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根据我们的直觉，两个针锋相对的对顶角，它们的大小应该是相等的，但是为什么这两个角会相等呢？有人说，这很简单，我们有几何学的第一公理，只要把这两个角度折过来相互覆盖一下不就知道了吗？我们还可以用剪刀把一个角剪下来，和另一个角拼合在一起，如果这两个角相互覆盖，就是相等的呀！没错，你提出的这种方法确实能证明这两个角是相等的。但我要让你证明的是：世界上所有的对顶角都是相等的。这又该怎么证明呢？
瞧见没有，有意思的事儿来了，我们可以肯定的是，无论你在纸上画出多少个对顶角来，你都可以通过测量或者通过剪切的方式证明它们是相等的。但问题是，世界上有无数对的对顶角，你要经过多少次的验证，才能证明世界上所有的对顶角都是相等的呢？凡是直角都相等，这已经是一个无须证明的公设了。那么，对顶角相等也是一个无须证明的公理吗？因为，对顶角相等看起来也是简单直白的。而且我们还可以通过图4－3物理模拟的方法来体验一下对顶角的变化：
图4－3
我们在两根棍子中间钉上个钉子，用这个活动的十字架来模拟一下两条直线相交的效果。做好了以后，我们可以按住一根棍子不动，慢慢转动另一根棍子，于是我们就会发现，这两根棍子之间的两对对顶角要么一起增大，要么一起减小。开始转动时，两根棍子是重合的，我们也可以认为两根棍子的夹角是0度；当两根棍子慢慢转动到垂直的时候呢，角度都变成了90度；然后我们继续转动，等两根棍子再次重合的时候，我们又可以认为角度变成了180度。可见，无论角度具体是多少，反正这对顶着的两个角，就应该是相等的。那么，我们是否可以因此判定世界上所有对顶角都相等呢？不能！为什么呀？因为，刚才通过两根棍子模拟两直线相交的时候，没有使用任何的公理和公设。这个效果模拟得再好，也只能作为一个类比，而不是一个严谨的逻辑证明。要想证明世界上所有的对顶角相等，只能从原来的几条公理中把它推导出来。那么，对顶角相等又该怎么证明呢？
如图4－2所示，在 AB 、 CD 相交形成的X形中，上下两个角∠1和∠3，是一对对顶角；左右两个角∠2和∠4，也是一对对顶角。要想证明对顶角相等，就必须找到支撑这个结论的已知条件和已有的公理定理。那我们就得好好看一看，在这个两直线相交形成的X形上，还有哪些条件与此问题有关，同时再认真想一想，我们已经学过的那些公理之中，有没有哪个公理是和对顶角有关系的。现在我们就来寻找一下相关的条件。
因为对顶角相等是我们要证明的结论，所以在找寻已知条件的时候我们就要先从其他角度找起，因为我们现在并不知道对顶角是什么关系，所以上下的∠1和∠3就先不看了，我们看看上边的∠1和左边的∠4是什么关系？显然，它们是一对邻补角。因为它们相当于直线 CD 被直线 AB 切分开了，所以∠1和∠4相加肯定等于一个平角。我们接着再往下看，下边的∠3和左边的∠4是什么关系呢？也是一对邻补角，∠3和∠4拼合起来以后，就是从左上到右下的直线 AB ，因此∠3和∠4相加也等于一个平角。现在就有意思了，左边的∠4和上、下两个角都有关系，它和上边的∠1是邻补角，相加等于一个平角，和下边的∠3相加也是一个平角。∠4分别加上∠3和∠1以后，都等于平角，那是不是说明∠3和∠1是相等的呢？不对！因为公理里头没有这么一条。公理里头说的是等量加等量和相等，并没有说如果等量加上不同的两个东西以后相等，这两个东西也就相等。那怎么办？我们可以把等式变个形，左边∠4加上边的∠1等于平角，是不是也可以写成∠1＝平角－∠4呢？同理，左边的∠4加下边的∠3等于平角，也可以写作∠3＝平角－∠4，∠1和∠3都等于平角减∠4，这符合哪条公理呢？等量减等量差相等。于是我们就知道了，上下两个角一定是相等的。对顶角相等被证明了吗？没有，以上只是我们的思路，接下来，我们就写出第一个严格的证明过程：
∵∠1＋∠4＝∠ COD ＝180°，
∴∠1＝180°－∠4。
∵∠3＋∠4＝∠ AOB ＝180°，
∴∠3＝180°－∠4。
又∵∠1＝180°－∠4（已证），
∴∠1＝∠3。
以上就是一个几何定理的完整的证明过程。在这个过程中，我们所有的根据都是来源于基本的公理，推理过程的先后顺序也是严密的、无懈可击的。你别看这个过程很简单，这可是数学家泰勒斯在公元前7世纪才证明了的。在此之前，没有任何人知道为什么对顶角是相等的。通过这个严谨的证明过程，我们可以感受到古希腊数学家那种一丝不苟的精神。以后我们在做证明题的时候，也要时刻提醒自己，每一步的根据是什么，不能无中生有地编造一个定理，也不能在证明过程中跳过几个步骤，即使这些步骤是显而易见的，也必须一条一条地给出详细说明。
这时候，也可能会有人提出质疑，人家让你证明世界上所有的对顶角相等，你不也只是证明了纸上画的一对对顶角吗？证明过程的精妙就在这里了，虽然我在纸上只是画了一个图，但是因为我没有说自己画的角的大小是多少，因此，我所证明的不仅是我画的这一张图，这一对角。在图中我们用到的所有条件，都是世界上任何一组对顶角拥有的基本条件，因此虽然我证明的是一对对顶角相等，但它们可以代表世界上所有的对顶角都相等。这就是没有数字的数学，这就是我们在不知道角度是多少的条件下，仍然可以知道两个角是相等的。如果我们不用这种逻辑证明，而采用量角器测量或者采用覆盖法验证，那就只能验证某两个具体的角是相等的，而无法证明世界上所有的对顶角都相等。
可能也有人会说，对顶角相等这么明白的事实，即使不用证明，我们心里也是清楚的。还真不是这样。要知道，从最基本的公理出发，仅仅是定理就400多个，从这400多个定理再次出发，间接证明的现象何止几千几万，而要想让那些看起来不是很直观的定理得到证明，就必须在这些看起来很明白的定理上下足功夫。这叫不积跬步，无以至千里。
有一个让数学家们头疼了2000多年的一个问题：平行！
我们小学时就学过画平行线，为什么平行还会让人头疼呢？因为平行是所有定义中最难说清的。《几何原本》上的定义是：在同一平面上，永不相交的两条直线就叫作平行直线。这句话听起来还是可以理解的，因为直线是无限长的，如果这两条直线不平行，只要它们不断地延长下去，间距肯定会不断地收紧变窄，最后一定会相交。所以我们说，同一平面内，不相交的线是平行线。然而，难点是我怎么知道两条直线是平行的呢？难道真的要把两条直线无限地延长吗？如果这两条直线只是非常接近于平行，我们就得延长到宇宙的另一头才能看到它们相交，那不累死了呀！因此，我们只能通过别的办法判定。什么办法？
欧几里得给出的办法是：让这两条直线和第三条直线相交。如果相交以后，在同一侧内的两个角加起来等于180度，这两条直线就平行。这就是《几何原本》的最后一条公设——第五公设的等价命题。到现在，我们已经把欧几里得的五条公设全部说清楚了：第一，两点之间只能画一条直线，简称两点定线；第二，直线无限长；第三，给定半径和圆心可以画个圆；第四，所有的直角都相等；第五，两直线被第三条直线所截，如果相交在同一侧的两个内角相加等于平角，这两条直线就是相互平行的。
和前几条公设相比，第五条的描述太复杂了，所以这也是最让人头疼的一条公设。
第五公设之所以让人头疼，就是因为它不太直观，于是很多数学家就想办法把它从公设里头剔除掉，如果能够通过其他的公理把它给证明了，把它降级为一个定理就更好了。可惜的是，2000多年过去了，没有任何人取得成功。不但没人成功，反而有人证明了第五公设不可能通过别的公理证明！而且还有人陆续发现了不遵循第五公设的新的几何学，关于第五公设有意思的故事有很多，即使讲一天也讲不完，所以我们就不展开讨论了。目前我们学的还是欧氏几何，所以我们只能先把它当作一个公设给记住了。接下来，我们就研究一下两条平行线被第三条直线所截的情况。我们知道，两条直线相交可以产生四个角，那么如果两条平行直线被第三条直线所截就会有两个交点，产生八个角，如图4－4所示。我们的故事就从这三条线和八个角的关系开始了。
图4－4
两条相互平行的水平直线被一条斜线所截后，产生了从∠1到∠8的八个角，图中∠4和∠6的关系就是第五公设所说的，在截线同一侧的两个内角，因为它们都在截线的右侧，而且在平行线的内侧，所以它们两者之间的关系叫作同旁内角。当然，在它们对面的∠3和∠5也是一对同旁内角，因为它们同在截线的左侧，并且也在平行线的内侧。根据第五公设，我们可以推导出：如果两直线平行，同旁内角相加就等于180度。
同旁内角相加等于180度就能证明两直线平行，简称同旁内角互补，两直线平行。这就是平行线的判定定理。同理，既然这种方法能够判定平行了，那么是不是说两条直线平行，它产生的同旁内角就一定互补呢？没错！两条直线平行，同旁内角互补，这也是一条定理，叫平行线的性质定理。性质定理和判定定理有什么区别？性质定理是在已经知道这两条直线平行的条件下，可以由此得出哪些角的关系；而判定定理是说，在不知道这两条直线平行的情况下，应该通过什么条件才能判断两条直线平行。那么，是不是只要把判定定理反过来就可以得到性质定理呢，是的！比如，四个角是直角就可以判断一个四边形是长方形。那反过来长方形肯定是四个角相等的。但是，性质定理反过来能得到判定定理吗？这就不一定了，因为图形的性质不止一个，比如正方形的性质既有四条边相等，也包含四个角相等。我们不能根据其中的一个条件就判定某个图形一定是正方形！好了，接下来我们继续讨论平行的问题。在一个相对复杂的图形上，如何快速找出同旁内角呢？我们可以借助图4－5中的字母或者汉字的帮助学习一下。
图4－5
在大写的英文字母“E”中，由于有上下两组平行线存在，因此我们至少可以找到三组同旁内角：“E”字图中的∠1和∠2，∠3和∠4，以及∠1和∠4，都是同旁内角的关系；同样，在汉字“山”字形的内部，也有着同样的三组同旁内角。由于我们心中对这些常用字母和汉字有着非常深刻的印象，因此，在面对一个复杂图形的时候，可以利用这些符号快速捕捉到图形的特征。
说完了字母“E”和汉字“山”，我们再说说字母“F”。在一个大写的“F”中，同样存在水平的两条平行线被一条斜线截断的情况。在“F”中，两条水平线中间的∠1和∠2，仍然是同旁内角的关系，两者之和仍然是180度，但是，在“F”中下面的∠3和上面的∠1又有什么关系呢？显然，∠3和∠2是邻补角的关系，因此，∠3和∠2相加也是180度。记得在我们证明对顶角的时候也发生过类似的情况：两个角加上同一个角都等于180度，这就可以证明这两个角相等了，过程如下：
∵ AB∥CD （已知），
∴∠1＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1＝180°－∠2（上式两侧同时减去∠2）。
又∵∠3＝180°－∠2（邻补角的定义），
∴∠1＝∠3（等量减等量，差相等）。
像“F”形上下的这两个角（∠1和∠3），因为它们都在两条直线下方的右侧位置上，所以我们把它们叫作同位角。两条直线平行，同位角相等，这就是平行线的第二个性质定理。同样，由同位角相等，我们照样可以推出同旁内角互补，所以根据同位角相等，我们也可以判定两直线平行，这就是平行线的第二个判定定理。那么，除了字母“F”，还有其他方式能够发现同位角吗？如果把不等号放大一下（见图4－6）我们就会发现：在不等号上，有不止一对同位角，两条水平线的左上的∠1和∠5、左下的∠3和∠7、右上的∠2和∠6、右下的∠4和∠8都是同位角，这四对同位角都是彼此对应相等的。
图4－6
此外，在这幅“三线八角”的图上还有一个角，和同位角对着的，就是同位角的对顶角，比如在右上角的方位上：∠6的同位角是∠2，∠2的对顶角是∠3，∠3和∠6共用一条边，其他两条边相互平行，结果拼成了一个“Z”字形，那么它们之间是什么关系呢？显然，因为∠3和∠2是对顶角，它俩是相等的，又因为∠2和∠6相等，所以∠3和∠6也应该是相等的。因为这两个角存在于两条平行线内部，同时又交错分布在截线的两侧，所以就叫内错角。没错，字母“Z”的上下两个角就是一对内错角，同样，字母“N”的左右两个角也是内错角关系，除了∠3和∠6之外，∠4和∠5也是一对内错角。内错角相等同样既是平行线的性质定理，又是它的判定定理。
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，这三个性质就是平行线的基本性质，同时，这三者之间具有等价的关系，三者中的任何一个，都可以判定两条直线之间的平行关系。而这些定理全部都是源于欧几里得第五公设。