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在数学的三大部分中，分析学是最难的，也是我们最为陌生的，除了专门学习与研究过高等数学的人，其他人对之难以了解。我也是这样。不过，在我看来，这也是一个很好的挑战、智力的挑战。倘若您以前不懂微积分就能看懂这一章，那就说明您的智力绝对是一流的。
这个分析学大致就是我们平常所说的微积分。
当然，我也可以保证，只要您有足够的智力，即便以前没有学过微积分，也可以读懂本章。
讲分析学之前我要讲一下大家熟悉的三个数学内容：集合、映射与函数，它们是理解分析学的基础。
理解分析学的基础：集合、映射与函数 什么是集合呢？在我们的日常语言中，集合是动词，也是名词。当是动词时，集合就是将一些东西组合在一起。当是名词时，就是一堆组合在一起的东西了，这也就是数学中的集合的基本含义。而组成集合的那些东西就叫作集合的元素。
容易看出来，一个元素与集合只有两种关系：它是或者不是这个集合的元素，前者记作
s
∈
S
，后者记作
S
s
，∈即“属于”之意，
也就是“不属于”之意了。用符号表示的话，通常用小写的英文字母表示元素，而大写的字母表示集合。
理论上，集合的元素可以是任何东西，例如大街上随便哪个角落的几个人和街边的几盏路灯就可以组成一个集合，甚至也可以什么也没有，这也是一个集合，叫空集，这就像0也是一个数字一样。但实际上，至少在数学中，属于一个集合之内的元素总是有规律的，例如某群人组成一个集合，并不是随便的一群人，而是北京大学数学系98级二班的全体同学。
前面我们讲了代数学与几何学的许多内容，其实它们都可以与集合相关，例如所有的自然数就组成一个集合，所有的整数、分数甚至实数也是如此。不过它们的元素个数不是有限的，而是无限的。这样的集合是十分重要的，事实上，对于数学中的大多数集合而言，其元素大都是无限的。
还有，在集合中，最主要的往往不是单个集合的性质，而是两个集合的比较及比较之下的各种关系。
两个集合 S 和 T 之间的关系有下述几种情形：
一是两个集合相等。这时，它们所有的元素都是相同的。记为 S = T 。例如“小于5的自然数”和“1，2，3，4”这两个集合就是相等的。可以写成：｛1，2，3，4｝=｛ x | x 是小于5的自然数｝。这时我们也可以说这两个集合是“相并”的。
二是一个集合是另一个集合的子集。这也就是说，一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。记为
S
T
。很显然，两个相等的集合中，一个集合也是另一个集合的子集，而空集则是任何集合的子集。
三是两个集合没有任何共同的元素，这时，我们称这两个集合是“相离”的。例如所有自然数与所有无理数两个集合之间就是相离的。
四是两个集合之间有的元素是一样的，有的则不一样。这也许是集合之间最广泛的关系。这时，我们就说这两个集合是“相交”的，记为 S ∩ T 。这个 S ∩ T 就称为它们的交集。看得出来，这个交集中的任何元素都既是 S 的，又是 T 的元素。而两个集合的相等也是相交的一种特殊的情形。
与交集相对的是并集。就是两个集合的所有元素，不管共同的还是不共同的，只要属于两个集合中的任何一个，都组合在一起而成的集合。记为 S ∪ T 。
容易看出来，任何两个集合之间是既可相并，又可相交的，两个相离的集合的交集是空集，而并集则是两个集合元素的总和。
这里还有两个集合的概念要提出：全集和余集。
所谓全集可以看作是一个假定，它可以有一个规定，也可以没有。例如当我们考虑所有奇数与所有大于100的自然数这两个集合时，可以把所有的自然数、所有整数甚至所有实数与复数看作是全集。于是，余集就是全集之内不属于某个集合的所有元素组成的集合。显然，余集与某个集合之和就是全集。例如设某个集合是{1，2，3}，那么余集就是1、2、3外所有数组成的集合。
有一个与集合相对应的概念，叫映射。
什么是映射呢？现在假设有两个集合，分别叫 A 和 B ，它们都不是空集。如果我们按照某个法则，能够使集合 A 中的任何一个元素 x 都能够和 B 中某一个元素 y 产生某种对应的关系，那么我们就说这是一个从 A 到 B 的映射。
从这个概念我们可以看出来成为一个映射对于 A 是有条件的，就是说它中间的每一个元素都必须能够从 B 中找到对应的元素，但 B 中元素却可以没有 A 中的元素与之对应。而且， A 中的不同元素可以与 B 中的同一个元素对应，但 A 中的任何一个元素却不可以在 B 中有两个或两个以上的元素与之对应。
如果 A 中的每一个元素都与 B 中的不同元素对应，而 B 中的每一个元素在 A 中都有元素与之对应，也就是说， A 中的每个元素都与 B 中的每个元素都形成了一对一的对应关系，那么这两个集合 A 和 B 就被称为等价的，而这个映射就叫作一一对应映射。
在一个映射之中——我们姑且称这个映射为 f ，集合 A 被称为映射的定义域。而所有在 A 中有元素与之对应的 B 中的元素组成的集合叫作映射f的值域。很明显，值域是集合 B 的一个子集，但不一定等于 B 。
根据前面的定义，我们知道在 A 中有某一个元素，可以称为 x ，那么在 B 中就会有与之对应的唯一的一个元素，我们称之为 y ，那么， y 就被称为 x 在映射 f 之下的像，一般记为 f ( x )。很明显， y 就是 f ( x )，即 y = f ( x )。
了解了集合与映射后，我们可以开始谈下一个重要的概念了，这就是大家耳熟能详的函数。
什么是函数呢？这个问题我们实际上刚刚讲过，函数就是集合间的一种关系。更具体地说是我们上面所言的映射，是由定义域与值域两个集合及其关系组成的总体，它标准的表示方法也是 y = f ( x )。在这里， f 代表的是某一项规则，即用什么法子在集合 A 与 B 之间建立了联系。例如 y = x +3中，就是将集合 A ，也就是定义域中的每一个元素加上3，就得到了集合 B ，也就是值域。
我们也可以看到，在这里， x 是自己改变的，所以我们称之为“自变量”，而与之对应的 y 则是因为 x 的改变而被改变的，所以称之为“因变量”。
我们也可以看到，所谓定义域就是函数中自变量的取值范围，而值域则是相对应的因变量的取值范围。
函数也许是最与我们的实际生活以及其他自然科学领域相关联的数学内容了，它的使用是非常广泛的，只要一个简单的事实就可以证明：几乎所有科学公式，无论是天文、物理、化学、地质还是生物，只要它涉及用数学公式来表达，几乎无一例外是函数。
函数主要有三种表示方法：表格、图表、方程。
这三种表示法的意义我们一看就知道：表格是用画表格的方式来表示，这样的表格我想大家在生活中见到多了，例如班上的成绩表、经济统计表之类。
图表法就是用解析几何的法子来表示函数。先画一个坐标，分别是 X 轴（横轴）与 Y 轴（纵轴），然后将函数的 x 值在 X 轴上相应的那个点找出来， y 值在 Y 轴上相应的那个点找出来，再从 X 轴往上或往下，从 Y 轴往左或往右，它们必会交叉，有一个交叉点，那个交叉点的坐标就是（ x ， y ）。若干个这样的点连起来就会形成一条线，有的是直线，有的是曲线，有的中间还可能中断，这就是函数的图表法表示。例如图10-1所示。
图10-1
表示函数最常用的方法是方程式，或者称为公式。它的意义我们都知道，例如 y =3 x 2 就是一个函数。
这三种表示方法实际上是相通的，一般而言，一个函数可同时用这三种方式来表示。
要完整地表达一个函数要满足两个条件。一是有前面的表达形式，如一个图表、一张表格或者一个公式。二是要指明函数的定义域，也就是
x
的取值范围。这是很重要的一步。由于
y
的取值是跟着
x
走的，因此不必预先规定，但
x
的取值是它自己决定的，所以不能让它随意为之，要做出一些规定，否则的话就会造成没有相应的
y
值与之对应等尴尬局面。典型者如
y
=
这个函数中，
x
不能为0，否则的话就没有相应的
y
值与之对应，而函数也就没有意义了。而且，有的函数随着定义域的不同，会呈现出不同的特色。总之，弄清楚一个函数的定义域是很重要的。
函数的种类有许多，例如我们所熟悉的代数函数，就是能够用代数方程式表示的函数。它们通常是线性函数，也就是说其图像是一条或几条直线与曲线。像 y =2 x +1是一条直线，而 y = x 2 +2 x -1则是一条曲线，等等。不能用代数式表示的函数叫超越函数，超越函数也有许多种，最为我们所熟悉的是对数函数与三角函数了。
我们都知道常用对数，就是以10为底数的对数，它也是一个函数： y =lg x ，其图像是一条曲线。这里 x 必须大于0，也就是说函数的定义域是大于0的实数，而值域则是无穷大。
有时候，函数可以有反函数。所谓反函数，就是将函数的自变量与因变量倒过来的函数。形象点说，就是将
x
与
y
倒过来，例如我们将
y
=2
x
+1这个函数写成：
x
=
。再将
x
与
y
互相替换，即写成：
y
=
，这个函数就叫做
y
=2
x
+l的反函数。显然，在反函数中，原来的定义域成了值域，而值域变成了定义域。例如上面的对数函数
y
=lg
x
的反函数就是
y
=10
x
，其定义域就成了无穷大，而值域则是大于0的实数。
至于三角函数，也就是直角三角形三边的边长比构成的函数，分别是： y =sin x 、 y =cos x 、 y =tan x 、 y =cot x ，它们也有反函数，例如 y =sin x 的反函数是 y =arcsin x 。它们的图形则是一条波浪线，各有其定义域与值域，例如 y =sin x 的定义域是任意实数，而值域则是介于-1与1之间。它与其反函数的图像如图10-2所示：
图10-2
这个代数函数和超越函数合起来被称为初等函数，也是最基本的函数。
除了这些比较常见的函数，函数还有许多其他的种类，像复变函数、解析函数、共轭函数等，多得很，也复杂得很，就不是我们在这里要讲解的了。
以上我们讲了集合与函数，之所以讲它们有两个原因：一是它们乃是数学中最基本的概念之一。二是为了讲我们即将要讲的数学的三大分支之一的分析学，要知道集合与函数乃是繁难的分析学的基础呢。
从现在开始请您接受分析学的挑战 分析学是用分析的方法来研究数学。虽然现代分析学的内容要超越微积分，但在一般情况下，我们可以近似地将分析学看作就是微积分，对于我们这本书就更是如此了。
微积分也是与现代自然科学关系最密切的数学分支，它的许多概念同力学、物理学、天文学等有密切联系，在这些领域有广泛的应用，甚至可以说，没有微积分，许多现在自然科学门类，尤其是天文学与物理学，都是不可能发展到今天这样的程度的。
一个简单的例子就是物理学中求瞬时速度的问题。例如我们知道一个运动物体的运动距离 s 是时间 t 的函数，即 s ( t )，这时我们要求这个物体在某个时刻t 1 的瞬时速度。这就是一个微积分中求导数的问题，也是导数这个概念的来源之一。反过来，已经知道在某个时刻的瞬时速度 v ( t )和时间的值，要求这个时间的运动路程 s ( t )，这就是求积分的问题了。物理学上的这些问题，如果用微积分产生之前的数学方法，会是极难的，但用上微积分就变得易之又易了！同样反过来，正是在这些物理学上的简单而又复杂的问题的催化之下，才令伟大的莱布尼茨和牛顿发明了微积分。这些，将是我们后面讲数学史时的重头戏之一。
微积分产生之后就得到了极为广泛的发展与应用。特别是到了现代，其内容更加丰富了，有了如变分法、微分方程、积分方程、复变函数、泛函分析等，复杂而且困难。我们要对之一一进行了解分析当然是不可能的，在这里我只介绍其源头与最古老的分支——微积分。
微积分可以分成两大部分，即微分和积分。在介绍它们之前，我先要介绍一个更基本的概念——极限。
极限是微积分大厦的门槛
在上面介绍函数时，我们说函数有自变量和因变量，一般分别用
x
和
y
表示，在这里
y
随
x
的改变而改变，我们很容易知道当
x
取什么值时
y
将取什么值，也就是说，我们熟悉
x
与
y
的变化过程。但我们还有一类变化需要了解，那就是
x
与
y
的变化趋势。这个变化趋势有两个特点：一是
x
与
y
都可能趋向于无穷，二是当
x
趋向于无穷时，
y
会趋向于某一个数值。例如在
f
(
x
)=
这个函数中，当
x
趋向于无穷大，即从1到2到3到1/1000一直到无穷大时，
y
会怎样呢？很明显地，
y
从1到了1/2到了1/3再到了110000 如此以至于无穷小。我们也不难看出，当
x
趋向无穷大时，
y
是无穷地趋近于“0”的。用微积分的术语来说，这个“0”乃是一个极限。
什么是极限呢？我们知道，“限”就是界限、尽头的意思，极，就是极致的意思，两个字的含义都是一致的，即极致与尽头。这也就是极限的含义：它标志着某一个函数中，当 x 变化时， y 的取值可能达到的尽头。不过，这里的达到实际上只是一种“无限的趋近”，而不是真正达到，就像0.999999999…这个数一样，后面有无限个9，因此它必会无限地趋近于1，然而永远也不能等于1。也就是说，1在这里可以看作是0.9999999999…的一个极限。
现在我们用稍微专业化的字眼再来介绍一下极限。
在数学上有一个叫“数列”的概念。什么是数列呢？简言之，数列就是将多个数按次序排列起来，一般记为： x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 ，…， x n ，…。整个数列又可记为﹛ xn ﹜。这个 n 代表自然数，从1到2直到无穷。从这个数列的整体上看，它是一个变量，即不断变化的量，其开始值是 x 1 ，渐渐变为 x 2 、 x 3 ，并且可以这样一直地变下去。如果在 n 的变化中，随着 n 的无限增大， x n 将无限趋近于某一个数，那么我们就称这个数为该数列之极限。
我们知道，数列也可以看作是函数，像上面的数列，也可以看作是一个以自然数为自变量的函数，即 f ( n )= x n 。而数列的极限也就是当自变量 n 趋向于无穷大时函数 f ( n )的极限。
当然，对于函数，其自变量的值不一定趋向于无穷大，而可能是趋向于某一个具体的值。这种情形也许更加广泛，我们现在就来看看吧！
现在假设有函数 f ( x )， x 0 是函数定义域内的某一个点，且 x ≠ x 0 ，为什么要这样呢？这是因为如果等于的话，那 x 趋近于 x 0 这句话也就没有意义了。这时，如果随着 x 无限趋近于 x 0 ， y 也无限接近于某个数值 A ，那么我们就说函数 f ( x )的极限是 A 0 记为：
在前面我们求极限时，如果函数在 x 0 处的极限 A 刚好等于在这处的函数值，即 f ( x )= A ，那么我们就说函数在 x 0 处是连续的。如果函数 f ( x )在其定义域的某一部分中的每一点都连续，那么我们就称函数在这一部分连续。连续性是函数一个十分重要的性质。
函数的极限对于微积分是极为重要的，不但对于微积分如此，就是对于物理学等其他门类的自然科学及自然界本身都是非常重要的，可以这样说：在自然界中广泛存在着与函数及其极限相关的事物。例如当温度固定时，给定气体的体积与其压强的关系，自由落体的下落距离与瞬时速度之间的关系，等等。
微分就是求导数，而导数乃是一种“瞬时变化率” 极限之后，我们要来讲微积分的第一大部分，这就是微分。
微分的第一个基本概念就是导数。对于我们所要讲的微分而言，微分也就是求导数。
什么是导数呢？我们还是从具体的函数来看吧！
现在我们假设有函数 y = f ( x )，怎么求它的导数呢？我们先要引进一个新单位Δ x 。所谓Δ x 是一个变量，而且是一个很小、无限小的变量，是由 x 发生变化后产生的变量。我们假设 x 与Δ x 都是定义域内的点，如果下面这个式子的极限存在：
那我们就说这个极限是函数
y
对
x
的导数，用数学方法记为
或
看了这个式子后，您知道怎样求导数了吧？其实简单得很，只是个将 x +Δ x 代入 f ( x )中进行运算，然后减去 f ( x )再除以Δ x 即可，这常常只是一个加减乘除四则运算的问题。
看得出来，导数就是自变量产生变化时函数自身的变化率，又由于自变量的这个变化，即Δ x ，通常是非常微小的，因此，它是求某些“瞬间”变化的工具。这个工具不但对数学，对物理学也是非常重要的，可以说，极限的重要性也归根到底是通过导数来体现的。例如在物理学中的许多问题，特别是与极限相关的实际问题，通常都是由导数来进行最后解决的，典型者如上面提到过的自由落体问题，我们就通过这个例子来具体地看看导数有什么用处及如何求导数吧！
我们知道，自由落体在
t
时间内与下降的距离
s
——记为
f
(
t
)——之间的函数关系式是
s=
gt
2
，其中
g
即重力加速度，是一个常数。我们如果要求自由落体在某个时刻t的瞬时速度怎么办呢？
这样的问题在微积分产生之前几乎是不可能解决的，但在微积分产生之后就很好解决了，因为它只是一个求导数的问题。我们知道，导数能够求函数的瞬间变化率，如果我们知道在一段极小的时间，例如Δ t ，之内，自由落体运动的距离，那么也就不难求出与之相关的瞬间 t 的运动速度了，而且这个Δ t 越小，求得在瞬间t的速度也就越精确。现在我们来看其具体的求导公式：
您可以自己试着算一下看是不是这样，要注意的是，由于Δ t 是无限小的，可以将之视若无睹——看作“0”，因此最后要将与它相关的各项都去掉。
这样就求出了在 t 时的瞬间速度了，很简单吧？类似的例子还有很多。
积分就是微分的逆运算，为什么它常常被称为“不定”呢 微积分的第二大部分是积分。
简言之，积分乃是微分的逆运算，因此，积分又叫反微分。
前面说过，对于我们而言微分就是求导数，而导数就是自变量产生变化时函数自身的瞬间变化率。但有时候也会有这样的情况：我们事先知道了这个变化率，即导数，而原来导数由之而来的那个函数却不知道。这时我们该怎么办呢？有没有一个办法能使我们由已知的导数出发而求得原来的函数呢？这种方法当然是有的，那就是求不定积分。之所以说是求不定积分，是因为这样由导数求出来的积分一般都不止一个，也就是说没有一个确定的积分，因此就叫不定积分了。有时候也能找到一个确定的值，那时就会被称为定积分，不定积分与定积分总称为积分。看得出来，所谓求积分就是求已知导数的原来的函数。
这种求积分的过程在科学运算中非常有用，因为在那些实际问题，尤其是物理学问题中，我们常常知道的正是某物理过程的瞬间变化率，也就是导数，而想知道的恰恰是原来产生导数的函数或者其他与导数相关联的种种资讯。
现在我们就来看一个求积分的具体例子吧！
例如现在我们知道在某个函数 y = f ( x )中，当 x 变化时， y 的瞬间变化率是2 x ，即原来函数的导数是2 x 。这时候，我们如何求得原来的函数公式呢？遗憾的是，在这里我不能给大家一个统一的公式，使我们能像求极限或者导数一样迅速求出函数来。不过，在这里我可以提供一些类型的函数及其导数，由之我们可以反推出原来的函数来，例如：
如果 y = ax n ，则 y ′= nax n -1
如果 y =sin x ，则 y ′=cos x
如果 y =e x ，则 y ′=e x
对了，我们经常用在英文字母后面加一短撇的方法来表示相应函数的导数。至于这些导数，您可以亲自推一下，看是不是这样。
现在，我们知道了某个函数的导数是2 x ，根据前面如果 y = ax n ，则 y ′= n a x n -1，我们不难推出原来的函数是 y = x 2 。不过，这只是导数为2 x 的函数之一，因为如果在 y = x 2 的后面再加上任何一个常数，也就是确定的数，例如加上12， y = x 2 +12的导数仍然是2 x 。这可以用一个更通用的式子表达出来： y = x 2 + C ， C 是任何一个确定的数值。所有这些函数的导数均为2 x ，也就是说，它们都是2 x 原来的函数，因此也被称为“原函数”。这些原函数都是导数的积分。
我们再用上面的方法来求一下原来在自由落体中的那个关系式。现在我们已经知道它的导数是 gt ，其中 g 是一个常数，我们很容易算出来导数为 gt 的原函数是12 gt 2 + C 。
这个 C 我们前面说过，是任何一个常数值。它在这里也并不是没有意义的。我们知道，想计算一个自由落体落下的距离或者瞬间速度时，既可以从一开始就计算起，又可以从中间开始。在上述 s =12 gt 2 中，我们所求的自由落体的距离是从初坠时开始计算的，因此在这时 C =0，故 C 不要写出来。
在微积分学中，积分还有一个更专门的表达式。我们假设有导数 f ( x )，那么，它的不定积分就是以 f ( x )为导数的所有函数，也就是“原函数”。这些原函数可以用 F ( x )+ C 来表达，其中 F ( x )是 f ( x )的任何一个原函数， C 当然是任何常数了。它用专门的积分符号记为：
左边的那个长长的符号“∫”叫作积分号，就是S的拉长，它来自英文“sum”，表示积分乃是一种“总和”，是将许多元素累积起来而成的。
定积分实在是一种很美妙的方法，懂了它，您就是挑战的胜利者 积分这种是由许多元素累积起来而形成的在定积分里展现得更为清楚。
与不定积分比起来，定积分要难得多，而且它与不定积分之间似乎没多大关系。它源起于求曲边形面积的计算。
曲边形的面积是很难计算的，就是最简单的圆形也是如此，所用的方法就是将圆内接上一个正若干边形，从正四边形、正五边形、正八边形，直到正 n 边形，显然，正 n 边形的边越多，即 n 越大，其面积就越接近圆的面积。就像中国魏晋间的数学家刘徽所言：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”在这里，实际上是求当 n 趋向于无穷大时的一个极限值。
定积分中所求的曲边形则比求圆的面积还要难得多，因为它里面不能装什么正多边形，那么怎么办呢？我们还是从实际的曲边形来看吧，设有下面图10-3所示的曲边形。
图10-3
明显地，这个曲边形是由一段函数 f ( x )与坐标轴一起围成的，这段函数的定义域是函数的闭区间[ a , b ]，因此，曲边形的四边分别是 x = a 与 x = b 两条直线， x 轴，还有函数在闭区间[ a , b ]的一段轨迹。
由这四边所围成的面积如何计算呢？
其实从上面您就看得出如何计算了：先将这个曲面划分成无数个这样的小长方形，将它们的面积相加就大致等于曲边形的总面积了。看得出来，长方形的底边越短，它的面积就越接近它围出来的曲边形的面积，而这样的小长方形越多，则它们相加的总面积就越接近曲边形的面积。这样的分法是不是与求圆面积的方法有异曲同工之妙？
那么如何计算这任一小长方形的面积呢？
为了求面积，我们先来分割这个曲边形，现在我们在闭区间 [ a , b ] 中插入若干个分点，当然不要插在两个端点上，否则就没什么意义了。我们假设共插入了 n 个点，从左至右分别是： x 0 ， x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 ，…， x n-1 ，这样，相邻的任何两个点之间就构成了一个小长方形的底边，它可以用区间表示为 [ x i-1 , x i ] ，这里i是任意自然数。显然，这个小长方形的底边长是 x i - x i-1 ，可以命名为Δ x i ，这时，我们再在 [ x i-1 , x i ] 中任取一点，就按惯例用一个希腊字母ξ i 来表示吧，现在从这个点ξ i 往上做一条直线，直线将与曲边形相交，交点的坐标就是（ξ i ， f (ξ i )），显然，这个 f (ξ i )就是小长方形的侧边长。这样，小长方形的面积就出来了，是（ x i - x i-1 ）· f (ξ i )，或者写作Δ xi · f (ξ i )。
这样的小长方形有无数个，即 n 个，它们每一个的面积都可以这样表示，只要用具体的自然数值代替 i 就是了，例如从左边起第一个可以写成 f (ξ 1 )·Δ x 1 ，第二个可以写成 f (ξ 2 )·Δ x 2 ，第三个可以写成 f (ξ 3 )·Δ x 3 ，第 n 个可以写成 f (ξ n )·Δ x n 。如此，这 n 个小长方形的面积加起来就是曲边形的面积了。而且由于这样的小长方形有无数个，我们可以说这样得出来的面积是无限近似于曲边形的真实面积的。我们用σ来表示这个真实的面积，那么，σ= f (ξ 1 )·Δ x 1 + f (ξ 2 )·Δ x 2 + f (ξ 3 )·Δ x 3 +…+ f (ξ i )·Δ x i +…+ f (ξ n )Δ x n 。
这个长长的式子也可以简单地记为：
。
“Σ”这个大写的希腊字母在这里表示累加求和的意思，类似于上面的积分号“∫”，在这里，“Σ”下面的i=1表示从1开始，而上面的 n 表示共有 n 项累加。
在这里我们还要引入一个新的希腊字母λ。它表示在以 [ x i-1 , x i ] 构成的无数个小区间中最大的一个。由于这个区间也就是小长方形的底边，因此，λ也表示最大的小长方形的底边，如果它还趋向于0，那么也就是说，所有的小区间 [ x i-1 , x i ] 都必然趋向于0，即Δ x i 趋向于0。这时候，根据我们在前面对于函数的极限所下的定义：在函数 y = f ( x )中，如果随着 x 无限趋近于 x 0 ， y 也无限接近于某个数值 A ，那么我们就说函数 f ( x )的极限是 A 。
在这里，
y
实际上就是任何一个小长方形的面积，即
f
(ξ
i
)·Δ
x
i
，如果λ趋向于0，那么即是Δ
x
i
趋向于0，因此，
y
也必然趋向于0，也就是说，原来的函数
在这里有极限，即曲边形的面积有极限，它可以表示为：
这个式子虽然求的是曲边形的面积，但事实上，它求的也是定积分。
为了让大家更明白这点，我来介绍一下定积分的定义。
定积分的定义是：
设函数 f ( x )定义在区间 [ a , b ] 上，在这区间上顺序插入任意若干点，从左至右，即从小到大依次为 x 0 ， x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 …… x n-1 。
这样就将整个区间划分成了 n 个子区间，再在每个子区间 [ x i-1 , x i ] 上任取一点ξ i ，并作下述式子：
这个带“Σ”的式子就叫和式，现在设有λ，它是区间 [ a , b ] 上最大的子区间，即以 [ x i-1 , x i ] 形式构成的无数个小区间中最大的一个。如果当λ趋向于0时，上面的和式σ趋向于某一个特定的极限 I ，这时候，我们就称这极限 I 是函数 f ( x )在区间 [ a , b ] 上的定积分。定积分也被称为黎曼积分，因为创立它的工作主要是由伟大的数学家黎曼完成的。关于他的有关事迹在后面介绍数学史时也可以看到。定积分可以记为：
怎么样？是不是与上面求曲边形面积十分相似？正是这样，事实上，如果 f ( x )≥0，则定积分就是函数 f ( x )在坐标上的轨迹曲线、直线 x = a 、直线 x = b 、 x 轴四条边围成的曲边形的面积。这也就是我们在上面刚看过的那种曲边形。
我们前面讲了极限、微分与积分等，它们都是微积分的基本内容。微积分的内容当然远不止这么一点，它后面还有常微分方程、偏微分方程、变分学等，不过，那些艰深的内容不是我在这里要讲或者能讲的了。
至此，我就讲完数学的第三大，也是最后一大分支微积分了。同时也就讲完了《什么是数学》这一章，说实在的，我所讲的内容与数学那如汪洋大海般的内容比起来，简直是九牛一毛，既浅且少之极矣！我不能奢望由此您就会明白什么是数学或者数学是什么。实在地，在我谈数学时与谈所有其他门类的自然科学时感觉上最大的区别是：我深深地感觉到了数学的无限、魅力与难度。我每进一步，都看到了前面有更多的高山，这些高山是那样雄伟，我这一辈子恐怕是没有机会攀登了，我只希望在这里与大家一起，站在平原之上，眺望一下远方数学的群山，赞美它的伟大。