第2节
赛博链的轨迹分析

被工程简化I和II处理后，赛博链的轨迹（简称为赛博链）就可简化为：

（1）在离散时间的情况下，可用数学公式表述为递推公式：

y ( n +1)= J ( y ( n )), y (0)= y ₀ , n =1,2,3,…

式中， y （ n ）表示 n 时刻的输出， J （ y （ n ））表示 n 时刻的微调。

（2）在连续时间的情况下，既可用数学公式表示为微分方程：

也可以用积分方程的形式表述为

或

y ( t )=∫ J ( y ( t -τ))dτ

换句话说，此时的赛博链就被简化为数学中的动力学系统了 ^[7，8] ，于是，对应于赛博管理学的管理者、被管理者、管理目标等，也都是动力学系统了。不过，我们还是聚焦于赛博的轨迹分析，即轨迹及轨迹附近区域的状态点都是可管理的，而其他状态点便是不可管理的了。由此可见，赛博管理的起点 y ₀ 很重要，因为随后的轨迹 y （ n ）与起始点密切相关，相应的可管理点也就与起始点密切相关了；具体来说，可用下面著名的李雅普诺夫指数定理来定量地描述。为了避免复杂的数学推论公式，我们只介绍一维情况下的赛博链，并用 y _n 来等价地表示 y （ n ）；而且对现成的结论，我们只给出其出处，而忽略其具体证明过程，并重点阐述它们的赛博管理学含义。

结论3.1 （李雅普诺夫指数定理） ^[7] ：考虑由一维赛博链轨迹

y _{n +1} = J ( y _n )

的两个非常邻近的点 y ₀ 和 y ₀ +Δ y ₀ 为起始点，所生成的两条具体的赛博链

y _n ( y ₀ )= J ( y _{n -1} ( y ₀ ))= J ⁿ ( y ₀ )

和

y _n ( y ₀ +Δ y ₀ )= J ( y _{n -1} ( y ₀ +Δ y ₀ ))= J ⁿ ( y ₀ +Δ y ₀ )

于是，在这两条具体链上，相对应点的差值Δ y _n 满足

更一般地，对任意 n ，有

此处的 λ （ y ₀ ）就称为李雅普诺夫指数，并且

根据该李雅普诺夫指数定理可知：以 y ₀ 为起始点的赛博链轨迹 J ⁿ （ y ₀ ），与其邻近点为起始点的赛博链轨迹之间的走向，取决于李雅普诺夫指数 λ （ y ₀ ），具体如下：

（1）如果 λ （ y ₀ ）＞0为正数，那么赛博链 J ⁿ （ y ₀ ）与其邻近起点的赛博链之间，将以指数速度exp（ λ （ y ₀ ） n ）Δ y ₀ 飞快地分离。从赛博管理学的角度来看，这至少有两种解释：其一，如果错过了起步期的时机，那么此时 y ₀ 的所有邻近点（包括以该邻近点为起点的赛博链上的点），都是不可管理的（比如，计算机病毒控制，如果错过了起步期，那么就很难避免泛滥成灾了）；其二，如果管理者和管理目标都遵从同样的赛博运行规律 J （·），那么，只要起步阶段的目标状态与此时的管理者状态有距离，哪怕是非常微小的距离，那么一旦错过起步期，管理者系统一定会失败。或形象地说，管理者导弹几乎不可能同向追上另一颗同款的（同向飞行的）目标导弹，如果它们的出发地不同的话。

（2）如果 λ （ y ₀ ）=0，那么赛博链 J ⁿ （ y ₀ ）与其邻近起点的赛博链之间，将始终保持相同的距离Δ y ₀ ，既不会更加靠近，也不会更加分离。从赛博管理学的角度来看，这至少有两种解释：其一，此时 y ₀ 的所有可容忍误差值邻近点（包含以这些邻近点为起点的赛博链上的点），都是可管理的；反之， y ₀ 的所有距离超过可容忍误差值的邻近点，都是不可管理的。其二，如果管理者和管理目标都遵从同样的赛博运行规律 J （·），那么只要起步阶段的目标状态与此时的管理者状态之间的距离在可容忍范围内，那么管理者系统就能成功；否则，管理者系统就一定会失败。或形象地说，管理者导弹与另一颗同款的目标导弹之间的距离，始终保持恒定不变。于是，当这段距离在导弹的“近爆距离”之内时，那么目标导弹就能被摧毁；否则，攻击导弹就永远也不可能击中目标。

（3）如果 λ （ y ₀ ）＜0，即为负数，那么赛博链 J ⁿ （ y ₀ ）与其邻近起点的赛博链之间，将以指数速度exp（ λ （ y ₀ ） n ）Δ y ₀ ，飞快地融为一体。从赛博管理学的角度来看，这至少有两种解释：其一，此时 y ₀ 的所有邻近点，都是可管理的；其二，如果管理者和管理目标都遵从同样的赛博运行规律 J （·），那么，只要起步阶段的目标状态在 y ₀ 的邻域范围内，管理者系统一定会很快成功达到管理目标。或形象地说，管理者导弹一定会碰上另一颗同款的目标导弹，只要它们同时的出发地点相距不太远。

关于赛博链轨迹的另一个著名结论，是所谓的李-约克定理（Li-Yorke theorem，或称Li-Yorke定理）。为了把它简化，我们先介绍几个概念。

定义3.2 ：如果连续函数 J （ x ）的定义域和值域都限于某个实数段[ a ， b ]中，即对任意实数 c ∈[ a ， b ]都有 J （ c ）∈[ a ， b ]，那么就称 J （ x ）是[ a ， b ]中的连续自映射。将赛博链

c , J ( c ), J ² ( c ),…, J ⁿ ( c ),…

看成一个实数序列，如果该序列的周期为 k ，即 c = J ^k （ c ），但对所有 m ＜ k 都有 c ≠ J ^k （ c ），那么就称 J （ x ）有 k 周期点 c 。

关于周期，有一个简单常用的结论，即下面的结论3.2。

结论3.2 ：若 c 是 J （·）的 p 周期点，并且 q 满足

gcd( p , q )= d

则 c 是 J ^q （·）的 m 周期点，这里 。特别地，当 q 与 p 互质（即 d =1）时， c 也是 J ^q （·）的 p 周期点。反过来，若 c 既是 J （·）的 p 周期点，又是 J ^q （·）的 m 周期点，那么就有

p = m ·gcd( p , q )

结论3.3 （李-约克定理） ^[7] ：设 J （ x ）是[ a ， b ]上的连续自映射，若 J （ x ）有3周期点，则

（1）对任何正整数 n ， J （ x ）都有 n 周期点；

（2）在区间[ a ， b ]中存在不可数子集 S ，满足以下三个公式：

对任意 x ， y ∈ S ，当 x ≠ y 时，有

对任意 x ， y ∈ S ，有

对任意 x ∈ S 和 J 的任一周期点 y ，有

把该定理形象地解释出来，满足上述定理条件的赛博链将具有以下特征：

（1）存在一个非常密集的集合 S ，使得对任意 x ， y ∈ S ，点 y 都是可被赛博链 J ⁿ （ x ）管理的，因为当 n 越来越大时， J ⁿ （ x ）和 J ⁿ （ y ）之间的最近距离（inf| J ⁿ （ x ）- J ⁿ （ y ）|）会趋于0，从而可被管理；虽然它们之间的最远距离（sup| J ⁿ （ x ）- J ⁿ （ y ）|）会始终大于0。

这是因为，只要管理者轨迹和被管理者轨迹之间的距离，哪怕只有一次掉进了可容忍的误差范围，那么就已经达到管理目标了。

（2）对于任意正整数 k ，都至少有某个点 c ∈[ a ， b ]，它是赛博链 J ⁿ （ c ）的 k 周期点，于是，使得除可容忍的误差之外，该赛博链 J ⁿ （ c ）上只有 k 个可管理点，其他都只是这些可管理点的重复而已。因此，作为管理者系统， J ⁿ （ c ）显然是不理想的。另外，至少对于所有的 x ∈ S ，也有 J ⁿ （ x ）和 J ⁿ （ c ）之间的最远距离（sup| J ⁿ （ x ）- J ⁿ （ c ）|），也会始终大于0。

换句话说，周期点 c 也不是理想的被管理系统或目标系统，因为， J ⁿ （ x ）最多只能依靠可容忍的误差值来逼近该管理目标。

上述李-约克定理，其实展示了赛博链轨迹的某种混沌特征，即对于集合 S 中的任意两个初值，经过迭代，两个赛博链序列之间的距离上限可以始终为大于零的正数，而下限则等于零；或者说，当迭代次数趋向无穷时，序列间的距离，可以在某个正数和零之间“飘忽”，即赛博系统的长期行为不能确定，比如，它们之间忽远忽近的规律不是周期性行为等。

还有一个比李-约克定理更广泛的结论，称为萨柯夫斯基定理（可参考《混沌动力学》 ^[8] 中的定理10.2）。为了描述它，先给出所有正整数的一种新排序，称为萨柯夫斯基顺序，即

3»5»7»…2×3»2×5»2×7»…2 ² ×3»2 ² ×5»2 ² ×7»…2 ³ ×3»2 ³ ×5»2 ³ ×7»……»2 ⁵ »2 ⁴ »2 ³ »2 ² »2»1

具体来说，该排序是：首先列出除1之外的所有奇数，接着列出奇数的2倍，奇数的2 ² 倍，奇数的2 ³ 倍……一直持续下去，直到用完所有的自然整数，最后以递减顺序列出的2的幂次。于是便有下列结论。

结论3.4 （萨柯夫斯基定理）：假设赛博系统 J （ x ）是实数域上的连续函数，并且赛博链 J （ x ）至少有一个周期为 K 的点；那么对所有 L ，只要按上述的萨柯夫斯基顺序有 K » L ，则赛博链 J （ x ）也一定存在周期为 L 的点。或者形象地说，在萨柯夫斯基顺序之下，若有“大周期”点，就一定有“小周期”点。

由该定理便知：

（1）若 J （ x ）有不是2的幂次的周期点，则 J （ x ）必有无穷多个周期点。反之，如果 J （ x ）仅有有限多个周期点，则它们都必须以2的幂次为周期。

（2）在萨柯夫斯基顺序中，小周期3是“最大的”周期，所以，正如李-约克定理指出的那样，只要包含“最大的”3周期，就蕴含了其他一切周期的存在性。

（3）萨柯夫斯基定理的逆，也是正确的；即按照萨柯夫斯基顺序，一定存在这样的赛博系统，它有以 P 为周期的周期点，但却没有“更大”周期 Q 的周期点，这里 Q » P 。

为了介绍更多的赛博链特性，我们先给出几个定义。

定义3.3 ：如果点 x 满足

J ( x )= x

那么，就称 x 为 J （·）的不动点。设 p 是 J （ x ）的以 n 为周期的周期点，如果 ，那么称点 x 前向渐近于 p 。

所有前向渐近于 p 的点构成的集合，记为 W （ p ），称为 p 的稳定集。如果 p 是 J （ x ）的以 n 为周期的真周期点，即

J ^k ( p )≠ p

对所有 k ＜ n ，并且

|( J ⁿ )'( p )|≠1

则称此点 p 为双曲的；特别地，若

|( J ⁿ )'( p )|＜1

则称点 p 为吸引周期点（吸引子）或渊。此处和随后 f '（·）是导数运算的简写，而（ J ⁿ ）'（ p ）表示函数 J ⁿ （ x ）在 p 点的导数。

基于上述定义，便有如下的结论。

结论3.5 （双曲点的轨迹定理，可参考《混沌动力学》 ^[8] 的命题4.4和命题4.6）：

（1）如果 p 是 J （·）的双曲不动点，并且

| J' ( p )|＜1

则存在 a ＜ p ＜ b ，使得如果 x ∈（ a ， b ），就一定有极限

换句话说，点 p 可被区间（ a ， b ）中的任何点，用 J （ x ）来管理，即此类双曲不动点的可管理性很好。也可等价地说，区间（ a ， b ）中的所有点，都可被 p 点用 J ^{- n} （ p ）来管理，即用 J （·）的逆函数 J ^-1 （·）所表示的系统去管理区间（ a ， b ）。

（2）如果 p 是周期为 n 的双曲周期点，并且

|( J ⁿ )'( p )|＜1

那么存在 a ＜ p ＜ b ，使得 J ⁿ （·）满足：若 x ∈（ a ， b ），则 J ⁿ （ x ）∈（ a ， b ）。换句话说，在开区间（ a ， b ）中， J ⁿ （·）的轨迹也仅限于该开区间；于是，只要这个开区间（ a ， b ）的长度不超过可容忍误差，那么，该区间中的所有点都能被区间中的其他点管理。

（3）如果 p 为双曲不动点，但是

| J '( p )|＞1

那么，存在 a ＜ p ＜ b ，使得如果 x ∈（ a ， b ）， x ≠ p ，则存在 k ＞0，使得 J ^k （ x ）逃出了区间（ a ， b ）。换句话说，该区间中除 p 之外的所有点，都可被逆函数系统 J ^-1 （·）在 k 步之内（迭代次数不超过 k ）所管理。

由该定理可见，| J' （ p ）|是否大于1，决定了相关赛博链轨迹的走向，即远离 p 点（或其逆函数收敛于 p ），还是留在 p 点附近游荡。如果满足

| J '( p )|＞1

的不动点 p ，那么就称为排斥不动点（排斥子）或源。于是可知（可参考《混沌动力学》 ^[8] 中的命题4.6），若 p 是排斥不动点，则存在 p 的一个邻域开区间 U ，使得：若 x ∈ U ， x ≠ p ，则存在 k ＞0，使得 J ^k （ x ）不再属于 U 。这样的邻域开区间，也称为局部不稳定集，记为 W ^U 。形象地说， J （·）的排斥子就是 J ^-1 （·）的吸引子，反之亦然。

结论3.6 （可参考《迭代方程与嵌入流》 ^[9] 的1.3节中的定理1）：设 J （·）， A （·）， B （·）是定义在同一区间 I 上的三个赛博链，如果 A （·）和 B （·）都是递增函数，而且对一切 x ∈ I 都有

A ( x )≤ J ( x )≤ B ( x )

则必有

A ⁿ ( x )≤ J ⁿ ( x )≤ B ⁿ ( x )

形象地说，赛博链 J ⁿ （ x ）始终被夹在赛博链 A ⁿ （ x ）和赛博链 B ⁿ （ x ）之间，形成了一个“管道”。如果该管道足够细，比如，管道的直径不超过可容忍误差，那么，夹在该管道中的所有目标系统，都可被管道中的其他赛博系统（比如 J （·））所管理。 eVZDnfq81t2foZCFa0y4MMxXcZQP6DJ2YhUwrkchTQ3XTXrjhghWPH9dZqul8FCU