自从有了负数,人类对数学的认识就进入了有理数的时代。同时,负数也曾经让数学家们头疼不已,那么是不是负数中出现了什么不可调和的矛盾呢?接下来,我们就来分析一下负数的加减运算:
首先,我们看一下负数最基本的运算,也就是负数是怎么得到的?很简单,如果我们用一个小数减去一个大数,就得到一个负数,比如1-2=-1,3-5=-2。总结规律就是:遇到小数减大数的问题时,就计算出大数减去小数的差,最后在这个差的前面填写一个负号。这个负号长得和减号一模一样。这个规则很简单,也没有什么矛盾。那么我们再看看,如果一个正数加一个负数,结果会怎么样呢?
比如3+(-2)。我们都知道,如果是3+2,那结果肯定是等于5了,如果3+0就等于3,可是这-2是比0还要小的数字,那加起来肯定就越加越少了。因此3+(-2)就等于在3的基础上再减少2,结果等于1。换句话说,加上一个负数等于减去一个正数。这个看起来就有点诡异了,这加法应该是求和,结果应该是越加越多才对,怎么会越加越少呢?不过想想,谁让人家是负数呢?这也就勉强接受吧。然而接下来的问题就惨了,如果我们减去一个负数会怎么样呢?
比如3-(-2)。首先,参考一下正数之间的减法,如果是3-2,那肯定越减越少,结果等于1;如果是3-0呢?结果还等于3;如果减去一个比0还小的数怎么办?好办,参考一下上文中的加法算式,在上文中计算3+(-2)的过程中,明明是加法,结果却变小了;现在我们要处理的是减法,与之对应的,结果就应该变大了。3-(-2),相当于在3的基础上增加2,结果就等于5了。这下你该明白了吧,为什么有那么多的数学家不允许负数存在,这负数实在是太诡异了,居然负负可以得正,简直是岂有此理。据说,法国昆虫学家法布尔就是因为搞不懂负负得正,所以才讨厌数学的。
负数不是经常用来比作债务吗?比如你现在有5元,同时还欠着别人2元的债务,这样也就相当于你一共只有3元。这时候债主说,由于你在生活中帮了他一个大忙,所以债务一笔勾销了,也就是说你在只有3元资产的情况下,减去了2元的债务,你手里的5元现金就都是你自己的了。这就是3-(-2)=3+2=5的实际意义。再举个例子,正负数不是相反的量吗?如果把正数比作好人,负数肯定就是坏人了。如果在我们的队伍中减去两个坏人,是不是相当于增加了两个好人呢?
通过前面的讨论我们发现:在学习了负数以后,加减法的概念发生了变化,在学习负数之前,我们认为加的含义就是变多,减的含义就是变少;但负数的出现,彻底改变了这种认知。如果在有理数的范围内做加减法运算,虽然表面上是在做加法,但如果加的是负数,结果就会变小;虽然做的是减法,但如果减的是负数,结果就会变大。在这种情况下,什么是加法?什么是减法呢?另外,这个正负号和加减号长得一模一样,它们有什么不同吗?
可以通过一个形象的例子去体会。仍然以做买卖为例:用卖货表示加法,用与之相反的退货表示减法。那么,正负数怎么理解呢?如果我们卖出去的货赚钱了,就是正数;如果卖出去的货赔钱了,就是负数。接下来,我们举几个例子来感受一下,正确的算式应该如何表达?
假设开始有3元钱,我们卖出了一件货赚了2元,用算式怎么表达呢?卖货是加法,赚钱是正的,那就应该是3+(+2),在代数学里边,正号可以忽略不写,于是结果就是3+2=5。相反如果我们卖了一件货,赔了2元怎么表达呢?由于卖货要用加法,赔钱要用负数表达,所以正确的表达方式就是3+(-2)=1。下面我们继续尝试:有人退了一件货,这件货当初我是赔了1元钱卖出去的,由于退货要用减法,赔钱要用负数表达。所以正确的算式就是3-(-1)=3+1=4。最后再来一个,有人退了1件货,这件货当初我赚了他2元,那么,退货用减法,赚钱是正数。也就是3-(+2)=1。通过这个例子,你能理解加减法和正负号的区别了吗?
关于加减和正负的不同,还可以给出很多其他的比喻,比如在走路的时候,如果我们把前进叫作加,那么后退就是减,那什么是正负呢?正负就是我们面对的方向,比如规定南边是正的,北边就是负的。也就是说,面向南走就是加正数,面向南后退就是减去正数。再比如,如果把军队里增加一个士兵当作加法,那么牺牲一个士兵就是减法,那什么叫正负呢?这个士兵是个好人就是正,如果是个“敌特”分子就是负的。当然,所有的这些类比都是为了加深理解。用一句话来总结加减和正负的不同:加减是一个动作,表示的是一个运动的过程;而正负是一个方向,表示的是一个静止的状态。