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自从有了负数，人类对数学的认识就进入了有理数的时代。同时，负数也曾经让数学家们头疼不已，那么是不是负数中出现了什么不可调和的矛盾呢？接下来，我们就来分析一下负数的加减运算：
首先，我们看一下负数最基本的运算，也就是负数是怎么得到的？很简单，如果我们用一个小数减去一个大数，就得到一个负数，比如1－2＝－1，3－5＝－2。总结规律就是：遇到小数减大数的问题时，就计算出大数减去小数的差，最后在这个差的前面填写一个负号。这个负号长得和减号一模一样。这个规则很简单，也没有什么矛盾。那么我们再看看，如果一个正数加一个负数，结果会怎么样呢？
比如3＋（－2）。我们都知道，如果是3＋2，那结果肯定是等于5了，如果3＋0就等于3，可是这－2是比0还要小的数字，那加起来肯定就越加越少了。因此3＋（－2）就等于在3的基础上再减少2，结果等于1。换句话说，加上一个负数等于减去一个正数。这个看起来就有点诡异了，这加法应该是求和，结果应该是越加越多才对，怎么会越加越少呢？不过想想，谁让人家是负数呢？这也就勉强接受吧。然而接下来的问题就惨了，如果我们减去一个负数会怎么样呢？
比如3－（－2）。首先，参考一下正数之间的减法，如果是3－2，那肯定越减越少，结果等于1；如果是3－0呢？结果还等于3；如果减去一个比0还小的数怎么办？好办，参考一下上文中的加法算式，在上文中计算3＋（－2）的过程中，明明是加法，结果却变小了；现在我们要处理的是减法，与之对应的，结果就应该变大了。3－（－2），相当于在3的基础上增加2，结果就等于5了。这下你该明白了吧，为什么有那么多的数学家不允许负数存在，这负数实在是太诡异了，居然负负可以得正，简直是岂有此理。据说，法国昆虫学家法布尔就是因为搞不懂负负得正，所以才讨厌数学的。
负数不是经常用来比作债务吗？比如你现在有5元，同时还欠着别人2元的债务，这样也就相当于你一共只有3元。这时候债主说，由于你在生活中帮了他一个大忙，所以债务一笔勾销了，也就是说你在只有3元资产的情况下，减去了2元的债务，你手里的5元现金就都是你自己的了。这就是3－（－2）＝3＋2＝5的实际意义。再举个例子，正负数不是相反的量吗？如果把正数比作好人，负数肯定就是坏人了。如果在我们的队伍中减去两个坏人，是不是相当于增加了两个好人呢？
通过前面的讨论我们发现：在学习了负数以后，加减法的概念发生了变化，在学习负数之前，我们认为加的含义就是变多，减的含义就是变少；但负数的出现，彻底改变了这种认知。如果在有理数的范围内做加减法运算，虽然表面上是在做加法，但如果加的是负数，结果就会变小；虽然做的是减法，但如果减的是负数，结果就会变大。在这种情况下，什么是加法？什么是减法呢？另外，这个正负号和加减号长得一模一样，它们有什么不同吗？
可以通过一个形象的例子去体会。仍然以做买卖为例：用卖货表示加法，用与之相反的退货表示减法。那么，正负数怎么理解呢？如果我们卖出去的货赚钱了，就是正数；如果卖出去的货赔钱了，就是负数。接下来，我们举几个例子来感受一下，正确的算式应该如何表达？
假设开始有3元钱，我们卖出了一件货赚了2元，用算式怎么表达呢？卖货是加法，赚钱是正的，那就应该是3＋（＋2），在代数学里边，正号可以忽略不写，于是结果就是3＋2＝5。相反如果我们卖了一件货，赔了2元怎么表达呢？由于卖货要用加法，赔钱要用负数表达，所以正确的表达方式就是3＋（－2）＝1。下面我们继续尝试：有人退了一件货，这件货当初我是赔了1元钱卖出去的，由于退货要用减法，赔钱要用负数表达。所以正确的算式就是3－（－1）＝3＋1＝4。最后再来一个，有人退了1件货，这件货当初我赚了他2元，那么，退货用减法，赚钱是正数。也就是3－（＋2）＝1。通过这个例子，你能理解加减法和正负号的区别了吗？
关于加减和正负的不同，还可以给出很多其他的比喻，比如在走路的时候，如果我们把前进叫作加，那么后退就是减，那什么是正负呢？正负就是我们面对的方向，比如规定南边是正的，北边就是负的。也就是说，面向南走就是加正数，面向南后退就是减去正数。再比如，如果把军队里增加一个士兵当作加法，那么牺牲一个士兵就是减法，那什么叫正负呢？这个士兵是个好人就是正，如果是个“敌特”分子就是负的。当然，所有的这些类比都是为了加深理解。用一句话来总结加减和正负的不同：加减是一个动作，表示的是一个运动的过程；而正负是一个方向，表示的是一个静止的状态。