是一个数字吗?
你一定会说:它当然是数字了,这不就是标准的分数吗?但我要告诉你:它不是一个数字,而只是一个除法算式,只不过我们把除号上下的两个点去掉了,然后把除法上的除数与被除数堆放在一起了,它只是3÷7的简写而已,这么说也有一定道理吧。那么,3.5是数字吗?也不是,因为3.5不过是3+0.5,把0.5放在整数3的后面而已。那么0.5是数字吗?当然也不是了,不过是5÷10这个算式的省略写法而已。这么说来,23也不是数字,因为23只不过是20+3,把加号去掉了,把3写在了20后边那个0的位置上而已。
按照这个道理来看,似乎只有0至9这10个数字是数字了,其他都不是数字。你又说错了,实际上只有0和1是数字,其他数字只是一个代号而已,1+1=2说明了什么?它说明世界上根本不存在2这个数字,只不过是为了书写方便,把1+1这三个字符写成了2的形状而已。那么5当然就是1+1+1+1+1的缩写了。如果说1也是0+1的缩写,这个逻辑是对的,我可以只通过1和加号组合出2以及后面的数字来,却不能通过0加上任何符号组合出1来。从0到1,是从无到有的过程,这个过程是不能忽略的。正是由于数字的本质都是0和1的组合,所以我们才能够在计算机和手机的屏幕上看到一个精彩纷呈的世界。
1+1=2,2+1=3,从1开始,逐次加1,我们可以得到所有的自然数;因为一个个地数下去太麻烦,所以我们发明了加法,这样就可以不用挨个数一遍,就知道3+5的结果等于8。同时,当我们发现自己在反复增加同一个数字的时候发现了乘法,因为乘法只是加法的一种简便算法,所以通过乘法得到的所有数字,通过加法也同样可以得到。因此通过乘法,我们并不能得出新的数字类型来。如果我们把乘法反过来就会得到除法。有了除法我们就发现,虽然任何两个数相乘都可以得到一个自然数,但任何两个数相除却不一定能够得到自然数。比如,3×2=6,3×3=9,6和9除以3当然能够得到自然数,但如果6和9中间的某个数除以3,就会得到一个比2大比3小的数。但是在自然数中2后面一个数就是3,3前面一个数是2,两者之间根本就没有其他数字了。因此,要表达无法被整除的数字,就需要用到一种新的数字类型:分数。
和自然数一样,分数的个数也有无数多个,但是由于分数和自然数之间有着密切的关系,所以我们却不能再创造一种全新的符号来表示分数,而只能通过简化算式的方式来表示它,比如把3÷7的结果表示为 。其中的含义也就是把1平均分成7份以后,取其中的3份。于是我们就知道,分数并非是一种数字,它只不过是一个简化了的除式而已。
如果分数只是一个简写的除式,那它有什么意义呢?是不是仅仅在书写的时候少写两个点呢?当然不是,分数一旦作为一种新的数系出现,它就会有自己的加减乘除运算规律,这个我们已经在小学阶段学过了,这里就不再赘述。而且我们还知道,分数是可以化简的,虽然我们把3张饼分给7个人,只能得到 这样的数字,但是如果我们把3张饼分给6个人,却可以得到 这样的数字,虽然 在数量上等于 ,但 和 的含义却是不同的。比如说我们在分饼的时候, 表示的是6个人围着3张饼一起分,却不知道该怎么分;而 则是把6个人先平均分成3组,把3张饼先平均分到3个小组中,然后每个小组两个人再各自分1张饼。
因为除法是乘法的逆运算,所以我们得到了一种全新的数系,那么减法是加法的逆运算,是不是也可以得到一种全新的数系呢?把3张饼分给7个人不够分,就会出现 ,那么,如果我们要把3张饼分给7个人,还必须要求每人分得1张,会得到什么数字呢?那么算式就不再是 了,而是3-7。由于3-3=0,所以3-7肯定会得到一个小于0的数字,它比0还要小4,也就是说还要差4张饼才够每人1张。在自然数的数系中,小于0的数字同样是不存在的。那么怎么办?参照分数的处理办法,如果我们把3除以7写作 ,那么3-7不就可以直接写成3-7吗?不过我们还必须像分数的化简一样,把3-7这个数字也化简一下,得到0-4,再把0隐藏掉,于是就得到了-4这样一个简化的算式,进而我们可以得到负数这种新的数系。
同理,如果我们把一个数字乘以自己叫作平方,那么平方的逆运算就是寻找哪一个数字平方后才能得到已知的数字,这个运算叫作开方。任何一个整数平方以后都可以得到一个整数,任何一个分数平方后都可以得到一个分数。但是,反过来,并不是所有的整数和分数都可以顺利地开方,那些通过开方无法顺利得到的数字,叫作无理数。
总结一下,乘法、乘方都是加法的变形、加法的简便算法,因此乘法和乘方不会带来新的数字类型,但是他们的逆运算——除法、开方和减法就不同了。当除法除不尽的时候,我们发明了一种数字叫作分数;当小数减大数不够减的时候,我们得到了负数;当开方开不出的时候,我们又发现了一种数字叫作无理数。分数、无理数、负数,这三类数字都是从自然数演化而来的,统称为实数,实数就是初中数学涉及的所有数字。在小学阶段,我们学习了分数就要立刻学习分数的加减乘除法则;同样,在初中阶段学习了负数和无理数后,也要学习这些数字的加减乘除、乘方开方的运算。
我为什么要强调这些数字都是一个个没有算完的算式呢?因为我要让你回归到数学的本质,以一个宏观的视角看待数学。别忘了,我们学习数学的目的,是为了更好地认识世界和改造世界。我们必须认识到:整个世界的一切都在运动变化之中,那些看起来静止不变的数字,其实描述的都是千变万化的运算过程。那么,为什么我要强调运算过程呢?因为我们初中阶段学习的是代数,接触更多的并不是数字,而是有很多字母组成的算式。如果我们没有这样的认识,过早地沉入复杂和烦琐的计算之中,很快就会在浩如烟海的数学中迷失自己的方向。