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在我整理的所有初中数学的课程当中，几何学的知识架构是我认为最难讲的。为什么呢？因为几何学的知识是浑然一体的，要对这门学问做出绝对科学严谨而又完美的分类，几乎是不可能的。这并不是说几何知识不能分类，而是它的分类方法实在是太多了，具体的分类方式至少有十几种，而且还没有哪一种方案是绝对完美的。
以一个最简单的问题为例：把平行四边形、长方形、正方形、菱形这四个几何图形做个分类。可以按直角分类，把长方形和正方形分一组；还可以按照等边分类，把正方形和菱形分一组。尽管我们可以按照现行教科书的分类方法，把长方形和菱形都归属到平行四边形中，但这样一来我们就发现，无论把正方形归属到长方形那边还是归属到菱形这边都不是太合适。别急，我的分类方法还没完呢？我可以认为一切图形都是由正方形变化得到的：长方形是正方形水平拉长以后的结果；菱形是正方形倾斜扭转以后的结果；平行四边形呢，又是长方形倾斜后的结果。虽然分类方法如此众多，但是却没有任何一种分类方法是完美无缺的。这才仅仅4个图形就让人如此晕头转向，《几何原本》中有400多个定理呢！谁能告诉我，应该怎么分类才最合适？没办法，因为几何学原本就是一个整体，而分类就意味着要把很多知识割裂开来看待。
那么，欧几里得的《几何原本》是按照什么方式叙述的呢？它基本上是按照这些命题之间的依赖关系叙述的，先讲简单的命题，再讲复杂的命题，同时兼顾一下不同的形状。中学教科书中则完全是按照几何图形分类的：先讲平行线，而后是三角形、四边形、圆形。这样的分类方法是严谨的、循序渐进的，这种方式不但符合做学问的需要，也适应教学和考试的要求。但它的缺点也很明显，那就是枯燥乏味。我深知，没有多少人有耐心能够从头到尾地把《几何原本》读完。那么，与之相对的另一个思路，就是完全实用化的思路，我可以分别讲看图和作图，分别讲求长度、求面积、求体积的方法，然后再讲一些日常生活和工作的例子。但是，如果这样讲述，我就把一本《几何原本》，硬生生地讲成了《九章算术》。如此，不但几何学中的美感荡然无存，而且也丝毫不能提升学生的逻辑推理能力。怎么样把学术性和实用性结合起来，怎么样使课程编排兼具知识性和趣味性，怎么样让孩子爱上数学，这才是我的最终目的。我绞尽脑汁地思来想去，最终决定：不做严格的分类！这也算无招胜有招吧。我的具体思路是这样的：
我要从《几何原本》的几个公理和公设出发，从人类最早使用几何学的起点出发，沿着历史一路走来，一边解决具体问题，一边把这些几何定理重新发现一遍，再在中间穿插一些解题思路，最后再讲一些现代生活中的具体应用。应该说，这个思路是没有什么章法可言的，但是我认为这样讲是合适的，因为代数知识就像一座庄严的宫殿，欣赏代数的美就得站得高高的，从上至下宏观地看待；几何知识就像一座瑰丽奇妙的苏州园林，只要能够身临其境，无论从哪个角度看，我们都能发现它独特的美。而如果看几何知识像欣赏代数一样，只是站在高高的位置上看一张平面图，就感受不到几何应有的美感和趣味了。因此，在后续的几何学课程中，我会徐徐展开人类历史的画卷，像讲故事一样把几何的定理的始末缘由娓娓道来。那么，现在就让我们回到5000年前的古埃及，面对刚刚被尼罗河水冲刷得一干二净的广袤原野，我们拿着手中的绳子，准备重新把土地分给大家。
当面对一望无际的原野时，我们首先应该想到的，不是欧几里得的几条定义和公理，而是一个更基础的问题，什么叫面积？欧几里得没有给出面积的定义，我们得自己找！我们知道，平分土地的目的是耕种，那么简单地说，所谓面积相等，就是说两块土地里能够种下的粮食一样多。因为种粮食的时候，种子都是按照行列的方式播种的，所以，我们就可以按照植株的行列数的乘积来衡量一块土地的大小。因为土地是一个平面，又因为它需要长、宽的乘积来计算大小，所以我们就把长、宽的乘积叫作土地的面积。那么，如何判断土地面积是否相等呢？最直接的办法就是种好庄稼看一看，如果种的植株一样多，那就是一样的。可惜这样的办法行不通，因为我们不能在分土地之前种庄稼，而且植株的距离可能会稍微有点差别，以它为基准是不精确的。
那么，如何判断面积是否相等呢？最简单的方法就是：如果两块土地的形状大小完全一样，我们就可以认为它们的面积是相等的。但什么叫完全一样呢？如果我们能够把一块土地搬起来，挪到另一块土地上，两块土地能够严丝合缝地相互重叠，那我们就认为这两块土地的大小是完全相等的。没错，相互重合的两个图形全等，这就是第一条最基本最重要的公理。可问题在于，土地是搬不动的，那怎么办？很简单，我们可以把一块巨大的牛皮蒙在这块土地上，把它裁剪成这块土地的形状，按照牛皮的大小形状重新划出一块土地，那么这两块土地的形状肯定也是一样的。不错，这就是第二条公理：与同一个物体（这里是牛皮）相等的两个物体彼此也相等，在代数里我们曾经学过等式的传递性，它在几何学里就是第二公理。可是，土地太大了，一张牛皮蒙不下，怎么办？用几张牛皮合起来也是一样的，这就是第三条公理：整体等于部分之和。那么，如果几张牛皮也不能把整块土地盖住，我们可不可以用这几张牛皮覆盖两次呢？第一次都覆盖住一部分土地，然后，挪到另一个地方再根据牛皮的样式划出同样的一块土地；而后再来一次，把土地的另一部分也这样挪动过来，听起来也是可以的，因为两次规划的土地分别等于原来的土地的一部分，所以它们的和应该也是相等的。等量加等量和相等，等量减等量差也相等，这又是两条独立的公理。于是，欧几里得的5条公理，
全部都在这里了：
（1）相互覆盖的图形是全等的；
（2）与同一事物相等的两个事物彼此也相等；
（3）整体等于部分之和；
（4）等量加等量，和相等；
（5）等量减等量，差相等。
其实，看了这5条公理，我倒觉得欧几里得挺笨的，他只算了等量的加减，没有关心等量的乘除，而且他应该把这几条公理合并成一条，那就是：任何等量经过相同的变化以后结果仍然相等。这句话看起来很眼熟，这又是什么呢？它就是我们学过的等式的协变性！不错，这就是《几何原本》的5条基本公理告诉我们的一切。简单来说，它告诉了我们什么是相等，以及等式的传递性和协变性。
当古埃及人拿着牛皮在地面上忙得不亦乐乎的时候，忽然有一个智者哈哈大笑了起来：“你们可真笨，为什么非要用整张牛皮覆盖住这些土地呢？”那么，关于平分土地，他又有哪些更好的办法呢？