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◎ 代数和算术的差别:代数思维是难题化简、分工协作

对于一个刚从小学进入初中的同学而言,最难的东西并不是因为我们学习了负数,也并不是因为我们增加了字母,而是因为我们要习惯代数的思维方式。从算术思维到代数思维有一个很大的转变过程,这个思路的转变,是很困难的,有时候,越是小学数学学得好的同学,转变就越困难,这是为什么呢?下面我们就通过一道数学题来体会一下代数思维和算术思维的不同:

小明有一个苹果,妈妈又给他买了一些,现在一共有两个苹果了,请问,妈妈给他买了几个苹果呢?

这是一道小学一年级的算术题,大家都知道,我们只要现有的苹果减去原来的苹果,不就是妈妈买的苹果数吗?2-1=1,显然是买了1个苹果。题目做得没错,但是我们刚才的思维方式,就叫算术思维。那么,代数思维是什么呢?我们先看问题问什么,问什么就假设什么是 x ,而后根据题意列出一个含有 x 的等式。比如,我们假设妈妈给他买了 x 个苹果,然后再重新看题目。小明有一个苹果就写下1,妈妈又买了一些,买了苹果可以用加法,买了几个呢?我们刚才假设她买了 x 个,那么就是1+ x ,现在一共有两个苹果了,那就说明最后的苹果数为2。所以这个方程就列出来了:1+ x =2。然后呢,我们再把这个方程解出来,把 x 前面的1移到等式右边,变成 x =2-1,最后求得 x =1。

费了半天劲,不还是通过2-1得到了1吗?代数方法就是让我们多写了一个算式,好像什么好处都没有。那些小学数学学得好的同学之所以不适应,就是因为如此。我们总感觉,用代数方法解题是在自找麻烦。那么,代数思维究竟有什么好处呢?对于简单的数学问题而言,代数思维的确没有多少帮助,但是代数思维却可以帮助我们解决复杂的问题,这就好比,如果我们只是走10步远的距离,开车就没有任何优势;但是如果我们要走的路程是10千米,那么开车就要快很多了。为什么说代数思维能帮助我们解决复杂的问题呢?因为代数思维可以把一个复杂的问题,拆分成三个互不相关的简单问题,或者说,可以把解题的过程分成三个独立的步骤:发现问题、分析问题、解决问题。(如图4-1)

图4-1

第一步,发现问题。为什么要发现问题呢?数学题不是明摆在那里,还需要发现吗?那我要问你了,你凭什么认为这个问题就是一个数学问题呢?那你可能说,这问题出在数学卷子上,当然就是数学题了,难不成它还是历史问题吗?那我可就得提醒你了,我们学数学的目的,可不是为了做数学卷子。如果你在工作或者生活中遇到了一个问题,你通过什么判断,它是不是一个数学问题,又能不能用数学方法解决呢?我告诉你,最简单的办法就是,我们可以把这个问题用数学语言再重新描述一遍。通俗一点说,就是列个代数算式。可是列算式不是已经开始做题了吗?为什么我说它属于发现问题呢?这就是因为你不懂代数思维了。其实列式子不是在做题,而是通过数学符号,把题目中的意思重复地表达出来而已,这个过程就像我们把中文翻译成英文一样,只不过是把用自然语言描述的内容,直接转换成用字母数字和加减乘除描述而已。在列式子的过程中,是不允许有任何一点点计算的,题目怎么说,我们就怎么列,掺杂任何一点计算进去,都叫算术思维。

第二步,分析问题。什么叫分析问题呢?就是把算式化简。从这里开始,我们的操作和第一步已经完全分离了,列式子和化简算式是两个完全独立的过程:首先,在化简算式的过程中,完全不用关心这个算式里面的变量 x、y 分别代表什么含义了。其次,化简算式所用到的,是移项、合并同类项等知识,这些知识跟如何列算式也没有任何关系;最后,一个算式化简的方法有很多种,无论通过哪种方法化简,都可以得到最终的答案,这个过程也和具体题目无关。那么,式子要怎么化简呢?这就要根据我们前文提到的式子的不同分类寻找不同的化简方法。我们在后面将逐一介绍。

第三步,即最后一步,解决问题。就是把数字代入最简的算式中,通过计算把最终得数求出来。在实际计算的时候,这一步有可能是独立的。比如,我们先计算的是一大堆算式,把算式化简后,再代入数字,最后求解;但有时候算式里直接就有数字,在第二步化简的时候,直接就能够得到得数。需要说明的是,对算式的求解所用的知识就是小学数学的加减乘除,它又是一个独立的知识,因此求解也是一个独立的步骤。

你看到了吧,一个复杂的问题,可以很清晰地分割成互不相关的三个独立的步骤,问题的难度就会大大降低了。当然,在后续学习中,我们会发现这三个步骤还可以进一步地拆分为更细小的步骤,这样拆分的结果是,任何一个问题拆到最后,每一个步骤都会变成像1+1=2一样极为简单的问题。

同时必须指出,在实际工作中处理数学问题的时候,只要有必要,我们完全可以派三个人独立负责不同的步骤,比如第一个人负责把应用题列成方程式,第二个人负责方程式化简,第三个人负责计算最终得数。最终,三个人通力合作得到了答案,大家一起合作共同解决问题并不神奇,神奇的是,他们三个人完全不用相互交流就能完成工作。要知道,分工协作可是现代社会的基础,目前我们使用的一切产品,都是成千上万的企业和个人分工协作的结果。代数思维不但使难题化简,而且使分工协作成为可能。 ZChlodMW0vlLV6LQjYq9zwECV/QR9RcCKN8R/Ll6UnhD2DgXBkD5wxPy5XT43V+I

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