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为了使上一节的相关结果更加深刻，本节聚焦于一种特殊的赛博链，称为逻辑斯谛（Logistic）赛博链，即
J ( y , a )= ay (1- y )
它具有非常广泛的实际含义，比如， y （ n ）既可表示第 n 代生物极限群体数的百分比，又可表示计算机病毒第 n 轮感染的机器极限群体数的百分比，还可以表示网络系统中的许多行为等，那么， y （ n ）所满足的赛博链便是
y ( n +1, a )= J ( y ( n ), a )= ay ( n )[1- y ( n )]
对该二次函数族
J ( y , a )= ay (1- y )
运用上一节的双曲点的轨迹定理，即结论3.5，便可得出结论3.7。
结论3.7
（二次函数族轨迹特性1，可参考《混沌动力学》
[8]
的命题5.3、例4.10和命题5.2）：若1＜
a
＜3，记
，那么对任意
x
∈（0，1），都有
即不动点 b 是吸引的；换句话说，点 b 可被区间（0，1）中的任意点，用系统
J ( y , a )= ay (1- y )
来管理。
当
a
＞1时，
J
（
y
，
a
）有两个不动点，分别是0和
，而且0点是排斥不动点。
当 a ＞1时，若 y ＜0，则有
若 y ＞1，则也有
由此可见，二次函数族赛博链的一切有趣轨迹现象，都只出现在闭区间[0，1]中；因为当 a ＜1时，二次函数族 J （ y ， a ）的轨迹特性也不太复杂。换句话说，对1＜ a ＜3，二次函数族的轨迹特性就很清楚了：在[0，1]中，0是不动点； J （1， a ）=0，随后 J n （1， a ）且 n ＞1就永远停留在0点了，即
J n (1, a )=0
而对所有 x ∈（0，1），有
二次函数族系统的轨迹，还具有很奇怪的一些其他特性，也称为混沌性。为了介绍方便，先引入以下四个概念。
（1）映射 J ： F → F 是拓扑传递的，如果对 F 中的任意一组开集 U 和 V ，都存在正整数 k ＞0，使得
J k ( U )∩ V ≠φ
即非空集。
形象地说，拓扑传递映射有这样的一些点，它们在迭代下，从一个任意小的邻域最终移动到其他任何邻域。因此，赛博系统 J （·）不能被分解为两个在映射下不变的，非相交的开集。此处的“开集”是这样的集合 X ：对其中的任何点 x ，都存在某个相应的邻域 a ＜ x ＜ b ，使得区间（ a ， b ）都包含在集合 X 之中。
（2）映射 J ： F → F 称为对初始条件具有敏感依赖性，如果存在 δ ＞0，使得对任何 x ∈ F 和 x 的任何邻域 N ，都存在 y ∈ N 和 n ≥0，使得
| J n ( x )- J n ( y )|＞ δ
形象地说，某映射具有对初始条件的敏感依赖性，意味着：如果存在任意接近 x 的点，在 J （·）的迭代下，最终和 x 分离至少 δ 。注意，这里并未要求 x 附近的所有点都需要在迭代下与 x 分离，而是在 x 的每一个邻域中都至少存在一个这样的点。如果某映射具有对初始条件的敏感依赖性，那么对单个轨迹 J （·）就不能进行数值计算了。因为计算中由四舍五入产生的微小误差，经过迭代后，就可能被放大，轨迹的数值计算结果将与实际轨道有着天壤之别。
（3）设 V 是一个集合。如果满足： J 具有对初始条件的敏感依赖性， J 是拓扑传递的， J 的周期点在 V 中是稠密的，那么映射 J ： V → V 称为在 V 上是混沌的。简要地说，混沌的映射具有三个要素：不可预测性，不可分解性，还有一种规律性的成分。因为具有对初始条件的敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的；因为具有拓扑传递性，所以它不能被细分或不能被分解为两个在 J 映射下不相互影响的子系统（两个不变的开子集）。然而，在这混乱的性态当中，也含有规律性的成分，即稠密的周期点。
（4）映射 J ： F → F 称为是扩展的，如果存在 δ ＞0，使得对任何 x ， y ∈ F ，存在 n ，使得
| J n ( x )- J n ( y )|＞ δ
注意： 扩展性不同于敏感依赖性，此处一切邻近点都将最终分离至少 δ 。
结论3.8
（可参考《混沌动力学》
[8]
的定理7.5和例8.8）：当
时，二次函数族
J ( y , a )= ay (1- y )
的 n 周期点的个数为2 n ，并且该 J （ y ， a ）在区间（0，1）的某个子集（其实是一个康托尔集） A 中是混沌的。进一步地，可以知道（可参考《混沌动力学》 [8] 的例8.9），下列等式表示的映射
J ( y ,4)=4 y (1- y )
在闭区间[0，1]上是混沌的。
为了介绍二次函数族的其他一些轨迹特性，先引入以下几个概念。
（1）设 J ： A → B 是某个映射，若它满足：当 x ≠ y 时， J （ x ）≠ J （ y ），则称 J （·）是一对一的；若它满足：对任意 y ∈ B ，都存在 x ∈ A ，使得 J （ x ）= y ，则称 J （·）是满的；若 J （·）既是一对一的，又是满的，而且 J （·）和 J -1 （·）都是连续的，那么，就称 J （·）是一个同胚。
（2）设 F ： A → A 和 J ： B → B 是两个映射，如果存在一个同胚 H ： A → B ，使得
H · F = J · H
则称 F 和 J 是拓扑共轭的。同胚 H 被称为拓扑共轭。这里 H · F 等代表复合映射，比如， H · F （ x ）= H [ F （ x ）]等。换句话说，对于拓扑共轭的各种映射，它们的轨迹特性是完全等价的。例如，若 F 通过 H 拓扑共轭于 J ，并且 p 为 F 的不动点，则 H （ p ）就为 J 的不动点；此外， H 还给出了 F 的 n 周期点集合与 J 的 n 周期点集合之间的一一对应等。
（3）设 F 和 J 是实数域 R 中的两个映射。 F 和 J 之间的 C 0 -距离，记为 d 0 （ F ， J ），由等式
所定义。同理， C r -距离 d r （ F ， J ）由
所定义。这里 F （ k ） （ x ）和 J （ k ） （ x ）分别表示 F （·）和 J （·）的 k 次导数。直观地说，如果它们及其前 r 个导数仅相差一个微量，那么这两个映射是 C r -接近的。
（4）映射 J ： A → A 称为在 A 上是 C r -结构稳定的，如果存在 δ ＞0，使得对任何映射 F ： A → A ，只要 d r （ J ， F ）＜ δ 总有 J 拓扑共轭于 F 。简略地说，映射 J 是结构稳定的，如果它的每一个“邻近”的映射，都拓扑共轭于 J ，因而也就基本上具有相同的轨迹性态。这里的“邻近”就是上面的某个 C r -接近。换句话说，如果 J 是结构稳定的，那么，不论我们如何稍微扰动 J 或改变 J ，都将得到一个轨迹特性等价的赛博系统。
结论3.9
（可参考《混沌动力学》
[8]
的定理9.5）：当
时，则二次函数族
J ( y , a )= ay (1- y )
就是 C 2 -结构稳定的。但是，当 a =1时
J ( y ,1)= y (1- y )
却非结构稳定。
结论3.10 （可参考《混沌动力学》 [8] 的推论11.10）：假定
J ( y , a )= ay (1- y )
则对每一个
a
，至多存在一个周期吸引点，也至多存在一个吸引周期轨迹。甚至当
或
a
=4时
J ( y , a )= ay (1- y )
可能根本不存在吸引周期轨迹。
结论3.11 （可参考《混沌动力学》 [8] 的定理9.8）：设 p 是 J 的双曲不动点，并设
J '( p )= λ ,| λ |≠0,1
则存在 p 的邻域 U ，实数0∈ R 的邻域 V 及同胚 H ： U → R ，使得 J 在 U 上共轭于 V 上的线性映射
L ( x )= λx
换句话说，双曲不动点邻近的映射，总是局部拓扑共轭于自身的导数。
提醒 ：此处的 J 并不限于是二次函数，它本该放在上一节，但由于那时还没介绍同胚或共轭等概念，所以，只好放在此处。