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在前面的内容中，我们提到：埃及的尼罗河经常发水，需要丈量土地，因此而产生了几何学，那么为什么古代的中国和印度就没有发展出几何学呢？难道黄河和印度不会发水吗？实际上，只要是大江大河，肯定都会不定期地发洪水。我们中华文明从尧舜开始，就治理黄河，折腾了几千年。可我们也得知道，虽然几何学能够解决分土地的问题，但却并不是说分土地就只能用几何。如果你翻开我国古代的《九章算术》，就会发现这本书的第一章就是专门研究平分土地的，各种形状的土地的面积的计算方法都有记载，只不过它用的是算术方法而已。那么在平分土地这个问题上，《九章算术》和《几何原本》有什么本质区别呢？
一提到数学，很多人都会认为，数学就是用来算账的工具，数学书就好比词典，遇到一个问题的时候，只要到数学书上去查一个公式，然后照葫芦画瓢就把这个问题解决了。其实，在我国古代，数学典籍就像字典一样。《九章算术》，就把所有数学知识都按照数学的实际用途分门别类地编好了，分地就看第一章，卖粮食看第二章，收税就看第六章。但是，如果打开《几何原本》，立刻就傻眼了，这本书哪是教我分土地的呀？它的目录里面只写着命题1、命题2、命题3，它的内容就是在这些定理之间绕来绕去地相互证明，根本看不出有任何实际的用途。
那么欧几里得这是在做什么呢？他要做的是，不仅要让我们知其然，还要让我们知其所以然。古希腊人有着很强的思辨能力，从《几何原本》中可以看到：欧几里得从几条基本假设开始，经过了严格的逻辑推理证明，建立起了一个由几百条定理、推论组成的知识体系。从此，那些只靠经验和直觉判断的旧数学，转变为清晰明确、有条不紊、逻辑严谨的新数学。那么，什么叫逻辑呢？我们又怎样进行推理呢？一个数学定理，又为什么需要证明呢？接下来，我们就一起来讨论这些问题。
所谓逻辑，就是我们人类认识世界的思维方式，逻辑推理主要有三种方法：归纳、演绎和类比。所谓归纳就是通过特殊事物得到一般规律。比如，我们看了很多天鹅都是白色的，于是就归纳出来，天鹅的颜色都是白的。所谓演绎就是根据一般规律认知特殊的事物。比如，猫是会捉老鼠的，因为汤姆是一只猫，所以它也会捉老鼠。所谓类比就是拿相似的事物打比方。中国的古人最擅长的就是类比证明。像我们平时所说的天人合一的道理就是类比：天行健，君子就应该自强；天无言，君子就应该少说话多做事。
应该说，目前人类的所有知识，都是通过归纳、演绎和类比的方法得到的。但是，我们同样应该知道的是，无论是哪一种思维方式，它本身都有一定的局限性，其中最不靠谱的就是类比的方法。将两个原本就不相同的事物，强行捆绑在一起来解释是不具备说服力的。那么归纳法又有什么问题呢？它的问题在于以偏概全，我们看见几千只天鹅是白色的就能证明所有的天鹅都是白的吗？万一有你没见过的黑天鹅呢？最后我们再看演绎法，演绎推理看似严谨，但是它的问题在于，必须要保证前提是对的。如果前提错了，后边的推论也就全都错了。
那么，既然这三种方法都有问题，我们还能否认识世界呢？认真分析一下，我们就会发现，在这三种方法之中只有演绎法是相对靠谱的，只要想尽一切办法，保障它的前提正确，那么后面的结论肯定就是正确的。因此，我们需要找出那些比较容易理解的、大家都普遍接受的道理，从这些基本的道理出发，按照一套标准的逻辑体系，再去推演出其他不太常见的、不太容易被理解的道理。那些简单易懂的、大家都普遍认可的道理被称作公理，它们本身是无须证明的；而那些通过逻辑推理被公理证明了的道理，我们把它们叫作定理，一个定理一旦被证明了，就可以继续以它为基础再去证明其他道理，于是一个由公理和定理相互交织、相互佐证的知识体系就这样被一砖一瓦地搭建起来了。无论是欧几里得的《几何原本》，还是牛顿的《自然哲学的数学原理》，都是采用这种结构。
数学知识的学习有四层境界，其中第一层是对知识进行分门别类，第二层是在所有的知识之间建立关联。所谓的公理知识体系，说的就是这个意思。虽然《九章算术》和《几何原本》中分别记载了几百个问题，但是《九章算术》里边的问题只有分类，没有相互关联，而《几何原本》中的知识却是浑然一体的。书中400多个定理，全部源于5个公理和5个公设推导的结果。除此之外，书中还涉及100多个定义。
什么叫定义呢？所谓定义就是声明一下点、线、面、圆、角、平行、垂直这些概念的具体含义。比如，我们对圆的定义是：到圆心的距离等于半径的所有点的集合。了解了圆的定义，我们就可以在现实世界中去寻找符合这个定义的那些形状，比如太阳、月亮、盘子、车轮。而后就可以按照圆的性质，去计算这些物体的周长和面积。但是我们也需要知道，从严格意义上讲，几何学上定义的点、直线、圆这些图形都是高度抽象、高度理想的，在现实生活中，既找不到绝对完美的直线，也找不到绝对完美的圆。但是，如果忽略一些细节，我们还是可以近似地将一些图形当作标准的图形来处理的。
同时，定义本身也说明了图形的一些性质，比如根据圆的定义我们可以知道，同一个圆所有半径的长度都是相等的。这个判断就既不属于公理也不属于定理，它只是定义规定的一个内部特性，这就像女人的性别都是女的一样，同样是无须证明的。定义、定理、公理、公设所有这些内容统称为命题。那什么叫命题呢？命题就是判断一件事情的句子。定义这种命题教给我们判断一个图形是什么形状，帮助我们判断在一定条件下两个图形之间的相互关系。所有这些命题通过严密的逻辑推理组织在一起，就构成了几何学的整体知识架构。