i +1} ，管理者就可轻松算出常数 a ，即

从而对今后的趋势做出预测，即

b _{i +2} = ab _{i +1}

如果担心常数 a 不能长期有效（情况确实会是这样），那么，管理者可以首先根据最近的三次实测量 b _{i -1} 、 b _i 、 b _{i +1} ，计算出只用一次的常数 a ^* ，即预测下一时刻的常数为

于是预测

b _{i +2} = a ^* b _{i +1}

如此循环往复，便可通过不断优化常数 a ，来更加准确地预测下一时刻的指标量 Q 。

在过去半个多世纪以来，事实证明摩尔定律的预测相当准确；但是，最近几年的实测数据已经显示，摩尔定律的误差越来越大了。怎么办？有两种思路：

其一，采用结论4.1的说明（3）中的技巧，对常数 a （即过去摩尔定律中的（2））进行不断微调；然后用微调后的常数去预测下一个采样点时的指标量，如此往复便能大大改善预测的准确度，而且操作复杂度也基本保持不变。

其二，考虑保留泰勒级数的二次项。为介绍改进摩尔定律的这第二种思路，先归纳已知的、可能导致摩尔定律失效的主要原因：

（1）芯片生产厂的成本大幅度提高，摩尔定律受到了经济因素的制约；

（2）随着硅片上线路密度的增加，其复杂性和差错率也将呈指数增长，即摩尔定律受到了技术因素的制约。

总之，摩尔定律的发展受到了资源的限制，无论是经济资源还是技术资源。其实，针对这些“限制原因”，系统论科学家、社会学家和化学家等，早在摩尔定律诞生前，就已经给出了改进办法！那就是在上面 f （ Q ）的泰勒级数中，少丢弃一项，即保留两项，于是便有：

根据本书第2章第4节内容，从该微分方程可得

这里 c 是某个常数，由初始条件确定。该赛博系统，就是经典的“资源受限时的人口增长系统”；在社会学中，叫“弗哈尔斯特定律（1938年）”；在化学中，叫“自动催化反应曲线”；在物理学、生物学、系统论等学科中，也都很常见。其实，它也是资源受限时的任何赛博系统，在一定的时间范围内所遵从的运行规律。管理者显然也可以通过最多不超过4个相邻的等间隔采样值，就能够推算出指标量

中的各个参数 a 、 b 、 c （具体的算法已有很多，此处就不再复述了），从而给出指标量 Q 的更准确的预测。当然，此时的操作难度略大于第一种思路。

其实，在资源受限的条件下，摩尔定律、马尔萨斯定律、任何人造赛博系统的指标量 Q （ t ）等的“生长情况”，在一定的精确度范围内，都可以用曲线

来逼近，这是一条S形曲线，即刚开始时“生长速度”较慢（比如，半导体起步时期）；然后进入第二阶段，以指数速度飞快“生长”（比如，摩尔定律提出后的前50年）；最后是第三阶段，“生长速度”将趋于一个固定值（比如，假若今后摩尔定律失效后）。

至此，摩尔定律的本质及其今后的修正问题，就全部解决了。原来，摩尔定律并不神秘，其遵从的规律在赛博世界中其实是非常平淡无奇的，只是过去人们没有努力去发现而已。我们将上述结论归纳为结论4.2。

结论4.2 （赛博管理的S-曲线预测法）：对任何一个人造系统（或更一般的，甚至任何赛博系统），若管理者只关注该人造系统的某一个数量指标 Q （该指标也可以是任何指标，比如产量等），那么，在一定的时间内，在一定的误差允许范围内，都成立

其中，参数 c 由初始条件确定，参数 a 、 b 可由最近的不超过4个合理时间点的采样值所确定，从而便可预测下一个时间点的指标量。

关于结论4.2，我们做以下四点说明：

（1）这里的合理时间点采样，与结论4.1类似，不再重复了；

（2）无论采样间隔是否等距离，此时的结果都不再像结论4.1那么直观了；

（3）如果采样工作不难，那么，建议管理者利用最近的几个实际采样值，反复计算并一次性使用 a 和 b ，这样便可使得下一时刻的指标量预测更准确；

（4）在实际情况下，到底是用结论4.1的最简预测法，还是用此处的S-曲线预测法，管理者可以根据实际情况，在简易性和准确性之间权衡决策。 3Gj3VfyqemAYAe1jl3fymueO9N5cSjcFD9ZIJd7LzbSsXeeP73Nv7TOnCBSeatun