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所谓赛博链轨迹的分叉，就是赛博链族的轨迹随着参数的变化，而出现的分支情况。分叉点经常出现在周期点处。为了方便，本节主要考虑光滑地依赖于参数的实值函数的单参数族，更准确地说，主要考虑形如 J （ x ， a ）的两个变量的函数。其中，对固定的 a ， J （ x ， a ）是变量 x 的光滑函数，即任意阶导数都存在的函数。我们也假定 J （ x ， a ）也光滑地依赖于 a 。针对这些函数族，研究分叉的目的在于：了解函数族的周期点结构将如何变化，何时变化等。
结论3.12 （可参考《混沌动力学》 [8] 的定理12.5）：设 J （ x ， a ）是单参数函数族，假定
则存在包含 x 0 的某个区间 I 和包含 a 0 的某个区间 N 以及光滑函数 f ： N → I ，使得
f （ a 0 ）= x 0 和 J [ f （ a ）， a ]= f （ a ）
再者，
J
（·，
a
）在
I
中没有其他的不动点。这里
是指
J
（
x
，
a
0
）在
x
0
点对
x
的偏导数。换句话说，如果仔细观察
J
（·，
a
）的轨迹图像，由于
J
（·，
a
0
）在（
x
0
，
a
0
）点处与直线
y
=
x
相交出某一个角度（这是因为
，否则就与直线
y
=
x
重复，没有交叉角度了），所以在轨迹图像附近
J
（·，
a
）必有相同的性质。因此，对充分靠近
a
0
的
a
，在
x
0
附近存在一个且只有一个不动点。更形象地说，将所有曲线
J
（
x
，
a
）都画出来后，在（
x
0
，
a
0
）点处将出现一个分叉点；即在赛博链族
J
（
x
，
a
）中，将有许多条赛博链进入此点（导致可被管理），也会有许多条赛博链从不同的方向离开此点（导致可被
J
-1
（·）管理）。
其实，上述结论3.12的一种特殊情况，即所谓的“鞍结分叉”，还可以更简捷地描述为下面的结论3.13。
结论3.13 （可参考《混沌动力学》 [8] 的定理12.6）：若同时满足
则存在0点的区间 I 及光滑函数 f ： I → R ，使得
J ( x , f ( x ))= x
进而
f ′(0)=0, f ′′(0)≠0
这里，
和
的正负符号，确定了分叉的方向，比如，若它们符号相反，则分叉方向就相背；否则，分叉方向就相同。
还有一种分叉，称为倍周期分叉，它可描述为结论3.14。
结论3.14
（可参考《混沌动力学》
[8]
的定理12.7）：若同时满足下面四个条件：（1）对
a
0
的某一区间内的一切
a
，都成立
J
（0，
a
）=0；（2）
；（3）
；（4）
g
′（0）≠0，此处
，其中
。那么，存在0的区间
I
和函数
p
：
I
→
R
，使得
J ( x , p ( x ))≠ x
但是
J 2 ( x , p ( x ))= x
此类分叉的走向依赖于
J
（0，
a
0
）和
的正负符号：如果符号相反，则相向分叉。
接下来再讨论一种特殊的分叉，称为同宿分叉。
定义3.4 （不稳定集）：设 p 是赛博系统 J （·）的一个排斥不动点，为了便捷，总假设
J ′( p )＞1
（否则，就用 J 2 （·）代替 J （·）就行了），同时该假设对排斥周期点也适用。既然 p 是一个排斥不动点，所以存在含 p 的一个开区间 U ，在该区间内， J （·）是一对一的，且满足扩张性质：
| J ( x )- p |＞| x - p |
定义 p 点的局部不稳定集为包含上述 U 的最大开区间（为了便捷，仍假定它为 U ），记为 W U （ p ）。比如，当 a ＞4时，0点是二次映射
J ( x , a )= ax (1- x )
的一个排斥不动点，并且它的局部不稳定集为
W U (0)=(-∞,0.5)
定义3.5 （同宿点、同宿轨迹和异宿的定义）：设
J ( p )= p , J ′( p )＞1
点 q 称为同宿于 p 的，若 q ∈ W U （ p ），且存在 n ＞0使得
J n ( q )= p
即点 p 被点 q 用 J n （ q ）所管理，或者反过来， q 能被 p 用 J -1 （·）所管理；相应的赛博链轨迹，就称为同宿轨迹。点 q 称为异宿的，若 q ∈ W U （ p ），且存在 n ＞0使得 J n （ q ）位于一个不同的周期轨迹。一个同宿轨迹称为非退化的，若对轨迹上的任意点 x ，都有
J ′( x )≠0
否则，就称该轨迹是退化的。
比如，当 a ＞4时，二次映射
J ( x , a )= ax (1- x )
的两个不动点0与
都有无穷多个同宿点和异宿点。
结论3.15 （可参考《混沌动力学》 [8] 的定理16.5）：设 q 位于不动点 p 的非退化轨迹上，则对 p 的每一个邻域 U ，都存在整数 n ≥0，使得 J n （·）在 U 上有一个双曲不变集；在此不变集上， J n 拓扑共轭于移位自同构。此处的移位是这样的映射 σ ，它将二元序列 s 0 s 1 s 2 …映射为 s 1 s 2 s 3 …，即
σ ( s 0 s 1 s 2 …)= s 1 s 2 s 3 …
换句话说，它只是简单地扔掉序列中的第1项，把其他各项向左移一位而已。这里 s i =0或1。
结论3.16 （可参考《混沌动力学》 [8] 的推论16.6）：设 J （·）有一个非退化同宿点 p ，则在 p 的每个邻域内，都有无限多个互异的周期点。当然，这些周期点的轨迹不在邻域内，周期点的轨迹跑得很远，粗看起来像同宿轨迹。于是，非退化同宿点将导致赛博链出现混沌状态。