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古埃及人开始用牛皮覆盖住地面的方式来平分土地，可是有一位智者发出了不同的声音：我们为什么非要用整张牛皮把地面盖住呢？要想让土地的面积相等，只需要长、宽分别相等就行了。我们完全可以把牛皮搓成牛皮绳，直接用4根牛皮绳围着土地的边缘转一圈，把4条边的长度都用绳子记录下来，不就可以了吗？大家一想：好像也对，于是很快就都学会了这种新办法，这样一来就省得折腾那么多张牛皮了，分地的效率也大大提高了！事实上也没有那么多块牛皮可以用，现在我可以告诉你，用整张牛皮蒙住地面的办法压根就没有发生过。这只是为了讲清楚欧几里得的5条公理虚构出来的故事而已。但是，我们刚才提到的用绳子分别测量边长的办法，可是一直在古埃及流行了好多好多年的。尽管这种办法是错误的！
它的问题在于：只用绳子量取了土地的四边长度，并不能保证土地的形状是完全一样的，如果这块土地不是长方形的，换句话说，如果长边、宽边不是完全垂直的，那么用这种办法得到的图形，它就不是完全相等的。我们在小学的时候学过，长方形的面积等于长乘宽，但是平行四边形的面积，可不等于长乘宽，而是等于长乘高。可是古代埃及人，他们并不懂得这个道理。同时我要说明的是，如果平行四边形只是倾斜了一点点，它的面积和长方形的面积差得并不多。比如，当平行四边形的一个角度是80度时，看上去倾斜度就很大了，但是它的面积和斜边为宽度的长方形差距却不到2％。这一点微弱的差别很容易被忽略，所以在相当长的时间内，古埃及人没有发现这种方式存在的问题。然而，历史在发展，人类在进步，随着测量精度的不断提高，他们就慢慢感觉出来了，虽然长宽一样，但是这个倾斜着的土地它好像就是不如长方形的地种出来的粮食多。于是，大家都不愿意要平行四边形的土地了，大家都希望能把土地分割得方方正正的。可问题是，要想把土地分割成长方形，我们就得保证土地的4个角都是直角。那么新的问题来了，我们用牛皮和绳子，怎么样才能做出完美的直角呢？
这时，又有一个人发明了一个好办法：首先他把一张牛皮上下对折一下，于是就会在牛皮上折出一条直线的折痕来，然后他再把这张牛皮左右对折一下，对折的时候把原来折的那条水平线对齐了，这样就又折出一条新的折痕来。（如图4－1）经常玩折纸的人，应该很容易理解我的意思，其实就是通过两条折痕，在白纸上折出一个十字来。现在就好办了，这个十字中的任何一个角都是直角了。这种操作本身很简单，大家很容易掌握，可是我要问：为什么通过这种办法得到的角就是直角呢？其中的关键在于，我们在折牛皮的时候，是把前面的那条折痕对齐了的，既然是对齐了，那就说明折出来的两个角是相等的，在此过程中我们利用的是几何学的第一公理：相互覆盖的两个东西相等。那么，这两个相等的角又分别是多少呢？由于这两个角的角度加起来是一个平角，所以它们的大小就是平角的一半，180度的一半是90度，所以它们当然就都是直角了。在这个过程当中，我们可以发现，任何一张牛皮、任何一张纸，只要是按照这种办法对齐了折两次，他们得到的角都是直角，角的度数也都是一样的。这就是欧几里得的第一个重要的公设：凡是直角都相等！
图4－1
不过古埃及人可不懂这么多，它们只知道靠着折叠牛皮的办法，就可以快速得到直角了，然后只要带有十字折痕的牛皮，往地上一扔，只要土地的长、宽两条边和十字对齐了，那就说明这个土地是方的。这块牛皮好不容易被细绳取代了，但因为要解决直角的问题，它又重新走回来了，看来分土地还是离不开牛皮的帮助。
古埃及人可以不管直角是什么，但是我们却不能不管，现在我们需要继续研究几何问题：直角的定义是什么？除了直角之外，还有哪些角？小学的时候我们就学过，角是射线围着它的端点转出来的结果。如果这条射线转了一整圈，那就是360度，叫作周角；如果只转了半圈，就形成了一条直线，这样的角度是周角的一半，因此就是180度，180度的角叫作平角。平角的一半就是90度，90度的角就叫直角。但是，我们之前说过，几何学是没有数字的数学，因此，我们不能通过90度来定义直角，那应该怎么表达呢？欧几里得的定义是：当两条直线相交时，如果相交所得的两个邻角相等，那么它们两个就都是直角。很明显，他是通过平角的一半定义直角的。同时他还指出：成直角的两条直线相互垂直，其中任意一条都叫作另一条的垂线。那么，如果这个角度小于直角呢？就叫作锐角。为什么叫锐角？因为这个角度看起来比较尖，比较锐利。反之，如果这个角度大于直角，就叫作钝角。这些知识都是我们小学的时候就掌握了的，现在新的问题来了，两条直线相交以后会产生4个角，这些角之间有什么关系呢？
如图4－2所示， AB 和 CD 两条直线相交，产生了一个X形：其中上下的两个角∠1和∠3共用了同一个顶点，还共用了两条直线，这个状态看起来是针锋相对的，就像两个牛犄角对着顶在了一起，所以我们就把这对角叫作对顶角。同样，左右两边的∠2和∠4也是对顶角。只要是共用一个顶点，共用两条线的一对角都叫对顶角。那么，像∠1和∠2这样紧挨在一起的又是什么关系呢？由于∠1和∠2是一条直线被另一条直线裁成两半了，又因为它们两个彼此紧邻着，所以我们就把这样的一对角叫作邻补角。因为可以拼成一个平角，所以两个邻补角之和等于180度。
图4－2
这个邻补角等于180度很容易理解，那么对顶角∠1和∠3是什么关系呢？凭直觉我们都能想到，这两个角肯定是相等的关系。但是为什么两条直线相交以后，产生的对顶角就一定是相等的呢？
根据我们的直觉，两个针锋相对的对顶角，它们的大小应该是相等的，但是为什么这两个角会相等呢？有人说，这很简单，我们有几何学的第一公理，只要把这两个角度折过来相互覆盖一下不就知道了吗？我们还可以用剪刀把一个角剪下来，和另一个角拼合在一起，如果这两个角相互覆盖，就是相等的呀！没错，你提出的这种方法确实能证明这两个角是相等的。但我要让你证明的是：世界上所有的对顶角都是相等的。这又该怎么证明呢？
瞧见没有，有意思的事儿来了，我们可以肯定的是，无论你在纸上画出多少个对顶角来，你都可以通过测量或者通过剪切的方式证明它们是相等的。但问题是，世界上有无数对的对顶角，你要经过多少次的验证，才能证明世界上所有的对顶角都是相等的呢？凡是直角都相等，这已经是一个无须证明的公设了。那么，对顶角相等也是一个无须证明的公理吗？因为，对顶角相等看起来也是简单直白的。而且我们还可以通过图4－3物理模拟的方法来体验一下对顶角的变化：
图4－3
我们在两根棍子中间钉上个钉子，用这个活动的十字架来模拟一下两条直线相交的效果。做好了以后，我们可以按住一根棍子不动，慢慢转动另一根棍子，于是我们就会发现，这两根棍子之间的两对对顶角要么一起增大，要么一起减小。开始转动时，两根棍子是重合的，我们也可以认为两根棍子的夹角是0度；当两根棍子慢慢转动到垂直的时候呢，角度都变成了90度；然后我们继续转动，等两根棍子再次重合的时候，我们又可以认为角度变成了180度。可见，无论角度具体是多少，反正这对顶着的两个角，就应该是相等的。那么，我们是否可以因此判定世界上所有对顶角都相等呢？不能！为什么呀？因为，刚才通过两根棍子模拟两直线相交的时候，没有使用任何的公理和公设。这个效果模拟得再好，也只能作为一个类比，而不是一个严谨的逻辑证明。要想证明世界上所有的对顶角相等，只能从原来的几条公理中把它推导出来。那么，对顶角相等又该怎么证明呢？
如图4－2所示，在 AB 、 CD 相交形成的X形中，上下两个角∠1和∠3，是一对对顶角；左右两个角∠2和∠4，也是一对对顶角。要想证明对顶角相等，就必须找到支撑这个结论的已知条件和已有的公理定理。那我们就得好好看一看，在这个两直线相交形成的X形上，还有哪些条件与此问题有关，同时再认真想一想，我们已经学过的那些公理之中，有没有哪个公理是和对顶角有关系的。现在我们就来寻找一下相关的条件。
因为对顶角相等是我们要证明的结论，所以在找寻已知条件的时候我们就要先从其他角度找起，因为我们现在并不知道对顶角是什么关系，所以上下的∠1和∠3就先不看了，我们看看上边的∠1和左边的∠4是什么关系？显然，它们是一对邻补角。因为它们相当于直线 CD 被直线 AB 切分开了，所以∠1和∠4相加肯定等于一个平角。我们接着再往下看，下边的∠3和左边的∠4是什么关系呢？也是一对邻补角，∠3和∠4拼合起来以后，就是从左上到右下的直线 AB ，因此∠3和∠4相加也等于一个平角。现在就有意思了，左边的∠4和上、下两个角都有关系，它和上边的∠1是邻补角，相加等于一个平角，和下边的∠3相加也是一个平角。∠4分别加上∠3和∠1以后，都等于平角，那是不是说明∠3和∠1是相等的呢？不对！因为公理里头没有这么一条。公理里头说的是等量加等量和相等，并没有说如果等量加上不同的两个东西以后相等，这两个东西也就相等。那怎么办？我们可以把等式变个形，左边∠4加上边的∠1等于平角，是不是也可以写成∠1＝平角－∠4呢？同理，左边的∠4加下边的∠3等于平角，也可以写作∠3＝平角－∠4，∠1和∠3都等于平角减∠4，这符合哪条公理呢？等量减等量差相等。于是我们就知道了，上下两个角一定是相等的。对顶角相等被证明了吗？没有，以上只是我们的思路，接下来，我们就写出第一个严格的证明过程：
∵∠1＋∠4＝∠ COD ＝180°，
∴∠1＝180°－∠4。
∵∠3＋∠4＝∠ AOB ＝180°，
∴∠3＝180°－∠4。
又∵∠1＝180°－∠4（已证），
∴∠1＝∠3。
以上就是一个几何定理的完整的证明过程。在这个过程中，我们所有的根据都是来源于基本的公理，推理过程的先后顺序也是严密的、无懈可击的。你别看这个过程很简单，这可是数学家泰勒斯在公元前7世纪才证明了的。在此之前，没有任何人知道为什么对顶角是相等的。通过这个严谨的证明过程，我们可以感受到古希腊数学家那种一丝不苟的精神。以后我们在做证明题的时候，也要时刻提醒自己，每一步的根据是什么，不能无中生有地编造一个定理，也不能在证明过程中跳过几个步骤，即使这些步骤是显而易见的，也必须一条一条地给出详细说明。
这时候，也可能会有人提出质疑，人家让你证明世界上所有的对顶角相等，你不也只是证明了纸上画的一对对顶角吗？证明过程的精妙就在这里了，虽然我在纸上只是画了一个图，但是因为我没有说自己画的角的大小是多少，因此，我所证明的不仅是我画的这一张图，这一对角。在图中我们用到的所有条件，都是世界上任何一组对顶角拥有的基本条件，因此虽然我证明的是一对对顶角相等，但它们可以代表世界上所有的对顶角都相等。这就是没有数字的数学，这就是我们在不知道角度是多少的条件下，仍然可以知道两个角是相等的。如果我们不用这种逻辑证明，而采用量角器测量或者采用覆盖法验证，那就只能验证某两个具体的角是相等的，而无法证明世界上所有的对顶角都相等。
可能也有人会说，对顶角相等这么明白的事实，即使不用证明，我们心里也是清楚的。还真不是这样。要知道，从最基本的公理出发，仅仅是定理就400多个，从这400多个定理再次出发，间接证明的现象何止几千几万，而要想让那些看起来不是很直观的定理得到证明，就必须在这些看起来很明白的定理上下足功夫。这叫不积跬步，无以至千里。